温州大学拜城县实验高中2011——2012学年第二学期第一次月考测试题
高一数学 考试时间：120，满分：150
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在△ABC中，下列式子与相等的是( )
A. B. C. D.
2．已知等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9等于( )
A．7 B．8 C．9 D．10
3．在△ABC中，a＝2，b＝5，c＝6，则cosB等于( )
A. B. C. D．－
4．在△ABC中，A＝45°，AB＝2，则AC边上的高等于( )
A．2 B. C．2 D．不确定
5．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝( )
A．12 B．13 C．14 D．15
6．等比数列{an}中，a5a14＝5，则a8a9a10a11＝( )
A．10 B．25 C．50 D．75
7．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )
A．75° B．60° C．45° D．30°
8．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10＝( )
A．45 B．50 C．75 D．60
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为( )
A. B. C.或 D.或
10．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于( )
A．60 B．24 C．18 D．90
11．设{an}是等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )
A．S412．△ABC中，已知2A＝B＋C，且bc＝a2，则该三角形的形状是( )
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．非等边的等腰三角形 D．有一角为60°的直角三角形
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝________.
14．在数列{an}中，a1＝2，且对任意自然数n,3an＋1－an＝0，则an＝________.
15．如图1所示，在平地上有一点A，测得一塔尖C的仰角为45°，向前行进a m到B处又测得塔尖C的仰角为60°，则塔高是________．
图1
16．数列{an}中的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则通项公式an＝________.
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．本大题共6小题，17,18,19,20,21每小题12分
17．已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．
18．设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsinA.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝3，c＝5，求边b.
19.数列的前n项和为，若
（1）求（2）是否存在等比数列满足若存在，则求出数列的通项公式；若不存在，则说明理由。
20．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
21．如图2，货轮在海上以35 n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122°.半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32°.求此时货轮与灯塔之间的距离．
图2
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）
已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.
．
23．（本小题满分10分）
若△ABC的面积为，c＝2，A＝60°，求b、a的值．
24．（本小题满分10分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.
求△ABC的面积；
考号：
姓名：
班级：温州大学拜城县实验高中2011——2012学年第二学期第一次月考测试题高一数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在△ABC中，下列式子与相等的是( )
A. B. C. D.
答案：D
2．已知等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9等于( )
A．7 B．8 C．9 D．10
解析： ∵a5＝4，a7＝6，
∴
得q2＝
a9＝a7·q2＝6×＝9
答案： C
3．在△ABC中，a＝2，b＝5，c＝6，则cosB等于( )
A. B. C. D．－
解析：cosB＝＝.
答案：A
4．在△ABC中，A＝45°，AB＝2，则AC边上的高等于( )
A．2 B. C．2 D．不确定
解析：AC边上的高等于ABsinA＝2sin45°＝.
答案：B
5．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝( )
A．12 B．13 C．14 D．15
解析： S5＝＝25
∴a1＋a5＝10，又∵a1＋a5＝2a3
∴a3＝5，a2＝3，∴d＝2
∴a7＝a3＋(7－3)d＝5＋4×2＝13.故选B.答案： B
6．等比数列{an}中，a5a14＝5，则a8a9a10a11＝( )
A．10 B．25 C．50 D．75
解析： ∵a8a11＝a9a10＝a5a14＝5，
∴a8a9a10a11＝(a5a14)2＝25.
答案： B
7．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )
A．75° B．60° C．45° D．30°
解析：由×BC×ACsinC＝3，得×4×3sinC＝3，
所以sinC＝.所以C＝60°或120°.
又△ABC是锐角三角形，所以C＝60°.
答案：B
8．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10＝( )
A．45 B．50 C．75 D．60
解析： 由已知：a1＋a2＋a3＋a11＋a12＋a13＝150，
∴3(a1＋a13)＝150，∴a1＋a13＝50.
∵a4＋a10＝a1＋a13，∴a4＋a10＝50.
答案： B
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B的值为( )
A. B. C.或 D.或
解析：由a2＋c2－b2＝ac联想到余弦定理cosB＝＝，∴B＝.
答案：A
10．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于( )
A．60 B．24 C．18 D．90
解析： 由题意得
S10＝10×(－3)＋×2＝60，故选A.
答案： A
11．设{an}是等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )
A．S4解析：设公差为d，则
解得d＝2，a1＝－8，则a3＝－4，a4＝－2，a5＝0，a6＝2，则S4＝S5.
答案：B
12．△ABC中，已知2A＝B＋C，且bc＝a2，则该三角形的形状是( )
A．等腰直角三角形
B．等边三角形
C．非等边的等腰三角形
D．有一角为60°的直角三角形
解析：∵A＋B＋C＝π，且2A＝B＋C，∴A＝，
又∵bc＝a2，∴cosA＝＝＝，
∴(b－c)2＝0，∴b＝c，∴此三角形为等边三角形．
答案：B
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝________.
解析： 由a6＝S3＝12可得{an}的公差d＝2，首项a1＝2，故易得an＝2n.
答案： 2n
14．在数列{an}中，a1＝2，且对任意自然数n,3an＋1－an＝0，则an＝________.
解析： 由3an＋1－an＝0得＝，∴an＝2·n－1
答案： 2·n－1
15．如图6所示，在平地上有一点A，测得一塔尖C的仰角为45°，向前行进a m到B处又测得塔尖C的仰角为60°，则塔高是________．
图6
解析：在△ABC中，＝，∴BC＝＝＝a＝(＋1)a，在Rt△BCD中，CD＝BC·sin60°＝(＋1)a·＝a.
答案：a
16．数列{an}中的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则通项公式an＝________.
解析：当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－2n＋2)－[(n－1)2－2(n－1)＋2]＝2n－3.
又n＝1时，2n－3≠a1，
所以有an＝
答案：an＝
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．
解析： 方法一：根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，
则，
即，解得或.
因为数列{an}为单调递增数列，因此，从而等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.
18．设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsinA.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝3，c＝5，求边b.
解：(1)由a＝2bsinA，根据正弦定理，得sinA＝2sinBsinA，所以sinB＝.
又△ABC为锐角三角形，则角B为锐角，
所以B＝.
(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝27＋25－45＝7，
所以b＝.
19.数列的前n项和为，若
（1）求（2）是否存在等比数列满足若存在，则求出数列的通项公式；若不存在，则说明理由。
20．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
解析： (1)依题意有2S3＝S1＋S2，
即a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－.
(2)由已知可得a1－a12＝3，
故a1＝4，
从而Sn＝＝.
21．如图8，货轮在海上以35 n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122°.半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32°.求此时货轮与灯塔之间的距离．
图8
解：在△ABC中，B＝152°－122°＝30°，C＝180°－152°＋32°＝60°，A＝180°－30°－60°＝90°，BC＝，∴AC＝sin30°＝.
答：船与灯塔间的距离为n mile.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．
22．（本小题满分10分）
已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.
解析： 设{an}的公差为d，则
即
解得或
因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)
或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．
23．（本小题满分10分）
若△ABC的面积为，c＝2，A＝60°，求b、a的值．
解：∵S＝bc·sinA＝bsin60°＝，∴b＝1.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝3，
∴a＝.
24．（本小题满分10分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.
(1)求△ABC的面积；
解：(1)因为cos＝.
所以cosA＝2cos2－1＝，sinA＝.
又由·＝3，得bccosA＝3，
所以bc＝5.因此S△ABC＝bcsinA＝2.
