8.2.4三角恒等变换的应用课时作业
A级 巩固基础
一、单选题
1.函数是( )
A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为的非奇非偶函数 D.最小正周期为的非奇非偶函数
2.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于,则它的底角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
3.若均为第二象限角,满足,,则( )
A. B. C. D.
4.设A、B、C为三角形的三个内角,,该三角形一定是
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
5.在中,是以为第三项,为第七项的等差数列的公差,是以为第三项,为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是
A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.以上都不对
6.在中,若,则的形状不可能是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.三个角都不相等的锐角三角形
7.公元前6世纪,古希腊的毕达哥斯拉学派通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割值约为0.618,这一数值也可以表示为,若,则( )
A. B. C. D.
8.将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,若在上为增函数,则的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B级 综合应用
9.圆心在坐标原点的圆上有两点、,点的坐标为且,若点在角的终边上且角是三角形的一个内角,则的值为( )
A. B. C. D.
10.已知函数,则的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.已知函数与函数,它们的图像有一个横坐标为的交点,则的值是 .
12.已知,则的值为_____.
13.已知均为钝角且,则的大小为______.
14.函数,则的最小值为__________.
C级 拓展探究
三、解答题
15.已知函数.
(1)求函数的最小正周期和最大值;
(2)求函数的单调减区间.
16.已知,,是三角形的三个内角,向量,,且.
(1)求角.
(2)若,求的值.
参考答案
1.D
【分析】
利用二倍角的正弦变形,再由周期公式求周期,结合图象既不关于原点中心对称,也不关于y轴轴对称说明函数为非奇非偶函数.
【详解】
解:.
周期,
函数的图象是把的图象向上平移1个单位得到的,
既不关于原点中心对称,也不关于轴轴对称.
∴是非奇非偶的函数.
∴是最小正周期为的非奇非偶函数.
故选:D.
【点睛】
本题考查二倍角公式的应用,考查函数奇偶性的判定,是基础题.
2.B
【解析】
【分析】
根据三角形内角和为,顶角为,则底角,再有诱导公式即可求解.
【详解】
设等腰三角形的顶角为,底角为,则.又,
即,
故选B.
【点睛】
本题考查三角诱导公式,需熟记公式.
3.B
【分析】
利用同角三角函数的基本关系求得cosα和sinβ的值,两角和的三角公式求得cos(α+β)的值.
【详解】
解:∵sinα,cosβ,α、β均为第二象限角,∴cosα,
sinβ,
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ?(),故答案为B
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的余弦公式,属于基础题.
4.A
【解析】
【分析】
通过三角形的内角和,以及两角和的正弦函数,化简方程,求出角的关系,即可判断三角形的形状.
【详解】
解:因为,
所以,
所以,即,
因为A,B,C是三角形内角,
所以.
所以三角形是等腰三角形.
故选A.
【点睛】
本题主要考查三角形形状的判断,一般处理思路有两种:一是化角为边;二是化边为角,然后进行判断,属于基础题.
5.B
【解析】
解:因为是以为第三项,为第七项的等差数列的公差,因此4d=8,d=2,所以=2,是以为第三项,为第六项的等比数列的公比,q3="27,q=3,"=3,所以tan(A+B)=
,所以三角形就是锐角三角形.
6.D
【分析】
由诱导公式化,由两角和与差的正弦公式和二倍角公式变形后可判断.
【详解】
由已知可得,∴,
∴或,∴或,
∴可能是等腰三角形?直角三角形或等腰直角三角形,
故选:D.
7.B
【分析】
先由同角三角函数基本关系,得到,再由二倍角公式以及诱导公式,将所求式子化简整理,即可得出结果.
【详解】
因为,,所以,
因此.
故选:B.
8.B
【分析】
化简函数的解析式得,由平移可得,然后结合三角函数的单调性确定的最大值即可.
【详解】
函数 ,
函数图象向左平移个单位,得的图象,
∴函数;
又在上为增函数,
∴,即,解,
所以的最大值为2.
故选:B
9.A
【分析】
由已知得,再运用正弦、余弦二倍角、以及辅助角公式化简原式为,代入可求得其值得选项.
【详解】
因为,为等边三角形,,即,而为三角形的内角,
,
故选:A.
10.A
【分析】
根据三角恒等变换公式化简,结合的范围,可得选项.
【详解】
因为,所以
,
因为,所以,所以由,解得,
所以的单调递增区间是,
故选:A.
11.
【解析】
试题分析:由可得交点坐标为.由函数可得,因,故.
考点:三角函数值
12.
【分析】
由求得,化简为即可得到答案.
【详解】
解:由,得,即.
所以
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查余弦函数的二倍角公式,诱导公式,考查学生的计算能力及对公式得掌握程度,属于基础题.
13.
【分析】
由同角三角函数关系分别求得和,进而可得,从而得解.
【详解】
均为钝角且,
,
又,,
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了给值求角问题,解题的关键是计算,属于基础题.
14.
【分析】
先根据二倍角公式和诱导公式将函数化简为的形式即可求出答案.
【详解】
因为,
所以当时,函数有最小值,最小值为,
故答案为:.
15.(1);(2)..
【分析】
(1)应用二倍角公式,将函数化为正弦型三角函数,即可求解;
(2)根据正弦函数的单调递减区间结合整体代换,即可求出结论.
【详解】
(1),
最小正周期为,最大值为;
(2)由,
,
单调递减区间是.
【点睛】
本题考查二倍角公式化简函数,考查三角函数的性质,属于中档题.
16.(1);(2).
【分析】
(1)由题意得,化简得,由此可求出答案;
(2)由题意得,得,由得,再根据两角和的正切公式即可求出答案.
【详解】
解:(1)∵,∴,
又,,
∴,
即,
∴,
∴,
∴;
(2)∵,
∴,
∴,
由得,
.
【点睛】
本题主要考查简单的三角恒等变换,属于基础题.