7.3.4正切函数的性质与图像-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第三册课时练习（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 7.3.4正切函数的性质与图像-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第三册课时练习（Word含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 646.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-15 15:35:02 | ||
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文档简介
7.3.4正切函数的性质与图像课时练习
A级 巩固基础
一、单选题
1．函数的值域是（ ）
A．（﹣1，1） B． C． D．
2．函数的一个对称中心是（ ）
A．(0，0) B． C． D．(π，0)
3．函数的单调递增区间是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
4．下列函数中最小正周期为的函数的个数（ ）
①；②；③
A．0 B．1 C．2 D．3
5．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．2
6．的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．.
7．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
8．设，，，则（ ）．
A． B． C． D．
B级 综合应用
9．下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数 图象中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于，两点，且.则的一个增区间为( )
A． B．
C． D．
二、填空题
11．函数的对称中心是________.
12．函数的单调递增区间为________
13．函数的值域是______________.
14．设，则的大小关系为_______________.
三、解答题
15．求函数的定义域.
C级 拓展探究
16．阅读与探究
人教A版《普通高中课程标准实验教科书 数学4（必修）》在第一章的小结中写到：
将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法，而且使我们能够借助直角坐标系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从而用单位圆上点的纵坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数.因此，正弦函数、余弦函数的基本性质与圆的几何性质（主要是对称性）之间存在着非常紧密的联系.例如，和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性；单位圆周长为与正弦函数、余弦函数的周期为是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的等等.因此，三角函数的研究过程能够很好地体现数形结合思想.
依据上述材料，利用正切线可以讨论研究得出正切函数的性质.
比如：由图1.2-7可知，角的终边落在四个象限时均存在正切线；角的终边落在轴上时，其正切线缩为一个点，值为；角的终边落在轴上时，其正切线不存在；所以正切函数的定义域是.
（1）请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数的单调性和奇偶性；
（2）根据阅读材料中途1.2-7，若角为锐角，求证：.
参考答案
1．C
【分析】
根据函数y＝tanx在（﹣，）上的单调性即可求出值域．
【详解】
因为函数y＝tanx在（﹣，）单调递增，
且tan＝；tan（﹣）＝﹣1，
则所求的函数的值域是（﹣1，），
故选：C.
2．C
【分析】
根据正切函数的性质，即可求得函数的一个对称中心，得到答案.
【详解】
由题意，令，解得，
再令，可得，所以函数的一个对称中心是.
故选：C.
3．A
【分析】
根据正切函数的图象与性质，令，即可求得函数的递增区间，得到答案.
【详解】
由题意，令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选：A.
4．C
【分析】
利用三角函数的性质和周期公式逐个求解即可
【详解】
解：对于①，由正弦函数的图像和性质可知其周期为；
对于②，其周期为；
对于③，其周期为，
所以共有2个函数的周期为，
故选：C
5．D
【分析】
利用函数的最小正周期为得出结论.
【详解】
函数的是小正周期为,
故选D.
【点睛】
本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题. 函数的周期为.
6．A
【分析】
利用定义可求得正切型函数的最小正周期.
【详解】
，
因此，函数的最小正周期为.
故选：A.
【点睛】
本题考查正切型函数的最小正周期，考查计算能力，属于基础题.
7．A
【分析】
根据求解，即可得出结果.
【详解】
为使函数有意义，只需，
即，
所以函数定义域为：.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查求正切型函数的定义域，熟记正切函数定义域即可，属于基础题型.
8．D
【分析】
用诱导公式将已知角化为锐角，再利用正弦函数和正切函数的单调性比较可得答案.
【详解】
，，
，
因为在上单调递增，
所以，即，
因为在上单调递增，
所以，即，
所以．
故选：D.
【点睛】
本题考查了诱导公式，考查了利用正弦函数和正切函数的单调性比较大小，属于基础题.
9．B
【分析】
先由函数定义域，排除A；再由函数奇偶性排除D，最后根据函数单调性，即可得出B正确，C错误.
【详解】
A选项，的定义域为，故A不满足题意；
D选项，余弦函数是偶函数，故D不满足题意；
B选项，正切函数是奇函数，且在上单调递增，故在区间是增函数，即B正确；
C选项，正弦函数是奇函数，且在上单调递增，所以在区间是增函数；因此是奇函数，且在上单调递减，故C不满足题意.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查三角函数性质的应用，熟记三角函数的奇偶性与单调性即可，属于基础题型.
10．C
【分析】
由题意可知函数的最小正周期，从而求出，再整体代入法求出函数的单调递增区间，从而得出答案．
【详解】
解：由题意可知函数的最小正周期，
∴，解得，
∴，
由得，
当时，得，故A错；
当时，得，故B错、C对；
当时，得，故D错；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查正切函数的周期性与单调性，考查数学想象能力，属于基础题．
11．
【分析】
由正切函数的性质即可得到答案.
【详解】
由正切函数的图象可知，的对称中心是.
故答案为：
【点睛】
本题考查正切函数的对称中心，考查学生对正切函数性质的理解与掌握，是一道基础题.
12．，
【分析】
直接由求解即可
【详解】
由，，
解得，，
故函数的单调增区间为，，
故答案为：，
【点睛】
此题考查求正切型函数的单调递增区间，利用了整体代换法求解，属于基础题
13．R
【分析】
根据正切函数性质得结果.
【详解】
因为的值域为R，所以函数的值域是R
故答案为：R
【点睛】
本题考查正切函数值域，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．
【分析】
利用诱导公式，可得，根据在的单调性，可得大小，然后根据在的单调性，以及中间值1比较，可得结果.
【详解】
由题可知：
由在的单调递增，
所以
又在的单调递增
所以
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查利用正切函数，正弦函数单调性比较式子大小，一般把角度化为同一个单调区间中，同时也会借用中间值，比如：0，1等，进行比较，审清题意，细心计算，属基础题.
15．
【分析】
根据正切函数性质列式求解，即得结果.
【详解】
解：由，得，
∴原函数的定义域为.
【点睛】
本题考查正切函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．（1）见解析（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）在单位圆中画出角的正切线，观察随增大正切线的值得变化情况，再观察时，正切线的值随增大时的变化情况，发现正切函数在区间上单调递增.（2）当是锐角时，有，由此得到.
解析：（1）当时， 增大时正切线的值越来越大；当时，正切线与区间上的情况完全一样；随着角的终边不停旋转，正切线不停重复出现，故可得出正切函数在区间上单调递增；由题意知正切函数的定义域关于原点对称，在坐标系中画出角 和，它们的终边关于轴对称，在单位圆中作出它们的正切线，可以发现它们的正切线长度相等，方向相反，即，得出正切函数为奇函数.
（2）如图，当为锐角时，在单位圆中作出它的正弦线，正切线，又因为，所以，又 ，而，故即.
点睛：三角函数线是研究三角函数性质（如定义域、值域、周期性、奇偶性等）的重要工具，它体现了数形结合的数学思想，是解三角不等式、三角方程等不可或缺的工具.
A级 巩固基础
一、单选题
1．函数的值域是（ ）
A．（﹣1，1） B． C． D．
2．函数的一个对称中心是（ ）
A．(0，0) B． C． D．(π，0)
3．函数的单调递增区间是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
4．下列函数中最小正周期为的函数的个数（ ）
①；②；③
A．0 B．1 C．2 D．3
5．函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．2
6．的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．.
7．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
8．设，，，则（ ）．
A． B． C． D．
B级 综合应用
9．下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
10．我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数 图象中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于，两点，且.则的一个增区间为( )
A． B．
C． D．
二、填空题
11．函数的对称中心是________.
12．函数的单调递增区间为________
13．函数的值域是______________.
14．设，则的大小关系为_______________.
三、解答题
15．求函数的定义域.
C级 拓展探究
16．阅读与探究
人教A版《普通高中课程标准实验教科书 数学4（必修）》在第一章的小结中写到：
将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法，而且使我们能够借助直角坐标系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从而用单位圆上点的纵坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数.因此，正弦函数、余弦函数的基本性质与圆的几何性质（主要是对称性）之间存在着非常紧密的联系.例如，和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性；单位圆周长为与正弦函数、余弦函数的周期为是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的等等.因此，三角函数的研究过程能够很好地体现数形结合思想.
依据上述材料，利用正切线可以讨论研究得出正切函数的性质.
比如：由图1.2-7可知，角的终边落在四个象限时均存在正切线；角的终边落在轴上时，其正切线缩为一个点，值为；角的终边落在轴上时，其正切线不存在；所以正切函数的定义域是.
（1）请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数的单调性和奇偶性；
（2）根据阅读材料中途1.2-7，若角为锐角，求证：.
参考答案
1．C
【分析】
根据函数y＝tanx在（﹣，）上的单调性即可求出值域．
【详解】
因为函数y＝tanx在（﹣，）单调递增，
且tan＝；tan（﹣）＝﹣1，
则所求的函数的值域是（﹣1，），
故选：C.
2．C
【分析】
根据正切函数的性质，即可求得函数的一个对称中心，得到答案.
【详解】
由题意，令，解得，
再令，可得，所以函数的一个对称中心是.
故选：C.
3．A
【分析】
根据正切函数的图象与性质，令，即可求得函数的递增区间，得到答案.
【详解】
由题意，令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选：A.
4．C
【分析】
利用三角函数的性质和周期公式逐个求解即可
【详解】
解：对于①，由正弦函数的图像和性质可知其周期为；
对于②，其周期为；
对于③，其周期为，
所以共有2个函数的周期为，
故选：C
5．D
【分析】
利用函数的最小正周期为得出结论.
【详解】
函数的是小正周期为,
故选D.
【点睛】
本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题. 函数的周期为.
6．A
【分析】
利用定义可求得正切型函数的最小正周期.
【详解】
，
因此，函数的最小正周期为.
故选：A.
【点睛】
本题考查正切型函数的最小正周期，考查计算能力，属于基础题.
7．A
【分析】
根据求解，即可得出结果.
【详解】
为使函数有意义，只需，
即，
所以函数定义域为：.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查求正切型函数的定义域，熟记正切函数定义域即可，属于基础题型.
8．D
【分析】
用诱导公式将已知角化为锐角，再利用正弦函数和正切函数的单调性比较可得答案.
【详解】
，，
，
因为在上单调递增，
所以，即，
因为在上单调递增，
所以，即，
所以．
故选：D.
【点睛】
本题考查了诱导公式，考查了利用正弦函数和正切函数的单调性比较大小，属于基础题.
9．B
【分析】
先由函数定义域，排除A；再由函数奇偶性排除D，最后根据函数单调性，即可得出B正确，C错误.
【详解】
A选项，的定义域为，故A不满足题意；
D选项，余弦函数是偶函数，故D不满足题意；
B选项，正切函数是奇函数，且在上单调递增，故在区间是增函数，即B正确；
C选项，正弦函数是奇函数，且在上单调递增，所以在区间是增函数；因此是奇函数，且在上单调递减，故C不满足题意.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查三角函数性质的应用，熟记三角函数的奇偶性与单调性即可，属于基础题型.
10．C
【分析】
由题意可知函数的最小正周期，从而求出，再整体代入法求出函数的单调递增区间，从而得出答案．
【详解】
解：由题意可知函数的最小正周期，
∴，解得，
∴，
由得，
当时，得，故A错；
当时，得，故B错、C对；
当时，得，故D错；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查正切函数的周期性与单调性，考查数学想象能力，属于基础题．
11．
【分析】
由正切函数的性质即可得到答案.
【详解】
由正切函数的图象可知，的对称中心是.
故答案为：
【点睛】
本题考查正切函数的对称中心，考查学生对正切函数性质的理解与掌握，是一道基础题.
12．，
【分析】
直接由求解即可
【详解】
由，，
解得，，
故函数的单调增区间为，，
故答案为：，
【点睛】
此题考查求正切型函数的单调递增区间，利用了整体代换法求解，属于基础题
13．R
【分析】
根据正切函数性质得结果.
【详解】
因为的值域为R，所以函数的值域是R
故答案为：R
【点睛】
本题考查正切函数值域，考查基本分析求解能力，属基础题.
14．
【分析】
利用诱导公式，可得，根据在的单调性，可得大小，然后根据在的单调性，以及中间值1比较，可得结果.
【详解】
由题可知：
由在的单调递增，
所以
又在的单调递增
所以
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查利用正切函数，正弦函数单调性比较式子大小，一般把角度化为同一个单调区间中，同时也会借用中间值，比如：0，1等，进行比较，审清题意，细心计算，属基础题.
15．
【分析】
根据正切函数性质列式求解，即得结果.
【详解】
解：由，得，
∴原函数的定义域为.
【点睛】
本题考查正切函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．（1）见解析（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）在单位圆中画出角的正切线，观察随增大正切线的值得变化情况，再观察时，正切线的值随增大时的变化情况，发现正切函数在区间上单调递增.（2）当是锐角时，有，由此得到.
解析：（1）当时， 增大时正切线的值越来越大；当时，正切线与区间上的情况完全一样；随着角的终边不停旋转，正切线不停重复出现，故可得出正切函数在区间上单调递增；由题意知正切函数的定义域关于原点对称，在坐标系中画出角 和，它们的终边关于轴对称，在单位圆中作出它们的正切线，可以发现它们的正切线长度相等，方向相反，即，得出正切函数为奇函数.
（2）如图，当为锐角时，在单位圆中作出它的正弦线，正切线，又因为，所以，又 ，而，故即.
点睛：三角函数线是研究三角函数性质（如定义域、值域、周期性、奇偶性等）的重要工具，它体现了数形结合的数学思想，是解三角不等式、三角方程等不可或缺的工具.