第8章向量的数量积与三角恒等变换 基础测试-【新教材】2020-2021学年人教B版（2019）高中数学必修第三册（Word含解析）

人教B版（2019）第八章向量的数量积与三角恒等变换基础检测题
一、单选题
1．已知向量，满足，，且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．向量，，则（ ）
A．1 B． C．7 D．0
4．（ ）
A． B． C． D．
5．函数的最小值是（ ）
A．0 B．1 C． D．
6．（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量，，则与的夹角为（）
A． B． C． D．
8．化简求值（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，则在上的投影的数量为（ ）
A． B． C． D．
10．已知是单位向量，.若向量满足（ ）
A． B．
C． D．
11．已知向量满足， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
12．函数在的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．0
二、填空题
13．若则tanβ=____．
14．函数的最小正周期为___.
15．设，向量，，，且，，则_____________.
16．若函数的最小值为1，则正实数____．
三、解答题
17．已知，.
（1）若为与的夹角，求的值；
（2）若与垂直，求的值.
18．已知函数.
求函数的最小正周期；
若对恒成立，求实数的取值范围.
19．已知平面向量，满足，，．
（1）求向量与的夹角；
（2）当实数x为何值时，与垂直．
20．已知向量，，与为共线向量，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
21．已知锐角三角形ABC中，，．
（1）求证：；
（2）若AB边上的高为2，求边AB的长．
22．已知向量，，，且，．
（1）求与；
（2）若，，求向量，的夹角的大小．
参考答案
1．C
【分析】
先计算，将两边同时平方展开，将、的值代入即可求解.
【详解】
因为，所以，
将两边同时平方可得：，
即，
所以，解得，
故选：C
2．C
【分析】
根据向量垂直的坐标表示，列出方程求出，再由向量模的坐标表示，即可得出结果.
【详解】
因为，，，
所以，解得，
所以.
故选：C.
3．A
【分析】
根据数量积的坐标表示直接计算即可.
【详解】
，，
.
故选：A.
4．C
【分析】
用两角和与差的余弦公式化简求解
【详解】
故选：C
5．D
【分析】
利用二倍角的余弦公式以及三角函数的性质即可求解.
【详解】
，
所以的最小值为-1
故选：D
6．B
【分析】
利用诱导公式，再利用两角和的正弦公式即可求解.
【详解】
故选：B
7．B
【分析】
直接代入平面向量的夹角的坐标运算公式计算即可
【详解】
因为向量，，
所以,
又因为,所以,
故选B.
【点睛】
本题考查平面向量的夹角的坐标运算公式，属基础题，.
8．A
【分析】
逆用两角差的正切公式先求出，即可求解.
【详解】
因为
，
所以.
故选：A
9．B
【分析】
根据一个向量在另一个向量上的投影的概念，可得结果.
【详解】
由题意知，，
在上的投影的数量为，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查一个向量在另一个向量上的投影，属基础题.
10．A
【详解】
因为，，做出图形可知，当且仅当与方向相反且时，取到最大值；最大值为；当且仅当与方向相同且时，取到最小值；最小值为.
11．C
【分析】
将， ，两边同时平方，求出，进而可求出结果.
【详解】
，①
，②
①②，可得，解得，
所以.
故选：C
12．A
【分析】
利用二倍角公式化简可得，设，可得为关于t的一元二次方程，即求的根，根据方程，即可求得答案.
【详解】
因为，
令，则函数为，
由，解得（舍）或，
所以，解得零点为或，
故选：A．
13．
【分析】
由，结合已知，应用正切的两角差公式即可求.
【详解】
，
故答案为：.
14．
【分析】
利用二倍角公式化简，根据余弦型函数的最小正周期的结论可得结果.
【详解】
，
的最小正周期.
故答案为：.
15．0
【分析】
根据向量垂直的坐标表示和向量平行的坐标表示列式可解得结果.
【详解】
因为向量，，，且，，
所以，得，
，解得，
所以.
故答案为：0
【点睛】
关键点点睛：根据向量垂直的坐标表示和向量平行的坐标表示求解是解题关键.
16．3
【分析】
由辅助角公式化简可得，根据最小值即可求出.
【详解】
由函数，
可得，
所以，
解得
故答案为：3
17．（1）；（2）；
【分析】
（1）因为，，求得，，根据，即可求得答案；
（2）因为与垂直，可得，结合已知条件，即可求得答案.
【详解】
（1），，
，，
.
.
（2），
，
与垂直
，
，
解得：.
【点睛】
本题主要考查了求向量的夹角和根据向量垂直求参数，解题关键是掌握向量垂直求参数的方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
18．；
【分析】
（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式的变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．
（2）利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果．
【详解】
解:因为
所以的最小正周期为
“对恒成立”等价于“”
因为
所以
当，即时
的最大值为.
所以，
所以实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）由化简再结合，可求出向量与的夹角；
（2）要与垂直，只需，化简可求出x的值.
【详解】
（1）由
，
得．
（2）当与垂直时，
，
所以．
【点睛】
此题考查平面向量的数量积运算，考查向量的夹角的求法，向量垂直等知识，属于基础题.
20．（1）；（2）．
【分析】
（1）由向量共线可得，化简即可得出结果；
（2）由（1）的可知，平方化简可得，，及角的范围可得，计算可求得结果.
【详解】
解　（1）∵与为共线向量，
∴，
即．
（2）∵，∴．
∴．又∵，∴．
∴．∴．
【点睛】
本题考查三角函数恒等变换，齐次方程，考查分析问题的能力，属于基础题.
21．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）由题意可得，，解方程组求得，，两式相除即可证明结论；
（2）由题意，，得，又根据同角的三角函数关系及可得，由此可求出答案．
【详解】
（1）证：在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴，即，①
又，即，②
由①②得，，，
∵A，B≠，
∴两式相除得，；
（2）解：由题意，，得，
在△ABC中，，
∴，
又，
即，解得，
∴．
【点睛】
本题主要考查简单的三角恒等变换，考查同角的三角函数关系，考查计算能力，属于基础题．
22．（1），；（2）．
【分析】
（1）根据向量平行和向量垂直的坐标表示即可求出答案；
（2）进行向量加法和数乘的坐标运算即可得出，然后再根据向量数量积的定义及其坐标表示即可求出答案．
【详解】
解：（1）由得，解得，
由得，解得，
∴，；
（2）由（1）知，，，
∴，
∴向量，的夹角为．
【点睛】
本题主要考查平面向量平行与垂直的坐标表示，考查平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于基础题．