第8章向量的数量积与三角恒等变换 综合测试-【新教材】2020-2021学年人教B版（2019）高中数学必修第三册（Word含解析）

人教B版（2019）第八章向量的数量积与三角恒等变换综合检测题
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，，则（ ）
A． B． C．6 D．
3．已知tanα，tanβ是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两实根，则tan(α+β)＝（　　）
A． B． C． D．
4．已知向量，满足：，则向量，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．设向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，且，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．平面向量，，（），且与的夹角与与的夹角互补，则（ ）
A． B． C．1 D．2
9．在中， ，点是所在平面内一点，则当取得最小值时， ( )
A．9 B． C． D．
10．如图所示，等边的边长为，，且.若为线段的中点，则（ ）
A．24 B．23 C．22 D．18
11．若，则的值（ ）
A．2 B． C． D．
12．函数，若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知向量，且，则实数_______.
14．已知，，若，则___________.
15．若，则______．
16．设函数的图像为，有如下结论：
①图象关于直线对称；
②的值域为；
③函数的单调递减区间是；
④图象向右平移个单位所得图象表示的函数是偶函数.
其中正确的结论序号是___________________.（写出所有正确结论的序号）.
三、解答题
17．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求使函数取得最大值的x的集合.
18．已知，
（1）当时，求x的值；
（2）当时，求.
19．已知向量与的夹角为，，.
（1）若；
（2）若，求实数t的值.
20．已知，.
（1）求，的值；
（2）求的值.
21．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若，，求的值．
22．已知内接，点为边上一点，点为边中点，与交于点，且．
（Ⅰ）若（，），求的值；
（Ⅱ）若，则是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．
参考答案
1．C
【分析】
利用两角和差正弦公式化简求得结果.
【详解】
.
故选：.
【点睛】
本题考查利用两角和差正弦公式求值的问题，属于基础题.
2．A
【分析】
先由，列方程求出的值，再由向量的数量积坐标运算公式求解
【详解】
解：因为向量，，，
所以，解得，
所以，
所以，
故选：A
【点睛】
此题考查了平行向量和向量的数量积，属于基础题.
3．D
【分析】
利用韦达定理求得，结合正切的和角公式即可求得结果.
【详解】
因为tanα，tanβ是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两实根，
故可得；，
故可得.
故选：.
【点睛】
本题考查正切的和角公式，属简单题.
4．A
【分析】
直接根据向量的夹角公式计算可得解.
【详解】
设向量，的夹角为，
因为，所以，
又，所以.
故选：A.
【点睛】
本题考查了利用向量的夹角公式求夹角，属于基础题.
5．D
【分析】
先由得到，再由向量数量积的坐标表示列出方程，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，因此，
又向量，，
所以，解得.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查由向量数量积求参数，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于基础题型.
6．B
【分析】
由，可得，根据，即可求得答案.
【详解】
设向量与向量的夹角为 ，∵，∴，得，
又∵，，∴，又，∴.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了根据向量的数量积求向量夹角，解题关键是掌握向量数量积公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
7．C
【分析】
利用诱导公式和弦化切可得，再把化成关于的代数式，从而可求其值.
【详解】
由题设可得，而，
，，
故选：C.
【点睛】
本题考查诱导公式、同角的三角函数的基本关系式、二倍角的余弦，注意根据角的差异、函数名的差异、代数式结构上的差异合理变形化简求值，本题属于基础题.
8．A
【分析】
由与的夹角与与的夹角的余弦值相加为0求解．
【详解】
由已知，
，
，
∵与的夹角与与的夹角互补，
∴，解得．
故选：A．
【点睛】
本题考查平面向量的夹角，考查平面向量的数量积定义，属于基础题．
9．B
【分析】
等价于等价于等价于,以为坐标原点，直线AB，AC分别为轴,轴建立平面直角坐标系，则，设，
则，所以最小，此时， ， ， ;故选B.
【详解】
请在此输入详解！
10．B
【分析】
根据题意，得到，与的夹角为，，推出，，根据向量数量积的运算法则，即可求出结果.
【详解】
依题意知，与的夹角为，
且，
又为线段的中点，
所以，
，
因此
.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查求平面向量的数量积，熟记向量数量积的运算法则，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型.
11．D
【分析】
先根据题意得，再根据正弦的二倍角公式化简得.
【详解】
解：由得.
所以
，
故选：D.
【点睛】
本题解题的关键是将等式变形化简得，进而求解，考查运算求解能力，是中档题.
12．A
【分析】
化简得，由可知在，处取到最大值和最小值，不妨设在处有最大值，处取到最小值，可得,，,即可求出的最小值.
【详解】
，
∴函数的最大值为3，最小值为﹣1，
又，∴在，处取到最大值和最小值，
不妨设在处有最大值，则，即，
处取到最小值，则，即，
所以，,，
所以当时，的最小值为.
【点睛】
结论点睛：正弦型函数最值：
① ，当， 时取最大值；
② ，当， 时取最小值.
13．
【分析】
根据，由利用坐标运算求解.
【详解】
因为向量，且，
所以，
解得，
故答案为：-1
14．
【分析】
由向量平行可得，再求出，即可求出模.
【详解】
，，即，
，
.
故答案为：.
15．
【分析】
将展开代入即可.
【详解】
因为，所以.
故答案为：．
16．①②④.
【分析】
化简函数 代入求最值可判断①；求出的最值可判断②；求出函数的单调递减区间可判断③；求出向右平移个单位的解析式化简后可判断④.
【详解】
，
当时，，取得最大值2，故①正确；
因为的最大值为2，最小值为，所以的值域为，故②正确；
令，得，
即的单调递减区间是，故③错误；
图象向右平移个单位得是偶函数，故④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
17．(1)；(2)
【分析】
（1）变形后，逆用两角差的正弦公式可得，再用周期公式可得答案；
（2）正弦函数的最大值可得答案.
【详解】
(1)
，
的最小正周期为.
(2)当取得最大值时，
，
则，
即，
所求x的集合为.
【点睛】
本题考查了逆用两角差的正弦公式，考查了周期公式，考查了正弦函数的最大值，属于基础题.
18．（1）（2）
【分析】
（1）根据共线向量的坐标公式，即可求解；
（2）由已知求出，求出的坐标，根据模长公式，即可求解.
【详解】
解：（1）由，得解得
（2）当时，有，解得
，
【点睛】
本题考查向量的坐标运算，涉及到共线向量、垂直、模长运算，属于基础题.
19．（1）；（2）3
【分析】
（1）先求出，再求出，即可得出结果；
（2）由题可得，由此可求出.
【详解】
（1）向量与的夹角为，，，
，
，
；
（2），
，
即，
，解得.
20．（1），；（2）.
【分析】
(1)由及的范围求得，再利用二倍角的正弦公式即可求得；
(2)利用两角差的余弦公式直接代值求解即可.
【详解】
解：（1），，
（2）
21．（1）；（2）．
【分析】
（1）由二倍角公式和两角差的正弦公式化简函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质得出结论；
（2）已知条件即为，由平方关系求得，然后由两角和的余弦公式计算．
【详解】
解：（1）
所以
（2）
因为，
所以，即
所以
因为
，
所以．
【点睛】
思路点睛：本题考查二倍角公式，两角和与差的正弦、余弦公式，求三角函数的周期．解题思路是利用二倍角公式和两角和与差的正弦（余弦）公式把函数式变形为一个角的一个三角函数形式，即形式，然后结合正弦函数性质求解．在求三角函数值时，要注意已知角和未知角的关系，通过分析已知角和未知角的关系选用恰当的公式计算，同时注意角的范围的判断．
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）是定值，定值为.
【分析】
（Ⅰ）根据平面向量基本定理，由向量的运算法则，先得到，设，根据三点共线的充要条件，得到，再由向量运算法则，用和表示出，结合题中条件，即可得出结果；
（Ⅱ）根据向量数量积的几何意义，得到，，即可根据（Ⅰ）的结果，求出的值.
【详解】
（Ⅰ）因为点为边中点，与交于点，且，
所以，
又点为边上一点，所以存在实数，使得，
因此，
因为，，三点共线，所以，则，
即，所以，整理得：，
又，所以，因此；
（Ⅱ）分别取，的中点，，连接，，则，，
所以，，
又，
所以
.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于利用平面向量基本定理，以及三点共线的充要条件，确定点的具体位置，即由，结合题中条件，由，，三点共线，求得，即可求解.