多边形的内角和 课件
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(共22张PPT)
多边形的内角和
生活中的多边形形象
多边形的内角和
教学目标
能说出多边形的概念，能正确识别多边形的边、顶点、内角、外角、对角线。
会推导多边形的内角和与外角和定理、并会应用它们进行有关多边形的边数、内角与外角的度数的计算。
此外，继续渗透类比与转化的思想，以培养学生由具体到抽象进行归纳、概括的能力。
由不在同一条直线上的 条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。
在平面内，由不在同一条直线上的 条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形。
三
四
在平面内，由不在同一条直线上的 条线段首尾顺次相接组成的图形叫 边形。
n
n
1、多边形的边、顶点、内角、外角、对角
线的意义和四边形基本相同。
在平面内，由 线段首尾顺次相接组成的图形叫 边形。
一些
多
2、和四边形一样，多边形也有凹凸之分，
现在我们只研究凸多边形。
多边形的定义
1. 读出下列多边形，指出它的边、顶点、内角，过顶点A 和A1 的所有对角线，并在它的每个顶点处作出一个外角。
D
A
E
B
C
多边形的内角和指的是什么？外角和
指的是什么？
A5
An
A1
A2
A3
A4
观察下列图形，从多边形的一个顶点出发可以引多少条对角线？这些对角线把多边形分成几个三角形？你能猜想 n 边形的内角和是多少度吗？
（1）
（6）
（5）
（4）
（3）
（2）
多边形
的边数 图 形 分割出的三角形的个数 多边形的
内 角 和
3
4
5
------ ------ ------ ------
n
n-2
1
2
3
(3-2)×180
(4-2)×180
(5-2)×180
(n-2)×180
多边形的内角和定理：
n边形的内角和等于(n-2)·180
∵过n 边形的一个顶点的所有对角线把n 边形分成 (n-2)个三角形，这(n-2)个三角形的内角和恰好是多边形的内角和，
∵三角形的内角和为180 ，
∴ n 边形的内角和等于(n-2)·180 。
你能用别的方法证明
这个定理吗？
证明：
证明多边形内角和定理的基本思想是什么？
推论：任意多边形的外角 和
等于360 。
类比前边的做法，你能归纳出n 边形的外角和是多少吗？
∵ n边形的每一个外角与它相邻的内角的和是_____
∴ n边形的内角和加外角和等于 ________
∵ n 边形的内角和等于 ___________
A1
A2
A3
An
A4
证明：
180 ,
(n-2) 180 ,
∴ n 边形的外角和等于n 180 – (n-2) 180 ＝360 。
n 180 ，
已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数。
解：设多边形的边数为n ,
∵它的内角和等于(n-2) 180 ，外角
和等于360 ，
∴ (n-2)×180 ＝2 × 360
解得 n=6
∴这个多边形的边数6
一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加多少度？
解：设边数为n ,则内角和等于(n－2) 180 ，
当边数增加1时，内角和等于(n＋1－2) 180
∵ (n＋1－2) 180 － (n－2) 180
＝n 180 － 180 － n 180 ＋360
＝180
∴内角和增加180
一、填空题
十二边形的内角和是（ ）。
正六边形的一个内角等于（ ）。
一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加（ ）。
一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是（ ）边形。
一个多边形的内角和是720 ，则此多边形共有（ ）个内角。
1800
120
180
四
六
二、选择题
1、从 n边形的一个顶点出发作对角线，把这个多边形分
成三角形的个数是（ ）。
A、n B、n-1 C、n-2 D、n-3
2、n边形所有外角的个数是（ ）。
A、n B、2n C、3n D、不能确定
3、下列说法中，正确的是（ ）。
A、一个多边形的外角的个数与边数相同；
B、一个多边形的外角的个数是边数的2倍；
C、多边形的外角和是所有外角的和；
D、多边形的外角和是内角和的一半。
4、一个多边形每个外角都是30 ，这个多边形是（ ）。
A、十边形 B、十一边形 C、十二边形 D、十三边形
C
B
B
C
六角螺母的一个面是六边形的，这个六边形的六个内角相等，求每一个内角的度数。
一个多边形的内角和等于1080 ，求它的边数。
三、解答题
多边形的内角和公式
（n-2） 180 ＝ n边形的内角和
什么时候可以顺向应用？什么时候可以逆向应用？
已知边数求多边形的内角和 — 直接应用内角和公式。
已知多边形的内角和求边数 — 逆向应用多边形内角和公式解关于n的方程。
1、三角形、四边形都属于多边形，所以四
边形的定义、边、顶点、内角、外角、
内角和、外角和、周长等概念可类比地
扩展到多边形。
2、n边形的内角和是(n-2)·180 ，揭示了多
边形的内角和与边数的关系：当边数增
加1时，内角和增加180 。
3、任意多边形的外角和都是360 ，与边数
无关。
多边形的内角和
小 结
在本课的学习中，同学们又一次体会到了类比、扩展、归纳、概括、从具体到抽象、化繁为简、化未知为已知等数学思想方法在数学中的应用。在平时的学习中，同学们应注意知识与知识之间的联系，灵活运用数学思想与方法，这样你才能体会到学习数学的乐趣，让数学成为你走向成功的助手。
复习课本59－62页
选做题：用两种方法证明多边形
内角和定理
完成63页习题4.1第5、6题
多边形的内角和
生活中的多边形形象
多边形的内角和
教学目标
能说出多边形的概念，能正确识别多边形的边、顶点、内角、外角、对角线。
会推导多边形的内角和与外角和定理、并会应用它们进行有关多边形的边数、内角与外角的度数的计算。
此外，继续渗透类比与转化的思想，以培养学生由具体到抽象进行归纳、概括的能力。
由不在同一条直线上的 条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形。
在平面内，由不在同一条直线上的 条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形。
三
四
在平面内，由不在同一条直线上的 条线段首尾顺次相接组成的图形叫 边形。
n
n
1、多边形的边、顶点、内角、外角、对角
线的意义和四边形基本相同。
在平面内，由 线段首尾顺次相接组成的图形叫 边形。
一些
多
2、和四边形一样，多边形也有凹凸之分，
现在我们只研究凸多边形。
多边形的定义
1. 读出下列多边形，指出它的边、顶点、内角，过顶点A 和A1 的所有对角线，并在它的每个顶点处作出一个外角。
D
A
E
B
C
多边形的内角和指的是什么？外角和
指的是什么？
A5
An
A1
A2
A3
A4
观察下列图形，从多边形的一个顶点出发可以引多少条对角线？这些对角线把多边形分成几个三角形？你能猜想 n 边形的内角和是多少度吗？
（1）
（6）
（5）
（4）
（3）
（2）
多边形
的边数 图 形 分割出的三角形的个数 多边形的
内 角 和
3
4
5
------ ------ ------ ------
n
n-2
1
2
3
(3-2)×180
(4-2)×180
(5-2)×180
(n-2)×180
多边形的内角和定理：
n边形的内角和等于(n-2)·180
∵过n 边形的一个顶点的所有对角线把n 边形分成 (n-2)个三角形，这(n-2)个三角形的内角和恰好是多边形的内角和，
∵三角形的内角和为180 ，
∴ n 边形的内角和等于(n-2)·180 。
你能用别的方法证明
这个定理吗？
证明：
证明多边形内角和定理的基本思想是什么？
推论：任意多边形的外角 和
等于360 。
类比前边的做法，你能归纳出n 边形的外角和是多少吗？
∵ n边形的每一个外角与它相邻的内角的和是_____
∴ n边形的内角和加外角和等于 ________
∵ n 边形的内角和等于 ___________
A1
A2
A3
An
A4
证明：
180 ,
(n-2) 180 ,
∴ n 边形的外角和等于n 180 – (n-2) 180 ＝360 。
n 180 ，
已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数。
解：设多边形的边数为n ,
∵它的内角和等于(n-2) 180 ，外角
和等于360 ，
∴ (n-2)×180 ＝2 × 360
解得 n=6
∴这个多边形的边数6
一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加多少度？
解：设边数为n ,则内角和等于(n－2) 180 ，
当边数增加1时，内角和等于(n＋1－2) 180
∵ (n＋1－2) 180 － (n－2) 180
＝n 180 － 180 － n 180 ＋360
＝180
∴内角和增加180
一、填空题
十二边形的内角和是（ ）。
正六边形的一个内角等于（ ）。
一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加（ ）。
一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是（ ）边形。
一个多边形的内角和是720 ，则此多边形共有（ ）个内角。
1800
120
180
四
六
二、选择题
1、从 n边形的一个顶点出发作对角线，把这个多边形分
成三角形的个数是（ ）。
A、n B、n-1 C、n-2 D、n-3
2、n边形所有外角的个数是（ ）。
A、n B、2n C、3n D、不能确定
3、下列说法中，正确的是（ ）。
A、一个多边形的外角的个数与边数相同；
B、一个多边形的外角的个数是边数的2倍；
C、多边形的外角和是所有外角的和；
D、多边形的外角和是内角和的一半。
4、一个多边形每个外角都是30 ，这个多边形是（ ）。
A、十边形 B、十一边形 C、十二边形 D、十三边形
C
B
B
C
六角螺母的一个面是六边形的，这个六边形的六个内角相等，求每一个内角的度数。
一个多边形的内角和等于1080 ，求它的边数。
三、解答题
多边形的内角和公式
（n-2） 180 ＝ n边形的内角和
什么时候可以顺向应用？什么时候可以逆向应用？
已知边数求多边形的内角和 — 直接应用内角和公式。
已知多边形的内角和求边数 — 逆向应用多边形内角和公式解关于n的方程。
1、三角形、四边形都属于多边形，所以四
边形的定义、边、顶点、内角、外角、
内角和、外角和、周长等概念可类比地
扩展到多边形。
2、n边形的内角和是(n-2)·180 ，揭示了多
边形的内角和与边数的关系：当边数增
加1时，内角和增加180 。
3、任意多边形的外角和都是360 ，与边数
无关。
多边形的内角和
小 结
在本课的学习中，同学们又一次体会到了类比、扩展、归纳、概括、从具体到抽象、化繁为简、化未知为已知等数学思想方法在数学中的应用。在平时的学习中，同学们应注意知识与知识之间的联系，灵活运用数学思想与方法，这样你才能体会到学习数学的乐趣，让数学成为你走向成功的助手。
复习课本59－62页
选做题：用两种方法证明多边形
内角和定理
完成63页习题4.1第5、6题