1.1直线的斜率与倾斜角（练习题）——2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册（Word含解析）

直线的斜率与倾斜角
一、选择题
1．过点A(－，)与点B(－，)的直线的倾斜角为(　　)
A．45° B．135°
C．45°或135° D．60°
2．若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k1B．k3C．k3D．k13．若三点A(2，3)，B(3，2)，C共线，则实数m的值为(　　)
A．－　　B．－　　C．　　D．
4．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135°
5．如果直线l过点(1，2)，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是(　　)
A．[0，1] B．[0，2]
C． D．(0，3]
二、填空题
6．设P为x轴上的一点，A(－3，8)，B(2，14)，若直线PA的斜率kPA是直线PB的斜率kPB的2倍，则点P的坐标为________．
7．已知点A(1，2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为________．
8．若经过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
9．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线．
10．已知直线l的倾斜角α的范围是45°≤α≤135°，求直线l的斜率k的范围．
能力过关
11．(多选题)若两直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中错误的是(　　)
A．若α1＜α2，则两直线的斜率：k1＜k2
B．若α1＝α2，则两直线的斜率：k1＝k2
C．若两直线的斜率：k1＜k2，则α1＜α2
D．若两直线的斜率：k1＝k2，则α1＝α2
12．将直线l向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为(　　)
A． B．
C．－ D．－
13．直线l经过点(－1，0)，倾斜角为150°，若将直线l绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为________，斜率为________．
14．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则l的斜率的取值范围为________．
15．已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)．
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的取值范围．
一、选择题
1．过点A(－，)与点B(－，)的直线的倾斜角为(　　)
A．45° B．135°
C．45°或135° D．60°
A　[因为斜率k＝＝1，所以倾斜角为45°．]
2．若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k1B．k3C．k3D．k1D　[由题图可知，k1<0，k2>0，k3>0，且l2比l3的倾斜角大，∴k13．若三点A(2，3)，B(3，2)，C共线，则实数m的值为(　　)
A．－　　B．－　　C．　　D．
C　[设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，
则由斜率公式，得kAB＝＝－1，kBC＝＝－(m－2)．
∵A，B，C三点共线，
∴kAB＝kBC，
即－1＝－(m－2)，解得m＝．]
4．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135°
D　[根据题意，画出图形，如图所示．
A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过图形可知：
当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．]
5．如果直线l过点(1，2)，且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是(　　)
A．[0，1] B．[0，2]
C． D．(0，3]
B　[如图，经过(1，2)和(0，0)的斜率k＝2，若l不通过第四象限，则0≤k≤2．故选B．]
二、填空题
6．设P为x轴上的一点，A(－3，8)，B(2，14)，若直线PA的斜率kPA是直线PB的斜率kPB的2倍，则点P的坐标为________．
(－5，0)　[设P(x，0)，由条件kPA＝2kPB，则＝2×，解得x＝－5，故P(－5，0)．]
7．已知点A(1，2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为________．
(3，0)或(0，3)　[由题意知kPA＝－1，若P点在x轴上，则设P(m，0)，则＝－1，解得m＝3；若P点在y轴上，则设P(0，n)，则＝－1，解得n＝3，故P点的坐标为(3，0)或(0，3)．]
8．若经过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－2)∪(1，＋∞)　[由k＝＝＞0得a＞1或a＜－2．]
三、解答题
9．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线．
[证明]　∵A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)，
∴kAB＝＝2，kAC＝＝2．∴kAB＝kAC．
∵直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同一点A，
∴直线AB与直线AC为同一直线．
故A，B，C三点共线．
10．已知直线l的倾斜角α的范围是45°≤α≤135°，求直线l的斜率k的范围．
[解]　分类讨论：当α＝90°时，l的斜率不存在；
当45°≤α＜90°时，l的斜率k＝tan α∈[1，＋∞)；
当90°＜α≤135°时，l的斜率k＝tan α∈(－∞，－1]．
∴l的斜率不存在或斜率k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
能力过关
11．(多选题)若两直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中错误的是(　　)
A．若α1＜α2，则两直线的斜率：k1＜k2
B．若α1＝α2，则两直线的斜率：k1＝k2
C．若两直线的斜率：k1＜k2，则α1＜α2
D．若两直线的斜率：k1＝k2，则α1＝α2
ABC　[当α1＝30°，α2＝120°，满足α1＜α2，但是两直线的斜率k1＞k2，选项A说法错误；当α1＝α2＝90°时，直线的斜率不存在，无法满足k1＝k2，选项B说法错误；若直线的斜率k1＝－1，k2＝1，满足k1＜k2，但是α1＝135°，α2＝45°，不满足α1＜α2，选项C说法错误；若k1＝k2说明斜率一定存在，则必有α1＝α2，选项D正确．]
12．将直线l向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为(　　)
A． B．
C．－ D．－
C　[设点P(a，b)是直线l上的任意一点，当直线l按题中要求平移后，点P也做同样的平移，平移后的坐标为(a＋4，b－5)，由题意知，这两点都在直线l上，∴直线l的斜率为k＝＝－．]
13．直线l经过点(－1，0)，倾斜角为150°，若将直线l绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为________，斜率为________．
30°　　[如图所示．
∵直线l的倾斜角为150°，∴绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，所得直线l′的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°， 斜率k＝tan α＝tan 30°＝．]
14．已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，则l的斜率的取值范围为________．
(－∞，－1]∪[3，＋∞)　[如图，要使l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角介于直线PB与直线PA的倾斜角之间．当直线l的倾斜角为钝角时，∵直线PA的斜率为＝－1，∴k∈(－∞，－1]，
当l的倾斜角为锐角时，又直线PB的斜率为＝3，∴k∈[3，＋∞)．
故k∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．]
15．已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)．
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的取值范围．
[解]　(1)由斜率公式得kAB＝＝0，
kBC＝＝，kAC＝＝．
倾斜角的取值在区间[0°，180°)范围内，∵tan 0°＝0，
∴直线AB的倾斜角为0°．
∵tan 60°＝，
∴直线BC的倾斜角为60°．
∵tan 30°＝，
∴直线AC的倾斜角为30°．
(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为．