2020-2021学年人教版九年级数学下册 第二十七章 相似之相似三角形的判定习题练习（word版含解析）

人教版九年级数学下册
第二十七章
相似之相似三角形的判定习题练习（附答案）
一、选择题
1.如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是(　　)
A．
∠B＝∠C
B．
∠ADC＝∠AEB
C．BE＝CD，AB＝AC
D．AD∶AC＝AE∶AB
2.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，E是AC的中点，ED、CB的延长线相交于点F，则图中相似三角形有(　　)
A．
3对
B．
4对
C．
5对
D．
6对
3.下列4组条件中，能判定△ABC∽△DEF的是(　　)
A．AB＝5，BC＝4，∠A＝45°；DE＝10，EF＝8，∠D＝45°
B．
∠A＝45°，∠B＝55°；∠D＝45°，∠F＝75°
C．BC＝4，AC＝6，AB＝9；DE＝18，EF＝8，DF＝12
D．AB＝6，BC＝5，∠B＝40°；DE＝5，EF＝4，∠E＝40°
4.如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　　)
A．
B．
C．
D．
5.下列说法中，错误的是(　　)
A．
两个全等三角形一定是相似三角形
B．
两个等腰三角形一定相似
C．
两个等边三角形一定相似
D．
两个等腰直角三角形一定相似
6.已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形(　　)
A．
一定不相似
B．
不一定相似
C．
一定相似
D．
不能确定
7.如图所示，AB是⊙O的直径，D、E是半圆上任意两点，连接AD、DE，AE与BD相交于点C，要是△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是(　　)
A．
∠ACD＝∠DAB
B．AD＝DE
C．AD·AB＝CD·BD
D．AD2＝BD·CD
8.已知图(1)、(2)中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图(2)中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是(　　)
A．
只有(1)相似
B．
只有(2)相似
C．
都相似
D．
都不相似
9.如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有(　　)
A．
1条
B．
2条
C．
3条
D．
4条
10.如图，在钝角△ABC中，AB＝5
cm，AC＝10
cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为1
cm/秒，点E运动的速度为2
cm/秒，如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是(　　)
A．
2.5秒
B．
4.5秒
C．
2.5秒或4.5秒
D．
2.5秒或4秒
二、填空题
11.如图，D、E是以AB为直径的半圆O上任意两点，连接AD、AE、DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加的一个条件是______________(填正确结论的序号)．
①∠ACD＝∠DAB；②AD＝DE；③AD2＝BD·CD；④CD·AB＝AC·BD.
12.△ADE中，AD＝AE，C为DE延长线上一点，B为ED延长线上一点，∠DAE＝40°，当∠BAC＝____________时，△BDA∽△AEC.
13.如图，△ABC与△FAG是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠F＝90°，BC分别与AF、AG相交于点D、E.则图中不全等的相似三角形有____________对．
14.如图，平面直角坐标系中，已知点A(4,0)和点B(0,3)，点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是____________________．
三、解答题
15.如图，梯形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC与BD相交于点E，在不添加任何辅助线的情况下：
(1)图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中一对全等三角形进行证明；
(2)若BD平分∠ADC，请找出图中与△ABE相似的所有三角形．
16.如图所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF.
(1)求证：△DAE≌△DCF；
(2)求证：△ABG∽△CFG.
17.如图所示，在等边中△ABC，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图(1)，然后将△ADE绕A点顺时针旋转120°，使B、A、E三点在同一直线上，得到图(2)，M、N分别是BD、CE的中点，连接AM、AN、MN得到图(3)，请解答下列问题：
(1)在图(2)中，线段BD与线段CE的大小关系是____________；
(2)在图(3)中，△AMN与△ABC是相似三角形吗？请证明你的结论．
18.如图，点C为线段AB上任意一点(不与A、B两点重合)，分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC.
(1)求证：△ACE≌△DCB；
(2)请你判断△AMC与△DPM的形状有何关系，并说明理由．
19.如图，四边形ABCD是平行四边形，且AB＝AC，过A，B，C三点的⊙O与DC的延长线交于点E，连接AE交BC于F.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)求证：△DAC∽△DEA.
20.甲、乙两位同学同解一道题目：“如图，F、G是直线AB上的两点，D是AC上的一点，且DF∥CB，∠E＝∠C，请写出与△ABC相似的三角形，并加以证明”．
甲同学的解答得到了老师的好评．
乙同学的解答是这样的：“与△ABC相似的三角形只有△AFD，证明如下：
∵DF∥CB，
∴△AFD∽△ABC.”
乙同学的解答正确吗？若不正确，请你改正．
答案解析
1.【答案】C
【解析】∵∠A＝∠A，
∴当∠B＝∠C或∠ADC＝∠AEB或AD∶AC＝AE∶AB时，△ABE和△ACD相似．
故选C.
2.【答案】B
【解析】∵CD是△ABC的高，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠CAD＋∠ACD＝90°，
∵∠ACD＋∠BCD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCD，
∵∠ADC＝∠BDC，
∴△ACD∽△CBD，①
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC，
∴△ACB∽△ADC，②
同理：△ACB∽△CBD，③
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵E为AC的中点，
∴AE＝DE，
∴∠A＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠FDB，
∴∠A＝∠FDB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD＝∠FDB，
∵∠F＝∠F，
∴△FDB∽△FCD；④
共四对，
故选B.
3.【答案】C
【解析】A.＝＝，夹角是∠B和∠E，两角不一定相等，故本选项错误；
B．应符合∠A＝∠D＝45°，∠B和∠E相等才能证两三角形相似，故本选项错误；
C．根据＝＝＝，得到两三角形相似，故本选项正确；
D．∠B＝∠E＝40°，但夹此角的两边不成比例，故本选项错误；
故选C.
4.【答案】C
【解析】A.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C．两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D．两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选C.
5.【答案】B
【解析】A正确，因为全等三角形符合相似三角形的判定条件；
B不正确，因为没有指明相等的角与可成比例的边，不符合相似三角形的判定方法；
C正确，因为其三个角均相等；
D正确，因为其三个角均相等，符合相似三角形的判定条件；
故选B.
6.【答案】C
【解析】∵一个三角形的两个内角分别是40°，60°，
∴第三个内角为80°，
又∵另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，
∴这两个三角形有两个内角相等，
∴这两个三角形相似．
故选C.
7.【答案】C
【解析】A.∵∠ACD＝∠DAB，而∠ADC＝∠BDA，∴△DAC∽△DBA，所以A选项的添加条件正确；
B．∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠E，而∠E＝∠B，∴∠DAC＝∠B，∴△DAC∽△DBA，所以B选项的添加条件正确；
C．∵∠ADC＝∠BDA，∴当DA∶DC＝DB∶DA，即AD2＝DC·BD时，△DAC∽△DBA，所以C选项的添加条件不正确；
D．∵∠ADC＝∠BDA，∴当DA∶DC＝DB∶DA，即AD2＝DC·BD时，△DAC∽△DBA，所以D选项的添加条件正确．
故选C.
8.【答案】C
【解析】对于图(1)：180°－75°－35°＝70°，则两个三角形中有两组角对应相等，所以(1)图中的两个三角形相似；
对于(2)图：由于＝，∠AOC＝∠DOB，所以△AOC∽△DOB.
故选C.
9.【答案】C
【解析】∵截得的三角形与△ABC相似，
∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意
∴过点M作直线l共有三条，
故选C.
10.【答案】D
【解析】如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC－CE＝10－2t.
①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC.
∴AD∶AB＝AE∶AC，
∴t∶5＝(10－2t)∶10，
∴t＝2.5；
②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB.
∴AD∶AC＝AE∶AB，
∴t∶10＝(10－2t)∶5，
∴t＝4.
∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是2.5秒或4秒．
故选D.
11.【答案】①②③
【解析】①∠ACD＝∠DAB，∠ADC＝∠BDA，△ADC与△ABD相似，故①正确；
②由AD＝DE，得∠DAC＝∠DBA，又∵∠ADC＝∠BDA，△ADC与△ABD相似，故②正确；
③由AD2＝BD·CD，得＝，且∠ADC＝∠BDA，△ADC∽△BDA，故③正确；
④由CD·AB＝AC·BD，得＝，∠ADC＝∠BDA，△ADC与△ABD不相似，故④错误；
12.【答案】110°
【解析】∵AD＝AE，∠DAE＝40°，
∴∠ADE＝∠AED＝70°，
∴∠ADB＝∠AEC＝180°－70°＝110°.
在△ABD中，
∵∠ADB＝110°，
∴∠B＋∠BAD＝180°－110°＝70°，同理可得∠C＋∠EAC＝70°.
∵△BDA∽△AEC，
∴∠B＝∠EAC，∠C＝∠BAD，
∴∠B＋∠C＝∠EAC＋∠BAD＝∠B＋∠BAD＝70°，
∴∠BAC＝(∠EAC＋∠BAD)＋∠DAE＝70°＋40°＝110°.
13.【答案】3
【解析】图中不全等的相似三角形有3对．
∵△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠F＝90°，
∴∠C＝∠B＝∠FAG＝∠G＝45°，
∵∠CEA＝∠B＋∠EAB，∠DAB＝∠FAG＋∠EAB，
∴∠CEA＝∠BAD，
∴△CAE∽△BDA；
∴△BDA∽△ADE；
∴△CAE∽△ADE.
14.【答案】(0，)，(2,0)，(，0)
【解析】当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，由点C是AB的中点，所以P为OB的中点，此时P点坐标为(0，)；
当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，由点C是AB的中点，所以P为OA的中点，此时P点坐标为(2,0)；
当PC⊥AB时，如图，∵∠CAP＝∠OAB，
∴Rt△APC∽Rt△ABC，
∴＝，
∵点A(4,0)和点B(0,3)，
∴AB＝＝5，
∵点C是AB的中点，
∴AC＝，
∴＝，
∴AP＝，
∴OP＝OA－AP＝4－＝，
此时P点坐标为(，0)，
综上所述，满足条件的P点坐标为(0，)，(2,0)，(，0)．
15.【答案】解　(1)图中共有三对全等三角形：
①△ADB≌△DAC，②△ABE≌△DCE，③△ABC≌△DCB；
选择①△ADB≌△DAC证明：
在⊙O中，∠ABD＝∠DCA，∠BCA＝∠BDA，
∵BC∥AD，
∴∠BCA＝∠CAD.
∴∠CAD＝∠BDA.
在△ADB与△DAC中，
∵
∴△ADB≌△DAC.
(2)图中与△ABE相似的三角形有△DCE，△DBA，△ACD.
【解析】(1)已知BC∥AD，可得出的条件有＝，＝；即AB＝CD、AC＝BD、∠BAC＝∠CDB、∠BCA＝∠CBD；再根据AD＝AD、∠AEB＝∠CED，可得出的全等三角形有：①△ADB≌△DAO(SSS)；②△ABE≌△DCE(AAS)；③△ABC≌△DCB(AAS)．
(2)BD平分∠ADC，那么＝＝.可根据圆周角定理得出的相等角进行判断．
16.【答案】证明　(1)∵四边形ABCD为正方形，△EDF为等腰直角三角形，
∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF，
∴∠ADE＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF；
(2)延长BA到M，交ED于点M，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM＋∠MAD＝∠BCD＋∠BCF，
∵∠MAD＝∠BCD＝90°，
∴∠EAM＝∠BCF，
∵∠EAM＝∠BAG，
∴∠BAG＝∠BCF，
∵∠AGB＝∠CGF，
∴△ABG∽△CFG.
【解析】(1)由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；
(2)由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG＝∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．
17.【答案】解　(1)BD＝CE；
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
在图(1)中，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE是等边三角形，
∵△ADE绕A点顺时针旋转120°，使B、A、E三点在同一直线上，
∴如图(2)，AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD＝CE；
(2)△AMN与△ABC相似．
证明：∵M、N分别是BD、CE的中点，
∴EN＝CE，DM＝BD，
∵BD＝CE，
∴EN＝DM，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠AEN＝∠ADM，
在△ADM和△AEN中，
∴△ADM≌△AEN(SAS)，
∴AM＝AN，∠MAD＝∠NAE，
∴∠MAN＝∠DAE＝60°，
∴△AMN也是等边三角形，
∴△AMN∽△ABC.
【解析】(1)由在等边中△ABC，DE∥BC，易证得△ADE也是等边三角形，然后利用SAS，证得△BAD≌△CAE，即可得BD＝CE；
(2)由△BAD≌△CAE，可得∠AEN＝∠ADM，又由M、N分别是BD、CE的中点，易得EN＝DM，然后根据SAS证得△ADM≌△AEN，即可得AM＝AN，∠MAN＝60°，判定△AMN是等边三角形，即可得在图(3)中，△AMN与△ABC是相似三角形．
18.【答案】(1)证明　∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵CA＝CD，CE＝CB，
在△ACE和△DCB中，
∴△ACE≌△DCB(SAS)．
(2)解　△AMC∽△DMP.
理由：∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE＝∠CDB，
又∵∠AMC＝∠DMP，
∴△AMC∽△DMP.
【解析】(1)证明∠ACE＝∠DCB，根据“SAS”证明全等；
(2)由(1)得∠CAM＝∠PDM，又∠AMC＝∠DMP，所以两个三角形相似．
19.【答案】解　(1)连接OA，
∵AB＝AC，点A，B，C三点在⊙O上，
∴OA垂直平分BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
(2)∵AB＝AC，
∴∠DEA＝∠BCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴∠DEA＝∠DAC，
∵∠D＝∠D，
∴△DAC∽△DEA.
【解析】(1)连接OA，根据AB＝AC，点A，B，C三点在⊙O上，可得OA垂直平分BC，根据四边形ABCD是平行四边形，得OA⊥AD，即AD是⊙O的切线；
(2)根据AB＝AC，∠DEA＝∠BCA，再由AD∥BC，得∠DAC＝∠BCA，从而得出∠DEA＝∠DAC，可证△DAC∽△DEA.
20.【答案】解　乙同学的解答不正确，
与△ABC相似的三角形还有△GFE，应该补上证明如下：
∵DF∥BC，
∴∠GFE＝∠ABC，
又∵∠E＝∠C，
∴△GFE∽△ABC.
【解析】直接利用相似三角形判定定理得出△GFE∽△ABC即可．