安徽省“皖南八校”2020-2021学年高二下学期6月联考数学理科试题 Word版含答案

1150620011417300“皖南八校”2020~2021学年下学期高二联考
数学试卷（理科）
考生注意：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第II卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3.本卷命题范围：必修1—5占30%，选修2—1占20%，选修2—2占40%，选修2—3第一章占10%。
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合false，false，则false的子集个数是
A.1 B.3 C.2 D.4
2.若关于x的不等式false成立的充分条件为：false，则实数a的取值范围是
A. false B. false C. false D. false
3.若复数false（false，false为虚数单位）为纯虚数，则实数m的值为
A. false B. false C. false D. false
4.定积分false
A. false B. false C. false D. false
5.已知函数false，则false
A. false B.4 C.6 D.1
6.将函数false的图象向左平移false个单位长度得到函数false的图象，若存在false，false使得false，且false的最小值为false，则false
A. false B. false C. false D. false
7.函数false的图象可能是
A. B. C. D.
8.已知false，则false的值是
A. false B. false C. false D. false
9.用5种不同的颜色对一个四棱锥各个顶点着色，若由同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有
A.120种 B.420种 C.240种 D.180种
10.对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和，如下所示：
false，
false，
false，
false，…
根据上述规律，在213的分解式中，等号右边的所有数的个位数之和为：
A.88 B.92 C.101 D.100
11.设函数false是定义在false上的可导函数，其导函数为false，且有false，则不等式false的解集为
A. false B. false C. false D. false
12.已知双曲线false的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，false的内切圆的圆心为C，且false，则双曲线的离心率为
A. false B. false C. false D. false
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若false，false，若false，则实数t的值为 .
14.在false的展开式中，含x4项的系数为 .
15.已知四面体ABCD的顶点A、B、C、D在同一个球面上，false是直角三角形，且false，false，false，当四面体ABCD的体积取最大值时，该球的表面积为 .
16.设a，b为正数，若直线false过圆false的圆心，则false的最小值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知复数false.
（1）若z在复平面中所对应的点在直线false上，求m的值；
（2）求false的取值范围.
18.（本小题满分12分）
设false是各项都为正数的单调递增数列，已知false，且false满足关系式：false，false.
（1）求false的通项公式；
（2）若false，求数列false的前n项和false.
19.（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为正方形，false平面ABCD，false，M为PC中点，false.
（1）证明：false平面ABCD；
（2）求二面角false的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知函数false，false.
（1）求false的单调区间；
（2）若false，且false的极小值小于false，求a的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线false与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，椭圆C另一个焦点是F1，且false.
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过点false，且与椭圆C交于P，Q两点，求false的内切圆面积的最大值.
22.（本小题满分12分）
已知函数false，false.
（1）令false，讨论函数false的单调性；
（2）求证：対任意的正整数n，当false时，有false.
“皖南八校”2020~2021学年下学期高二联考?数学（理科）
参考答案、提示及评分细则
1. D false，false，false，故子集有4个.
2. A 不等式false等价于false，故false，解得false.
3. D false为纯虚数，故false.
4. B false，false，false，即为扇形false的面积false，所以false.
5. D false，false，代入函数false，得false，false.
6. D false，令false，解得false，false，经验算false.
7. C 函数为偶函数，故排除D，根据函数在趋向于false时单调递增的性质可知，只能选C.
8. B 令false，则false；令false，则false，所以false.
9. B 设四棱锥为false，则由题意，点P，A，B分别有5，4，3种涂法，
当C与A颜色相同时，C有1种涂色方法，此时D有3种涂色方法，
当C与A颜色不相同时，C有2种涂色方法，此时D有2种涂色方法，
故此时共有false种涂色方法.
10. C false，故等号右边的所有数的个位数之和为false.
11. A 由条件，false，false在false上单调递减，所求不等式可化为false，故false，false.
12. B 过点C作false的垂线，垂足为D，则false，解得false，false，故离心率为false.
13. false 由false，得false，解得false.
14. false false
二项式false的展开式中false，则false，false，false，所以含false项的系数为false.
15. 29π 当false，false平面ABC时，四面体ABCD体积最大，此时可以将四面体ABCD放到长宽高分别为4，2，3的长方体中，此长方体的外接球即为四面体ABCD的外接球，所以false，该球的表面积为29π.
16. false 圆false的圆心为false，所以false，即false，false，当且仅当false时，等号成立.
17.解：（1）化简得false，所以z在复平面中所对应的点的坐标为false，
因为点false在直线false上，所以false，解得false.
（2）false，
因为false，且false，所以false，
所以false的取值范围为false.
18.解：（l）false，
false，即false.
又false是各项为正数的单调递增数列，
false，又false，
false数列false是首项为3，公差为3的等差数列，
false，false.
（2）由（1）可得：false，
false.
19.证明：（1）取CD的中点N，连接AN，MN，
因为M，N分别为PC，CD中点，所以false，
又false，所以false，所以四边形AQMN为平行四边形，所以false.
又因为false平面ABCD，false平面ABCD，所以false平面ABCD.
（2）如图，以D点为原点，DA为x轴，DP为y轴，DC为z轴建立空间直角坐标系，则false，
false，
设平面BPA的一个法向量为false，平面BPQ的一个法向量为false，
所以false，所以false，
令false，则false，false.
同理有false，
设二面角false的平面角为false，
所以false，
由图可知false为鋭角，所以二面角false的余弦值为false.
20.解：（1）false，
①当false时，false在false上单调递减，在false上单调递增；
②当false时，false在false上单调递增，在false上单调递减，在false上单调递增；
③当false时，false在false上单调递增；
④当false时，false在false上单调递增，在false上单调递减，在false上单调递增.
（2）已知false，由（1）知false，
令false，false，则false，
所以false在false上单调递减且false，所以false.
21.解：（1）根据直线false与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点false，可知焦点在x轴上且M点坐标为false.
false，false，false.
设椭圆C方程：false，将点M坐标false代入椭圆C方程得false，
false，false，false.
false椭圆C方程false.
（2）直线l过点false，且与椭圆C交于P，Q两点，
则false的周长为false，且false（false三角形内切圆半径），
要使false的内切圆面积最大，即使false的面积最大，
false为定长，false的面积为false，（false，false分别为P，Q的纵坐标），
可设直线l的方程为false，代入椭圆方程可得false，
false，false，
false.
显然false上式取得最大值，当且仅当直线false过false，与x轴垂直时false的面积最大.
此时false，false，false，false.
设false的内切圆半径为r，则false，所以false，其面积false.
22.解：（1）false的定义域为false，false，
false.
①当false时，false，false，false在false上恒成立，故false在false上为减函数.
②当false时，由false得false，判别式false，false不等式false对false恒成立，从而false在false上恒成立，故false在false上为减函数.
③当false时，由false，即false，判别式false，false方程false有两个不同实根，解之得：false或false，
又false时，false恒成立，
false当false时，false，当false时，false，
故false在false上为减函数，在false上为増函数
（2）证明：要证false，只需证false，
当false时，对任意的正整数n，恒有false，
故只需证明false即可，下面直接作差构造函数证明：
令false，false，
则false，当false时false，故false在false上单调递增，
false当false时，false，即false成立.
故当false时，有false.