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第一章
数与代数
第四节 正比例和反比例
一、比和比例
比的意义与基本性质
名称
比的意义
比的基本性质
定义
两个数相除又叫做两个数的___。
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。
举例
12：16＝(12×2)：(16×2)＝(12÷4)：(16÷4)
＝
说明
它是表示两个数(量)的关系。(两个量可以是同类量，也可以不是同类量)
要使比值不变，前、后项必须注意：“同时”“乘或除以”“相同”“0除外”
比
比
前项
比号
后项
比值
分数
分子
分数线
分母
分数值
除法
被除数
除号
除数
商
比和除法、分数的关系
求比值与化简比
求比值
化简比
意义
用比的前项除以比的后项所得的商。
把比的前项和后项化成最简单的整数比(前项、后项都是整数，而且它们的最大公因数是1)
一般方法
比的前项除以后项。
(1)利用比的基本性质，将比的前、后项同时乘或除以相同的数(0除外)。
(2)可用求比值的方法，先求比值，再将比值写成最简单的整数比的形式
结果
一个数，可以是整数、小数或分数
一个比，也可以写成真、假分数的形式，但不能写成带分数、小数或整数
注意事项
当两个同类量相比，前项、后项单位不同时，要先化成相同的单位，然后再求比值或化简比。
例如：0.5米：3分米＝5分米：3分米＝5：3
比例
1.
比例的意义
表示
相等的式子叫比例。注意：比例是两个比组成
，而且它们的比值相等；比例是一个________。
两个比
等式
比例
2.
比例的组成
组成比例的四个数，分别是比例的项。两端的两项叫做比例的________，中间的两项叫做比例的_________。如：
外项
内项
3.
比例的基本性质
在比例中，两个外项的乘积与两个内项的乘积_______，这叫做比例的基本性质。
相等
4.
比例的判定方法
(1)应用比例的意义，看两个比的比值是否相等，如果它们的__________，则这两个比能够组成比例。
(2)应用比例的基本性质，看两个外项的乘积和两个内项的乘积_________，如果它们的乘积相等，则这两个比能组成比例。
比值相等
是否相等
5.
比和比例的区别
内容
比
比 例
意义
两个数相除又叫做两个数的比
表示两个比相等的式子叫做比例
组成
两项：前项和后项
四项：外项与内项
基本性质
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变
在比例里，两个内项的乘积等于两个外项的乘积
形式
一个相除的式子
一个等式
解比例
1.
解比例的意义
根据比例的基本性质，如果已知比例的任何三项，就可以求出比例的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做__________。
2.
解比例的方法
根据比例的基本性质，可以得到：外项×外项＝内项×内项，所以一个外项＝内项×内项÷另一个外项，或一个内项＝外项×外项÷___
_______。
解比例
另一个内项
比例尺
1.
比例尺的意义：图上距离与____________的比叫做这幅图的比例尺。
2.
比例尺的分类
(1)按表现形式：
①数值比例尺。如：1：600000表示图上距离与实际距离的比是1：600000。
②线段比例尺。如：
表示图上距离1厘米相当于实际距离是_____________。
实际距离
5千米
2.
比例尺的分类
(2)按前、后项的大小关系：
①放大比例尺。如：30：1表示图上30厘米相当于实际距离1厘米。(把实际距离扩大30倍，画在图纸上)
②缩小比例尺。如：1：600000表示图上1厘米相当于实际距离600000厘米。(把实际距离____________倍，画在图纸上)
缩小600000
3.
比例尺的应用中常用的关系式
图上距离：实际距离＝比例尺
图上距离÷比例尺＝实际距离
实际距离×比例尺＝图上距离
注意：①图上距离与实际距离的单位要统一。②比例尺是一个最简整数比，一般它的前项是1，因此它没有单位。
化简比的方法
例1
化简比：1小时：15分钟。
化简比要注意单位统一，运用比的基本性质进行化简，结果是最简整数比的形式。
1小时：15分钟＝60分钟：15分钟＝60：15＝(60÷15)：(15÷15)＝4：1。
答案
4：1
化简比：1吨：300千克
答案
8：3
比的基本性质
例2
甲、乙两数的比是5：3，如果甲数加上10，要使比值不变，乙数应加上多少？
第一种方法：甲、乙两数的比是5：3，如果甲数加上10后，甲数为10＋5＝15，可知甲数由原来的5到现在的15，扩大到原来的3倍，要使比值不变，根据比的基本性质，比的后项也应扩大到原来的3倍，所以乙数也应扩大到原来的3倍，即3×3＝9，因此乙数应加上9－3＝6。第二种方法：甲数加上10，也可以看作增加2倍，要使比值不变，乙数也要增加2倍，即3×2＝6
。
答案：6
把4：15的前项加上4，要使比值不变，比的后项应加上多少？
答案：15
按比例分配问题
例3
一个长方形的周长是60cm，长与宽的比是3：2，求长方形的面积。
由长与宽的比是3：2，是把长与宽的和按3：2分配。
求出总份数：3＋2＝5，对应的总数量不是60
cm，而是一组长与宽的和，即60÷2＝30cm。长：30×
＝18(厘米)，宽：30×
＝12(厘米)，面积：18×12＝216(平方厘米)。
答案
216平方厘米
甲乙两数的平均数是12，它们的比是
：
，求甲乙两数分别是多少？
答案：甲数：10 乙数：
14
比例意义以及比例的判断方法
例4
下面两个比中，( )能组成比例。
①5：8和8：5
③4：3和
6：8
比例的判断有两种方法：(1)
根据比例的意义，求两个比的比值。(2)根据比例的基本性质，如果能够组成比例，它们的两个内项的积与两个外项的积相等，反之则不能组成比例。
答案
②
下面每组的两个比，不能组成比例的是( )。
①5：6和45：54
②14：7和48：16
②
比例的组成以及比例的基本性质
例5
把下面的等式写成比例的形式：8×3＝4×6。
解决此题的关键是由等式确定比例中的内项与外项。而比例的基本性质是：在比例中，两个内项的乘积与两个外项的乘积相等。
答案
4：8＝3：6
4：3＝8：6
6：8＝3：4
6：3＝8：4
8：4＝6：3
3：4＝6：8
8：6＝4：3
3：6＝4：8
给三个数4，20，10，配上一个数，可以组成比例，这个数可以是_____________。
2或8或50
比例尺意义以及已知图上距离与比例尺求实际距111111111离的方法
例6
一张图纸的比例尺是30：1。在这张图纸上，测得一个零件长6厘米，求这个零件的实际长多少？
比例尺是图上距离与实际距离的比，因此在比例尺30：1中，图上距离占30份，实际距离占1份。所以图上距离6厘米对应的份数是30份或6厘米是实际距离的
或实际距离是图上距离的
。
答案
0.2厘米
在一幅地图上，1厘米表示实际30千米，改写成数值比例尺是________________。
1：3000000
二、
正比例和反比例
1.
正、反比例的意义
(1)相关联的量：一种量变化，另一种量也随着变化，这样的两种量叫做______________。
(2)正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的_________(商)一定，这两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做成_________的关系。
相关联的量
比值
正比例
正、反比例的意义与判断
正、反比例的意义与判断
1.
正、反比例的意义
(3)反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的_____一定，那么这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例的关系。
乘积
2.
正、反比例关系式
如果用字母x和y表示两种相关联的量，正比例关系可以用式子表示：_________(一定)；反比例关系可以用式子表示：_________(一定)。
3.
图象
如果两种相关联的量中，相对应的两个数用有序数对表示，在平面内这些有序数对可以用一个点表示，如果将这些点连接起来，便形成了正、反比例的图象。通过在平面内将有序数对的点连接起来，会发现：正比例的图象是____________________，而反比例的图象是__________。
经过原点O的一条直线
一条曲线
＝k
xy＝k
4.
正、反比例关系的判断
(1)正比例关系的判断方法：
①确定两种相关联的量。
②相对应的两个数的比值是否一定____________。
如果比值一定，这两个量就叫做的关系。
(2)反比例关系的判断方法：
①确定两种相关联的量。
②相对应的两个数的乘积是否一定_____________。
如果乘积一定，这两个量就叫做的关系。
成正比例
成反比例
正、反比例的区别
区别与联系
正比例
反比例
不同点
变化趋势
一种量在增加，另一种量也随着增加；反之亦然
一种量在增加，另一种却在减少；反之亦然
意义
两种相关联的量，这两种量中相对应数的比值一定
两种相关联的量，这两种量中相对应数的乘积一定
关系式
y：x＝k(一定)
y×x＝k(一定)
图象
一条直线
一条曲线
相同点
有两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化
正比例的意义与判断
例1
订阅《小学生数学报》的份数和总钱数是不
111111是成正比例？
判断两个数量是否成正比例，一要看这两个量是不是相关联的量，二要看这两个量的比值是否一定。
答案：
成正比例
正方形的边长与面积成正比例吗？
答案：不成比例
反比例的意义与判断
例2
路程一定，车轮的半径和车轮转动的圈数成反111111比例吗？
判断两个数量是否成反比例，一要看这两个量是不是相关联的量，二要看这两个量的乘积是否一定。
答案
成反比例
煤的总量一定，每天的烧煤量与能够烧的天数成反比例吗？
答案：成反比例
正、反比例的判断方法
例3
判断下面各题中的两种量是否成比例，成什么比例？
1111111(1)三角形的面积一定，它的底与底边上的高。
1111111(2)圆的面积与半径。
1111111(3)圆的直径一定，周长与圆周率。
1111111(4)从甲地到乙地，已经行的路程与剩下的路程。
判断两种量是否成比例，首先要确定这两种量之间的关系式，然后判断这两种量的比值(或积)是否一定，当比值(或积)一定时成正(或反)比例；否则，不成比例。
答案
(1)成比例，成反比例；(2)不成比例；(3)不成比例；(4)不成比例。
正、反比例的判断方法
判断下面每组中的两个量成不成比例，如果成比例，成正比例还是反比例？
(1)自然数a(0除外)与它的倒数。(
)
(2)分数值一定，分子与分母。(
)
(3)小明拿100元去买书，付出的钱数与找回的钱数。
(
)
(4)人的年龄与身高。(
)
成反比例
成正比例
不成比例
不成比例
谢谢！
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基础达标
一、填空题。
1.李师傅6小时生产零件150个，王师傅4小时生产零件120个。
(1)李师傅与王师傅工作时间的最简整数比是( )，比值是( )。
(2)李师傅与王师傅工作量的最简整数比是( )，比值是( )。
(3)李师傅与王师傅工作效率的最简整数比是( )，比值是( )。
2.把5×6＝10×3改成比例( )。
3.
甲圆的半径是4厘米，乙圆的半径是6厘米，则甲、乙两圆半径比是( )，周长比是( )，乙圆的面积与甲圆面积的比是( )。
4.如果男生人数的与女生的相等，则男生与女生的人数比是( )。
5.一间教室的长是9米，宽是6米，如果画在一张比例尺是1：200的图纸上，这间教室的长是( )厘米，宽是( )厘米。
二、选择题。
1.盐水的含盐率是20%，则盐与水的比是( )。
A.
1：5 B.
1：4 C.
1：6
2.如果五年级一班女生占全班人数的，则五年级一班男生人数与女生人数的比是( )。
A.
4：5
B.
5：4
C.
5：9
3.下面哪个比能与：4组成比例( )。
A.
5：4
B.
20：1
C.
1：20
D.
5：
4.一个比的前项乘以5，而比的后项除以，则它们的比值( )。
A.
不变
B.
扩大25倍 C.
缩小25倍
5.饲养场，母鸡的只数比公鸡多25%，则公鸡与母鸡的只数比是( )。
A.
4：1
B.
4：5
C.
5：4
D.
1：4
三、判断题。
1.把1.2：0.3化成最简整数比是3。( )
2.如果被减数与差的比是5：3，则减数与差的比是2：3。( )
3.一条路已修的与全长的比是3：8，则剩下了全长的62.5%
。( )
4.圆柱与圆锥的体积比是3：1
。( )
四、求下列各比的比值。
1．2小时：36分钟
：2.5
6千克：4500克
立方米：600立方分米
五、将下列各比化成最简整数比。
5：3.5 ：2.5
125：500 1.6千米：400米
六、求未知数x。
x：1.5＝ ：x＝：
0．75：x＝4：8
＝
七、解决问题。
1.某校五年级男生人数比女生人数多20%。
(1)男生人数与女生人数的最简整数比。
(2)女生人数与全年级人数的最简整数比。
2.一条路第一天修了全长的，第二天修了以后，这时已修的与剩下的比是2：3，第二天修了全长的几分之几？
3.用下面4个数据，你能组成几个比例，把组成的比例写出来。
能力拓展
1.
在一张1：10000000的地图上，测得甲、乙两个城市之间的距离是6厘米，客车和货车同时从甲、乙相对出发，4小时后相遇，相遇时客车与货车所行路程比是2∶3，客车每小时行( )千米，货车每小时行( )千米。
2.
玩具公司按1：20的标准制作模型，一架飞机模型长110厘米，这架飞机实际有多少米？
正比例和反比例
基础达标
一、填空题。
1.
在比例里，两个内项的积是12，则两个外项成( )比例。
2.
小明的年龄和他的体重( )。
3.
如果两个相关联的量互为倒数，则这两个相关联的量成( )比例。
4.
除数一定，被除数和商( )。
5.
图上距离一定，( )和( )成( )比例。
二、选择题。
1.
如果x＝y，则x和y( )。
A.
成正比例 B.
成反比例
C.
不成比例
2.
如果圆柱的底面积一定，圆柱的体积与高( )。
A.
成正比例
B.
成反比例
C.
不成比例
3.
教室的面积一定，正方形瓷砖的块数与( )成反比例。
A.
正方形瓷砖的边长
B.
每块正方形瓷砖的面积
C.
每块瓷砖的周长
4.
长方形的( )一定，长与宽不成比例。
A.
周长
B.
面积
C.
长与宽的比值
三、判断题。
1.
x和y是两种相关联的量，如果x×y＝k，则x和y成反比例。( )
2.
全班的人数一定，出勤的人数与出勤率成正比例。( )
3.
正方体一个面的面积与它的表面积成正比例。( )
4.
速度与路程成正比例。( )
5.
差一定，被减数与减数不成比例。( )
四、按要求完成下列各题。
1.如果x和y成正比例，完成下表的内容。
x,1,1.2,____,24
y,5,____,7.5,____2.
如果x和y成反比例，完成下表内容。
x,1,4,____
y,5,____,3
五、根据表格，回答问题。
某工人加工一批零件，每小时加工的零件个数与工作时间如下表：
每小时加工的个数
10
20
30
40
50
60
加工的时间(小时)
30
15
10
7.5
6
5
1.
根据上表中的数据，在下图中依次描出各点，并顺次连接起来。
2.
如果每小时加工25个零件，大约用多少小时完成任务？
3.
如果要4小时完成任务，大约每小时生产多少个零件？
4.
从图中，你发现了什么？
六、观察下图，回答问题。
一辆汽车行驶路程与时间的关系如下图所示：
1.
根据上图完成下表：
路程(千米)
180
150
时间(时)
1
3
两种相关联的量是( )和( )，它们相对应数的比值是( )，说明( )一定，( )和( )成( )比例。
2.
根据上图，汽车行驶1.5小时，可以行多少千米？
3.
如果汽车行驶200千米大约要多少小时？
能力拓展
体积相等的一个圆柱和一个圆锥，它们的高的比是4：9，圆柱的底面积是12
cm2，圆锥的底面积是多少cm2?
