甘肃省2021年6月高中学业水平考试模拟考试数学试题2 Word版含解析

2021年甘肃省学业水平考试模拟试卷（2）
高中数学
单项选择题：本大题共20小题，每小题3分，共60分。
1．已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则必有(　　)
A．－1∈A B．0∈A
C.∈A D．2∈A
2．下列函数中，与函数y＝x－1相等的是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝t－1 D．y＝－
3．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间(　　)
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
4．已知函数f(x)＝x－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0 A．恒为正值 B．等于0
C．恒为负值 D．不大于0
5．已知函数f(x)＝，则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
6．已知直线l1：x＋my＋6＝0和l2：mx＋4y＋2＝0互相平行，则实数m的值为(　　)
A．－2 B．2
C．±2 D．2或4
7.掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪发生的概率为 (　　)
A. B. C. D.
8．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知a，b，c是直线，则下面命题：
①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；
②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；
③若a∥b，则a，b与c所成的角相等．
其中真命题的 个数为(　　)
A．0 B．3 C．2 D．1
10.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是(　　)

A．6＋4 B．4＋4
C．6＋2 D．4＋2
11．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
12．函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为(　　)
A．0＜a≤ B．0≤a≤
C．0＜a＜ D．a＞
13．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝(　　)
A． B．2 C．1 D．3
14．已知直线(3k－1)x＋(k＋2)y－k＝0，则当k变化时，所有直线都通过定点(　　)
A．(0，0) B．
C． D．
15．如图，在多面体ACBDE中，BD∥AE，且BD＝2，AE＝1，F在CD上，要使AC∥平面EFB，则的值为(　　)

A．3 B．2
C．1 D．
16．如图，正方体ABCD?A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′?EFQ的体积(　　)

A．与点E，F的位置有关
B．与点Q的位置有关
C．与点E，F，Q的位置都有关
D．与点E，F，Q的位置均无关，是定值
17.一个射手进行射击，记事件E1：“脱靶”，E2：“中靶”，E3：“中靶环数大于4”，E4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有 (　　)
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
18．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x2－11x＋3 000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于(　　)
A．55台 B．120台
C．150台 D．180台
19．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
20.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 (　　)
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
21．函数f(x)＝－x2＋b在[－3，－1]上的最大值是4，则它的最小值是__________．
22．若过点P(1－a，1＋a)与点Q(3，2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________．
23．函数y＝－x(x≥2)的值域为(－∞，－1]．
24．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________．
解答题（共3小题，共28分）
25．(本小题满分8分)若sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，且 ＋ ＝2，求tan α.

26．(10分)已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1)求m；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
27．(10分)为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水收费标准如下：每户每月用水不超过6吨时每吨3元，当用水超过6吨但不超过15吨时，超过部分每吨5元，当用水超过15吨时，超过部分每吨10元．
(1)求水费y(元)关于用水量x(吨)之间的函数关系式；
(2)若某户居民某月所交水费为93元，试求此用户该月的用水量．
2021年甘肃省学业水平考试模拟试卷（2）
高中数学 解析版
单项选择题：本大题共20小题，每小题3分，共60分。
1．已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则必有(　　)
A．－1∈A B．0∈A
C.∈A D．2∈A
解析：∵A＝{x∈N|－≤x≤}＝{0,1}，
∴0∈A.
答案：B
2．下列函数中，与函数y＝x－1相等的是(　C　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝t－1 D．y＝－
解析：A项y＝＝|x－1|，与y＝x－1的对应关系不同；B项，函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，与函数y＝x－1的定义域不同；D项，y＝－＝－|x－1|，与y＝x－1的对应关系不同，不是相等函数，故选C.
3．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间(　　)
A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)
C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)
解析：构造f(x)＝2x－x2，则f(1.8)＝0.242，f(2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f(x)＝2x－x2＝0，所以方程2x＝x2的一个根就位于区间(1.8，2.2)上．
答案：C
4．已知函数f(x)＝x－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0 A．恒为正值 B．等于0
C．恒为负值 D．不大于0
解析：∵函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(x0)＝0，∴当x∈(0，x0)时，均有f(x)>0，而0 ∴f(x1)>0.
答案：A
5．已知函数f(x)＝，则不等式f(x)>f(1)的解集是(　A　)
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析：画出函数f(x)的图象如图所示，令f(x)＝f(1)，得x＝－3,1,3，所以当f(x)>f(1)时，必有x∈(－3,1)∪(3，＋∞)．故选A.
6．已知直线l1：x＋my＋6＝0和l2：mx＋4y＋2＝0互相平行，则实数m的值为(　　)
A．－2 B．2
C．±2 D．2或4
C　[由l1∥l2得m2－4＝0.解得m＝±2.经验证均符合题意，故选C.]
7.掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪发生的概率为 (　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.事件A表示出现2点或4点，事件表示出现5点或6点，故P(A∪)==.
8．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B　[圆心(3，3)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝2，而圆的半径为3，故符合题意的点有2个．]
9．已知a，b，c是直线，则下面命题：
①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；
②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；
③若a∥b，则a，b与c所成的角相等．
其中真命题的 个数为(　　)
A．0 B．3 C．2 D．1
D　[异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确．]
10.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是(　　)

A．6＋4 B．4＋4
C．6＋2 D．4＋2
right0C　[由三视图可知该几何体为三棱锥，记为三棱锥P?ABC，将其放入正方体中，如图，易知PA＝AB＝AC＝2，PB＝PC＝BC＝2，故其表面积为S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC＝×2×2＋×2×2＋×2×2＋×2×2×＝6＋2，故选C.]
11．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
解析：根据使函数有意义的条件求解．
由得－1＜x≤2，且x≠0.
答案：B
12．函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为(　　)
A．0＜a≤ B．0≤a≤
C．0＜a＜ D．a＞
解析：当a≠0时，函数f(x)的对称轴为x＝－，
∵f(x)在(－∞，4]上为减函数，
∴图象开口朝上，a＞0且－≥4，
得0＜a≤.当a＝0时，
f(x)＝－2x＋2，显然在(－∞，4]上为减函数．
答案：B
13．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝(　　)
A． B．2 C．1 D．3
B　[依题意，圆心(0，0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，即＝，＝1×cos 45°＝，所以a2＝b2＝1，故a2＋b2＝2.]
14．已知直线(3k－1)x＋(k＋2)y－k＝0，则当k变化时，所有直线都通过定点(　　)
A．(0，0) B．
C． D．
C　[直线方程变形为k(3x＋y－1)＋(2y－x)＝0，则直线通过定点. ]
15．如图，在多面体ACBDE中，BD∥AE，且BD＝2，AE＝1，F在CD上，要使AC∥平面EFB，则的值为(　　)

A．3 B．2
C．1 D．
B　[连接AD交BE于点O，连接OF, 因为AC∥平面EFB，平面ACD∩平面EFB＝OF，所以AC∥OF. 所以＝. 又因为BD∥AE，所以△EOA∽△BOD，所以＝＝2. 故＝2.]
16．如图，正方体ABCD?A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′?EFQ的体积(　　)

A．与点E，F的位置有关
B．与点Q的位置有关
C．与点E，F，Q的位置都有关
D．与点E，F，Q的位置均无关，是定值
D　[VA′?EFQ＝VQ?A′EF＝××EF×AA′×A′D′，所以其体积为定值，与点E，F，Q的位置均无关．]
17.一个射手进行射击，记事件E1：“脱靶”，E2：“中靶”，E3：“中靶环数大于4”，E4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有 (　　)
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【解析】选B.E1与E3，E1与E4均为互斥而不对立的事件.
18．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x2－11x＋3 000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于(　　)
A．55台 B．120台
C．150台 D．180台
解析：设产量为x台，利润为S万元，则
S＝25x－y＝25x－(0.1x2－11x＋3 000)
＝－0.1x2＋36x－3 000＝－0.1(x－180)2＋240，
则当x＝180时，生产者的利润取得最大值．
答案：D
19．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
B　[选项A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故选项A错误；选项B，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项B正确；选项C，由条件应得α⊥β，故选项C错误；选项D，l与β的位置不确定，故选项D错误．故选B.]
20.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 (　　)
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
【解析】选C.由题意知阅读过《红楼梦》而没有阅读过《西游记》的学生人数为80-60=20，所以阅读过《西游记》的学生人数为90-20=70，故所求的估计值为=0.7.
填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
21．函数f(x)＝－x2＋b在[－3，－1]上的最大值是4，则它的最小值是__________．
解析：函数f(x)＝－x2＋b在[－3，－1]上是增函数，当x＝－1时取最大值，所以b＝5，当x＝－3时，取最小值f(－3)＝－9＋5＝－4.
答案：－4
22．若过点P(1－a，1＋a)与点Q(3，2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________．
(－2，1)　[k＝＝＜0，得－2＜a＜1. ]
23．函数y＝－x(x≥2)的值域为(－∞，－1]．
解析：令t＝，则x＝t2＋1，由x≥2，知t≥1，于是y＝－t2＋t－1＝－(t－)2－(t≥1)，当t＝1时， ymax＝－1，故函数y＝－x(x≥2)的值域为(－∞，－1]．
24．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________．
(x－2)2＋(y＋3)2＝5　[由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r＝＝，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.]
解答题（共3小题，共28分）
25．(本小题满分8分)若sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，且 ＋ ＝2，求tan α.
解析：　∵sin αcos α＜0，sin αtan α＜0，
∴α是第二象限角，
∴ ＋
＝ ＋
＝＝＝2，
∴cos α＝－，
则sin α＝，tan α＝－1.
26．(10分)已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1)求m；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解析：(1)∵f(1)＝3，即1＋m＝3，∴m＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x＋，其定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
所以此函数是奇函数．
27．(10分)为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水收费标准如下：每户每月用水不超过6吨时每吨3元，当用水超过6吨但不超过15吨时，超过部分每吨5元，当用水超过15吨时，超过部分每吨10元．
(1)求水费y(元)关于用水量x(吨)之间的函数关系式；
(2)若某户居民某月所交水费为93元，试求此用户该月的用水量．
解：(1)y＝
(2)因为93>63，
所以63＋10(x－15)＝93?x＝18.
即此用户该月的用水量为18吨．