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第一章
数与代数
四、数的整除
1.
因数与倍数
如果a能被b整除，那么a叫做b的倍数，b叫做a的因数。因数和倍数是相互依存的。
(1)一个数的因数的个数是
的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
(2)一个数的倍数的个数是
的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
有限
无限
因数和倍数
2.
2，3，5的倍数的特征
(1)2的倍数特征：个位上是0，2，4，6，8的数。
(2)5的倍数特征：个位上是
的数。
(3)3的倍数特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这
个数就是3的倍数。
(4)既是2的倍数又是5的倍数的数的特征：个位上是____的数。
(5)既是2，5的倍数，又是3的倍数的数的特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，且个位上是0的数。
0或5
0
1.
自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，最小的偶数是____；不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是____。
2.
自然数中，除了偶数，就是
。
0
1
奇数
偶数与奇数
1.
一个数如果只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数(也叫做素数)。最小的质数是____。
2.
一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。最小的合数是____。
注意：①____既不是质数，也不是合数。②按具有因数的个数，自然数可分为质数、合数、1和0。
2
4
1
质数与合数
1.
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的
。
2.
公因数的个数是有限的，最小的是1。1是所有自然数的
。
3.
公因数只有1的两个数叫做互质数。
4.
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的
。
最大公因数
公因数
最小公倍数
最大公因数和最小公倍数
5.公倍数的个数是无限的，没有
。
6.
求两个数的最大公因数与最小公倍数的三种情况
两个数的关系
最大公因数
最小公倍数
互质关系
1
两数的乘积
倍数关系
较小的数
较大的数
一般关系
列举法(或短除法)
列举法(或短除法)
最大公倍数
例1
判断：因为1.5÷0.5＝3，所以1.5是0.5的倍数，0.5是1.5的因数。( )
因数和倍数的概念要求被除数和商都必须是整数，且没有余数。
答案
这句话是错误的。
因数和倍数的概念及特点
判断：因为4×9＝36，所以4和9都是因数，36是倍数。
(
)
错误
例2
用24个大小相同的正方形拼成一个长方形，有几种拼法？
找一个数的因数的方法
方法一：要将24个正方形拼成一个长方形，就是将24个正方形一行一行地摆，每行所摆正方形的个数相同，看摆几行正好用完24个正方形。我们可以从24的最小因数1开始想起，先想1和几相乘得24，再想2和几相乘得24，再想3，4……不能得到24的排除。按照这种有序思考的方式，就能保证结果不重复不遗漏。
即：24＝1×24，24＝2×12，24＝3×8，24＝4×6。
方法二：也可以用除法算式的方法。即把24固定为被除数，按照顺序，依次用1，2，3，4……去除24，看除得的商是不是整数，如果是整数，则可确定为一种拼法。即：24÷1＝24，24÷2＝12，24÷3＝8，24÷4＝6。
答案
共四种方法：长24，宽1；长12，宽2；长8，宽3；长6，宽4。
妈妈给6岁的毛毛12个同样大小的小方块，让她拼成长方形，你来帮毛毛想一想，共能拼成多少种不同的长方形？
答案 3种：长12，宽1；长6，宽2；长4，宽3。
能被2，3，5整除的数的特征
例3
从0，2，3，4，7中选4个数，组成一个四位数，使这个数同时是2，3和5的倍数，这个数最大是____________，最小是
________________。
同时是2，3和5的倍数，这个数必须是30的倍数，个位上必须是0，另外三个数的和必须是3的倍数，2＋3＋4＝9，2＋3＋7＝12都是3的倍数。
答案
12
9
在□里填上合适的数，使这个数既有因数2，又有因数3，还是5的倍数：□2□、□2□、□2□。
答案
2
、
2
、
2
1
0
4
0
7
0
例4
两个质数的和是12，这两个质数是( )和( )。
要找出12以内的所有质数，即2，3，5，7，11，然后看看哪两个数的和是12。
答案
5 7
质数的概念
18以内所有质数(素数)的和是______。
58
例5
a＝3b(a、b都是大于1的自然数)，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
a＝3b，说明a是b的倍数，b是a的因数。因此，具有倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
答案
b a
最大公因数和最小公倍数
a和b(a、b都是不为0的自然数)的最大公因数是1，a和b的最小公倍数是____。
ab
最大公因数的实际应用
例6
把一块长12分米、宽8分米的铁皮分割成同样大小的若干块正方形铁皮。如果不许铁皮剩下，正方形的块数又要最少，那么可以分割成多少块？
将长12分米、宽8分米的铁皮分割为正方形铁皮，且不许铁皮剩下，则必须要求分割成的正方形的边长既是12的因数，又是8的因数，即必须是12和8的公因数；要正方形的块数“最少”，则必然求正方形的边长要“最大”，所以正方形的边长必须是12和8的最大公因数。
答案
12和8的最大公因数是4，(12÷4)×(8÷4)＝6(块)。可以分割成6块。
幼儿园的阿姨把一张长36厘米，宽28厘米的彩色纸片剪成同样大小的正方形纸片，不能有剩余，最少可以剪成____个。
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最小公倍数的实际应用
例7
小明的爸爸妈妈都在工厂上班，爸爸每工作7天休息一天，妈妈工作5天休息一天。那么小明的爸爸妈妈至少每隔多少天就能都在家休息？
爸爸妈妈的工作周期应该是8天和6天，不应该是7天和5天。如下图：
很明显，爸爸和妈妈的工作周期是7＋1和5＋1，即8和6，因此正确的解法是求8和6的最小公倍数。
答案
24天
暑假里，王明每隔5天去一次图书馆，韩立每隔4天去一次图书馆，他们7月1日同时去图书馆，到暑假结束8月30日，他们一共几次同时去图书馆？
答案 4次
谢谢！
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一、
填空题。
1.
在50以内的自然数中，最大的质数是( )，最小的合数是( )。
2.
既是质数又是奇数的最小的一位数是( )。
3.
比6小的自然数中，既是偶数又是合数的是( )。
4.
在自然数中，最小的奇数是( )，最小的质数是( )，最小的合数是( )。
5.
同时是2和5的倍数的数，最小的两位数是( )，最大的两位数是( )。
6.
25的最小倍数是( )，最大因数是( )，最小因数是( )。
7.
用4，5，6这三个数字，组成是5的倍数的最大三位数是( )；组成一个是3的倍数的最小三位数是( )。
8.
在2，13，35，15，21，17，51，91，97中，质数是( )，合数是( )。
9.
偶数＋偶数＝( )，奇数＋奇数＝( )，偶数＋奇数＝( )。
10.
有一个比14大，比19小的奇数，它同时是质数，这个数是( )。
二、
判断题。
1.
任何自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身。( )
2.
个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。( )
3.
36的全部因数是2，3，4，6，9，12和18，共有7个。( )
4.
一个自然数越大，它的因数的个数就越多。( )
5.
一个合数至少有三个因数。( )
6.
所有的质数都是奇数。( )
7.
100以内的最大质数是99。( )
8.
个位上是3，6，9的数都能被3整除。( )
三、
选择题。
1.
两个不同质数的最大公因数是
( )。
A.
1 B.
小数 C.
大数
2.
下面描述1.5和3的关系正确的是
( )。
A.
1.5是3的倍数
B.
3是1.5的倍数
C.
3是1.5的2倍
3.
大于2的两个质数的乘积一定是
( )。
A.
质数
B.
偶数
C.
合数
4.
一筐苹果，2个2个拿，3个3个拿，4个4个都正好拿完而没有余数，这筐苹果最少应有( )。
A.
12个
B.
24个
C.
48个
D.
30个
5.
自然数中，凡是17的倍数( )。
A.
都是偶数
B.
有偶数有奇数
C.
都是奇数
6.
一个合数，它是由两个不同的质数相乘得来的，这个合数至少有( )个因数。
A.
2
B.
3
C.
1
D.
4
四、
求出下列各数的最大公因数和最小公倍数。
1.
求最大公因数：36和18 ________
3和17
________
45和15 ________
16和18 ________
2.
求最小公倍数：20和25 ________
14和21 ________
26和39 ________
4，6和8 __________
五、
生活应用。
1.
某学校三年级(一)班的同学做操，把学生分为10人分一组，
4人分一组，8人分一组，都恰好分完，这个班至少有多少名学生？
2.
有一个长方体木块，长64厘米，宽40厘米，高24厘米，如果要切成同样大小的小正方体，不能有剩余，这些正方体的棱长最长是多少厘米？
3.
1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又有这三种路线的车同时发车？
4.
张老师把五(3)班同学平均分成5组去植树，张老师和每个同学植树一样多，师生一共植树246棵，五(3)班有多少同学，平均每人植树多少棵？
能力拓展
1.
两个相邻奇数的和是16，它们的最大公约数是( )，最小公倍数是( )。
2.
A的最大因数是12，B的最小倍数是8。A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
3.
一盒铅笔，平均分给5人差2支，平均分给6人也差2支。这盒铅笔至少有多少支？
