7.4数学建模活动：周期现象的描述-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第三册课时练习（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 7.4数学建模活动：周期现象的描述-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第三册课时练习（Word含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 863.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-15 15:38:23 | ||
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文档简介
7.4数学建模活动：周期现象的描述课时练习
A级 巩固基础
一、单选题
1．已知函数对任意，都有(为常数)，当时，则，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
2．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法、干支是天干和地支的总称，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未，申、西、戌、亥为地支.把十天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、…癸对寅，其中天干比地支少两位，所以天干先循环，甲对戊、乙对亥、…接下来地支循环，丙对子、丁对丑、.，以此用来纪年，今年2020年是庚子年，那么中华人民共和国建国100周年即2049年是（ ）
A．戊辰年 B．己巳年 C．庚午年 D．庚子年
3．奇函数对任意都有，且时，，则（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
4．如图为一半径为的水轮，水轮圆心距水面，已知水轮每分钟转圈，水轮上的点到水面距离与时间满足关系式，则有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．电流强度I（安培）随时间t（秒）变化的函数的图象如图所示，则t为（秒）时的电流强度为（ ）
A．0 B． C． D．
6．下表是某市近30年来月平均气温（℃）的数据统计表：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月平均气温
2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3
则适合这组数据的函数模型是（ ）
A． B．
C． D．
B级 综合应用
二、填空题
7．已知定义在上的函数，满足，且对任意的都有，则______．
8．设函数是以2为最小正周期的周期函数，且时，，则________.
9．如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动需要_______往返一次.
10．在电流强度与时间的关系中，要使t在任意的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值，则正整数的最小值为________.
11．下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为________.
三、解答题
12．已知一简谐振动的函数解析式为，其图像经过点，则该简谐振动的最小正周期和分别是多少？
13．交流电的电压（单位：）与时间（单位：）的关系可用来表示，求：
（1）开始时的电压；
（2）电压值重复出现一次的最短时间间隔；
（3）电压的最大值和第一次获得最大值的时间.
C级 拓展探究
14．电流强度随时间变化的关系式是.
（1）若在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出的解析式；
（2）为了使中的在任意一个的时间段内电流强度能取得最大值与最小值，那么正整数的最小值是多少？
15．某海滨浴场一天的海浪高度是时间的函数，记作，下表是某天各时的浪高数据：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
（1）选用一个三角函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度与时间的函数关系；
（2）依据规定，当海浪高度不少于时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据（1）的结论，判断一天内的至之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？
参考答案
1．B
【分析】
由题设可得函数的周期为4，从而可得，再根据已知的解析式可求的值.
【详解】
因为，故，
所以，所以，故，
所以函数的周期为4，故，
故选：B.
【点睛】
本题考查函数的周期性以及函数值的计算，一般地，如果，那么函数为周期函数且一个周期为，本题属于基础题.
2．B
【分析】
由题意2020年是干支纪年法中的庚子年，则2049的天干为己,地支为?巳，即可求出答案.
【详解】
天干是以10为一周期，地支是以12为一周期，
2020年是干支纪年法中的庚子年，而，所以2049的天干为己,地支为?已，
故选：B.
【点睛】
本题考查数学文化，实际生活中的数学应用，关键在于运用阅读理解能力将生活中的数据和用语转化为数学中的概念和数据，属于中档题.
3．B
【分析】
由得到的周期为，利用周期性、奇函数和时的解析式求得的值.
【详解】
由题意，，，
所以，的周期为，
所以，
又为奇函数，所以，
即.
故选：B
【点睛】
本题主要考查函数值的求法、周期性和奇偶性的应用，属于基础题.
4．B
【分析】
根据题意可得出的值，以及该函数的最小正周期，利用周期公式可求得的值，进而得出结论.
【详解】
由题意可知，可得，该函数的周期为，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角函数解析式中参数的计算，考查计算能力，属于基础题.
5．A
【分析】
根据最大值求出，相邻图像最高点与最低点的横坐标求出周期进而求出，特殊点代入函数解析式可求得，即可求得函数解析式，再将代入函数解析式即可得解.
【详解】
由题图知，函数的周期，
所以，将点代入得，故函数解析式为，再将代入函数解析式得.
故选：A
【点睛】
本题考查根据三家函数图像求正弦型函数的解析式，观察图像，根据最值求得，，根据周期求得，代入特殊点求出，属于基础题.
6．C
【分析】
利用函数的最大值与最小值排除选项A，D，再利用函数的单调性排除选项B，从而得出符合题意的函数.
【详解】
根据题意，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值因此排除选项A，D；
又当时，函数y是单调递增的，当时，函数y是单调递减的，由此排除选项B；
故选：C
【点睛】
本题考查了三角函数的图像与性质的应用问题，属于基础题.
7．
【分析】
根据题意，，转化求解．
【详解】
解：定义在上的函数，对任意的都有，
，
是周期为6的函数，
故答案为：
【点睛】
本题考查了函数的性质，运用周期性求函数值，属于中档题．
8．
【分析】
根据是以2为最小正周期的周期函数,将整理成,又因为,则根据求解即可.
【详解】
解：因为是以2为最小正周期的周期函数,
,
又因为时,
故答案为：
【点睛】
本意考查函数的周期性,是基础题.
9．0.8s
【分析】
观察图像求出周期即可得解.
【详解】
由图象知周期，则这简谐运动需要0.8s往返一次.
故答案为：0.8s
【点睛】
本题考查简谐运动的周期，属于基础题.
10．629
【分析】
由题意得，代入正弦型函数的周期计算公式可求得，即可得解.
【详解】
由题意得，即，
∴，
∴正整数的最小值为629.
故答案为：629
【点睛】
本题考查正弦型函数的周期性，属于基础题.
11．
【分析】
根据函数图像求出，再求出，将特殊点代入函数解析式求出，即可求得函数解析式.
【详解】
解析根据题图设，则，∴，∴.
将点作为“五点法”作图中的第一点，
∴，∴，
∴，.
故答案为：
【点睛】
本题考查根据函数图像求正弦型函数的解析式，根据最值求出A，根据周期求出，再代入特殊点求出，即可求得函数解析式，属于基础题.
12．最小正周期8，.
【分析】
利用周期公式计算最小正周期,代入点求得,再根据求解即可.
【详解】
∵该简谐振动的函数解析式为,
∴最小正周期.
又函数的图像过点,
∴将点代入函数解析式,得,即.
又,∴.
【点睛】
本题主要考查了三角函数最小正周期与解析式的求法,属于基础题.
13．（1）（2）.（3）
【解析】
【分析】
(1)代入求解即可.
(2)电压值重复出现一次的最短时间间隔即为求解最小正周期.
(3)由题意令再求解即可.
【详解】
（1）当时,,即开始时的电压为.
（2）最小正周期,即时间间隔为.
（3）电压的最大值为,当时,,即第一次取得最大值的时间为第.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的实际运用,属于基础题.
14．（1）； （2）629.
【分析】
（1）根据最值求，求，最后代入五点中的求；（2）根据已知可知，根据不等式求的范围和最小值.
【详解】
（1）由图，可知.
，，.
将点代入解析式，得，，
，.
，，.
（2）由题意，知，，
正整数的最小值为629.
【点睛】
本题考查根据三角函数的图象求函数解析式，以及根据函数周期求参数的取值范围，根据的图象求函数的解析式，一般求解方法是根据最大值和最小值列方程组， ，求，根据图象零点或极值点之间的长度得到函数的周期，求，最后代入五点中的一个点求.
15．（1）； （2）至．
【分析】
（1）首先画出散点图，根据散点图的形式可设，根据图象的最高点和最低点可知 ，求，再根据半周期求，最后代入函数取得最大值，代入求；
（2）根据，可求的取值范围.
【详解】
（1）以时间为横坐标，海浪高度为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示：
依据散点图，可以选用函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度与时间的函数关系.从表中数据和散点图，可知，，
所以，得.
又，于是.
由图，知，，
又，所以，从而，即.
（2）由题意，可知，所以，即，
所以，即.
又，所以或或.
故一天内的至之间有可供冲浪爱好者进行冲浪，即至.
【点睛】
本题考查的解析式的求法，以及三角函数的简单应用，根据的图象求函数的解析式，一般求解方法是根据最大值和最小值列方程组， ，求，根据图象的零点和极值点之间的长度求函数的周期，求，最后代入五点中的一个点求.
A级 巩固基础
一、单选题
1．已知函数对任意，都有(为常数)，当时，则，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
2．干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法、干支是天干和地支的总称，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未，申、西、戌、亥为地支.把十天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、…癸对寅，其中天干比地支少两位，所以天干先循环，甲对戊、乙对亥、…接下来地支循环，丙对子、丁对丑、.，以此用来纪年，今年2020年是庚子年，那么中华人民共和国建国100周年即2049年是（ ）
A．戊辰年 B．己巳年 C．庚午年 D．庚子年
3．奇函数对任意都有，且时，，则（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
4．如图为一半径为的水轮，水轮圆心距水面，已知水轮每分钟转圈，水轮上的点到水面距离与时间满足关系式，则有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．电流强度I（安培）随时间t（秒）变化的函数的图象如图所示，则t为（秒）时的电流强度为（ ）
A．0 B． C． D．
6．下表是某市近30年来月平均气温（℃）的数据统计表：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月平均气温
2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3
则适合这组数据的函数模型是（ ）
A． B．
C． D．
B级 综合应用
二、填空题
7．已知定义在上的函数，满足，且对任意的都有，则______．
8．设函数是以2为最小正周期的周期函数，且时，，则________.
9．如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动需要_______往返一次.
10．在电流强度与时间的关系中，要使t在任意的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值，则正整数的最小值为________.
11．下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为________.
三、解答题
12．已知一简谐振动的函数解析式为，其图像经过点，则该简谐振动的最小正周期和分别是多少？
13．交流电的电压（单位：）与时间（单位：）的关系可用来表示，求：
（1）开始时的电压；
（2）电压值重复出现一次的最短时间间隔；
（3）电压的最大值和第一次获得最大值的时间.
C级 拓展探究
14．电流强度随时间变化的关系式是.
（1）若在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出的解析式；
（2）为了使中的在任意一个的时间段内电流强度能取得最大值与最小值，那么正整数的最小值是多少？
15．某海滨浴场一天的海浪高度是时间的函数，记作，下表是某天各时的浪高数据：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
（1）选用一个三角函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度与时间的函数关系；
（2）依据规定，当海浪高度不少于时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据（1）的结论，判断一天内的至之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？
参考答案
1．B
【分析】
由题设可得函数的周期为4，从而可得，再根据已知的解析式可求的值.
【详解】
因为，故，
所以，所以，故，
所以函数的周期为4，故，
故选：B.
【点睛】
本题考查函数的周期性以及函数值的计算，一般地，如果，那么函数为周期函数且一个周期为，本题属于基础题.
2．B
【分析】
由题意2020年是干支纪年法中的庚子年，则2049的天干为己,地支为?巳，即可求出答案.
【详解】
天干是以10为一周期，地支是以12为一周期，
2020年是干支纪年法中的庚子年，而，所以2049的天干为己,地支为?已，
故选：B.
【点睛】
本题考查数学文化，实际生活中的数学应用，关键在于运用阅读理解能力将生活中的数据和用语转化为数学中的概念和数据，属于中档题.
3．B
【分析】
由得到的周期为，利用周期性、奇函数和时的解析式求得的值.
【详解】
由题意，，，
所以，的周期为，
所以，
又为奇函数，所以，
即.
故选：B
【点睛】
本题主要考查函数值的求法、周期性和奇偶性的应用，属于基础题.
4．B
【分析】
根据题意可得出的值，以及该函数的最小正周期，利用周期公式可求得的值，进而得出结论.
【详解】
由题意可知，可得，该函数的周期为，
.
故选：B.
【点睛】
本题考查三角函数解析式中参数的计算，考查计算能力，属于基础题.
5．A
【分析】
根据最大值求出，相邻图像最高点与最低点的横坐标求出周期进而求出，特殊点代入函数解析式可求得，即可求得函数解析式，再将代入函数解析式即可得解.
【详解】
由题图知，函数的周期，
所以，将点代入得，故函数解析式为，再将代入函数解析式得.
故选：A
【点睛】
本题考查根据三家函数图像求正弦型函数的解析式，观察图像，根据最值求得，，根据周期求得，代入特殊点求出，属于基础题.
6．C
【分析】
利用函数的最大值与最小值排除选项A，D，再利用函数的单调性排除选项B，从而得出符合题意的函数.
【详解】
根据题意，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值因此排除选项A，D；
又当时，函数y是单调递增的，当时，函数y是单调递减的，由此排除选项B；
故选：C
【点睛】
本题考查了三角函数的图像与性质的应用问题，属于基础题.
7．
【分析】
根据题意，，转化求解．
【详解】
解：定义在上的函数，对任意的都有，
，
是周期为6的函数，
故答案为：
【点睛】
本题考查了函数的性质，运用周期性求函数值，属于中档题．
8．
【分析】
根据是以2为最小正周期的周期函数,将整理成,又因为,则根据求解即可.
【详解】
解：因为是以2为最小正周期的周期函数,
,
又因为时,
故答案为：
【点睛】
本意考查函数的周期性,是基础题.
9．0.8s
【分析】
观察图像求出周期即可得解.
【详解】
由图象知周期，则这简谐运动需要0.8s往返一次.
故答案为：0.8s
【点睛】
本题考查简谐运动的周期，属于基础题.
10．629
【分析】
由题意得，代入正弦型函数的周期计算公式可求得，即可得解.
【详解】
由题意得，即，
∴，
∴正整数的最小值为629.
故答案为：629
【点睛】
本题考查正弦型函数的周期性，属于基础题.
11．
【分析】
根据函数图像求出，再求出，将特殊点代入函数解析式求出，即可求得函数解析式.
【详解】
解析根据题图设，则，∴，∴.
将点作为“五点法”作图中的第一点，
∴，∴，
∴，.
故答案为：
【点睛】
本题考查根据函数图像求正弦型函数的解析式，根据最值求出A，根据周期求出，再代入特殊点求出，即可求得函数解析式，属于基础题.
12．最小正周期8，.
【分析】
利用周期公式计算最小正周期,代入点求得,再根据求解即可.
【详解】
∵该简谐振动的函数解析式为,
∴最小正周期.
又函数的图像过点,
∴将点代入函数解析式,得,即.
又,∴.
【点睛】
本题主要考查了三角函数最小正周期与解析式的求法,属于基础题.
13．（1）（2）.（3）
【解析】
【分析】
(1)代入求解即可.
(2)电压值重复出现一次的最短时间间隔即为求解最小正周期.
(3)由题意令再求解即可.
【详解】
（1）当时,,即开始时的电压为.
（2）最小正周期,即时间间隔为.
（3）电压的最大值为,当时,,即第一次取得最大值的时间为第.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的实际运用,属于基础题.
14．（1）； （2）629.
【分析】
（1）根据最值求，求，最后代入五点中的求；（2）根据已知可知，根据不等式求的范围和最小值.
【详解】
（1）由图，可知.
，，.
将点代入解析式，得，，
，.
，，.
（2）由题意，知，，
正整数的最小值为629.
【点睛】
本题考查根据三角函数的图象求函数解析式，以及根据函数周期求参数的取值范围，根据的图象求函数的解析式，一般求解方法是根据最大值和最小值列方程组， ，求，根据图象零点或极值点之间的长度得到函数的周期，求，最后代入五点中的一个点求.
15．（1）； （2）至．
【分析】
（1）首先画出散点图，根据散点图的形式可设，根据图象的最高点和最低点可知 ，求，再根据半周期求，最后代入函数取得最大值，代入求；
（2）根据，可求的取值范围.
【详解】
（1）以时间为横坐标，海浪高度为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示：
依据散点图，可以选用函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度与时间的函数关系.从表中数据和散点图，可知，，
所以，得.
又，于是.
由图，知，，
又，所以，从而，即.
（2）由题意，可知，所以，即，
所以，即.
又，所以或或.
故一天内的至之间有可供冲浪爱好者进行冲浪，即至.
【点睛】
本题考查的解析式的求法，以及三角函数的简单应用，根据的图象求函数的解析式，一般求解方法是根据最大值和最小值列方程组， ，求，根据图象的零点和极值点之间的长度求函数的周期，求，最后代入五点中的一个点求.