江苏省如东县高中2020-2021学年高一下学期6月阶段测试（二）数学试题 Word版含答案

如东高级中学2020-2021学年第二学期阶段测试（二）
数学试题
5108575387350一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.已知集合false，false，图中阴影部分为集合M，则M的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.命题false：“向量false与向量false的夹角false为锐角”是命题false：“false”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.若复数z满足|z－i|≤2，则zfalse的最大值为 ( )
A.1 B．2 C．4 D．9
24307801828804.某年级有100名学生到甲、乙、丙、丁、戊这5个社区参加志愿者活动，且每个人只到一个社区，经统计，并将到各社区参加志愿者活动的学生人数绘制成如下不完整的两个统计图，则到戊社区参加志愿者活动的学生人数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
5.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数false满足关系false，其中false为安全距离，false为车速false.当安全距离false取false时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为
A．135 B．149 C．165 D．195
6．已知函数false的图象的一条对称轴为false,则下列结论中正确的是（）.
A．false是false图象的一个对称中心
B．false是最小正周期为false的奇函数
C．false在false上单调递增
D．先将函数false图象上各点的纵坐标缩短为原来的false，然后把所得函数图象再向左平移false个单位长度，即可得到函数false的图象
7.圆台上底半径为5cm，下底半径为10cm，母线false，A在上底面上，B在下底面上，从AB中点M拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B点，则绳子最短时长为（ ）
A．10cm B．25cm C．50cm D．falsecm
8.已知函数false若方程false有三个不同的实数根false，false，false，且false，则false的取值范围是 （ ）.
A．false B．false C．false D．false
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.面对新冠肺炎疫情冲击，我国各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展均取得显著成效,下表显示的是2020年4月份到12月份中国社会消费品零售总额数据，其中同比增长率是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率是指与上个月份相比较的增长率，则下列说法正确的是
A.2020年4月份到12月份，社会消费品零售总额逐月上升
B.2020年4月份到12月份，11月份同比增长率最大
C.2020年4月份到12月份，5月份环比增长率最大
D.第4季度的月消费品零售总额相比第2季度的月消费品零售总额，方差更小
10. 根据下列条件解三角形，有两解的有（ ）
A. 已知afalse，b＝2，B＝45° B. 已知a＝2，bfalse，A＝45°
C. 已知b＝3，cfalse，C＝60° D. 已知a＝2false，c＝4，A＝45°
11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，设与对角线AC1垂直的平面α截正方体表面所得截面多边形记为M,则关于多边形M的说法正确的是
A.M可能为正三角形 B.M可能为正方形
C.若M为六边形，则面积为定值 D.若M为六边形，则周长为定值
12.在false中，D是边BC中点，下列说法正确的是（ ）
A．false
B．若false，则false是false在false上的投影向量
C．若点P是false的外心，false，且false，则false
D．若点Q是线段AD上的动点，且满足false，则false的最大值为false
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题：“false，false”的否定是___________.
14.已知false，false与false是方程false的两个根，则false___________
456184082550G3
S
E
F
G1S
G2
S
S
G3
S
E
F
G1S
G2
S
S
15．如图，在边长为 2 的正方形 SG1G2G3中， E，F 分别是 G1G2，G2G3 的中点. 若沿 SE，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1，G2，G3 三点重合，重合后的点记为 G，则：（1）三棱锥 S-EFG 外接球的表面积为__________；（2）点 G 到平面 SEF 的距离为__________.

16.若false，则m-2n=_____
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）设复数z1＝2＋ai(其中a∈R)，z2＝3－4i.
（1）若z1＋z2是实数，求z1·z2的值；
（2）若false是纯虚数，求|z1|.
18.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，false，false，false．
（1）若A，B，C三点不能构成三角形，求实数k的值；
（2）若false为直角三角形，求实数k的值．
3736975194945
19.（本小题满分12分）某校对120名考生的数学竞赛成绩进行统计，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组，得到如图所示频率分布直方图．
（1）求图中false的值；
（2）估计该校学生数学竞赛成绩的平均数；
（3）估计该校学生数学竞赛成绩的第80百分位数落在哪一组．


4959350-1841520.（本小题满分12分）如图，已知两条公路AB，AC的交汇点A处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，在两公路旁M，N（异于点A）处设两个销售点，且满足false，false（千米），false（千米），设false．
（1）试用false表示AM，并写出false的范围；
（2）当false为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小（即工厂与学校的距离最远）．
441007564135M
M
21.（本小题满分12分）如图，在三棱台false中，false，false分别是false的中点，
false平面false，false．
（1）求证：false；
（2）求二面角false的大小．
22.（本小题满分12分）已知函数false
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）设g(x)=f(x)+a,若函数g(x)在(1,2)上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；
（3）设false，是否存在正实数m,使得函数y=h(x)在[1,2]内的最大值为4？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
如东高级中学2020-2021学年第二学期阶段测试（二）
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4252595340995一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2021·六盘山高级中学高三一模（理））已知集合false，false，图中阴影部分为集合false，则false的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
2. 命题false：“向量false与向量false的夹角false为锐角”是命题false：“false”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
3．（盐城三模）若复数z满足|z－i|≤2，则zfalse的最大值为 ( )
A．1 B．2 C．4 D．9
【答案】D
4．（2021·四川高三三模（文））某年级有100名学生到甲、乙、丙、丁、戊这5个社区参加志愿者活动，且每个人只到一个社区，经统计，并将到各社区参加志愿者活动的学生人数绘制成如下不完整的两个统计图，则到戊社区参加志愿者活动的学生人数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【分析】
根据两个统计图知丙、丁社区志愿者学生人数分别为20，15即可求解.
【详解】
解：由于到甲、乙、丙社区参加志愿者活动的学生所占比例分别为15%，20%，15%，
且甲社区的志愿者学生人数为15，则丙、丁社区志愿者学生人数分别为20，15，
所以，到戊社区参加志愿者活动的学生数为false.
故选：C.
5．（2021·四川高三二模（理））单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数false满足关系false，其中false为安全距离，false为车速false.当安全距离false取false时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）
A．135 B．149
C．165 D．195
【答案】B
【分析】
把给定函数变形，利用基本不等式即可得解.
【详解】
由题意得，false，当且仅当false，即false时取“=”，
所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.
故选：B
6．（2021·天津高三三模）已知函数false的图象的一条对称轴为false，则下列结论中正确的是（ ）.
A．false是false图象的一个对称中心
B．false是最小正周期为false的奇函数
C．false在false上单调递增
D．先将函数false图象上各点的纵坐标缩短为原来的false，然后把所得函数图象再向左平移false个单位长度，即可得到函数false的图象
【答案】A
【分析】
化简函数false，将false代入得函数最值，可求得false，进而可得false，通过计算false，可判断A；通过计算false，可判断B；当false时，false，可得false在false上的单调性，可判断C；通过振幅变换和平移变换，可判断D．
【详解】
解：false
false，
当false时，false取到最值，即false
解得false，
false．
A：false，则false是false图像的一个对称中心，故A正确；
B：false，故false不是奇函数，故B错误；
C：当false时，false，又false在false上先增后减，则false在false上先增后减，故C错误；
D. 将函数false图象上各点的纵坐标缩短为原来的false，然后把所得函数图象再向左平移false个单位长度，得false，故D错误．
故选：A
【点睛】
易错点点睛：由false的图象，利用图象变换作函数false的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿false轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是false 个单位．
（2019·浙江杭州市·杭州四中高二期中）圆台上底半径为5cm，下底半径为10cm，母线false，A在上底面上，B在下底面上，从AB中点M拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B点，则绳子最短时长为 （ ）
A．10cm B．25cm C．50cm D．falsecm
【答案】C
【分析】
由题意需要画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，则所求的最短距离是平面图形两点连线，根据条件求出扇形的圆心角以及半径长，在求出最短的距离．
【详解】
画出圆台的侧面展开图，
并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为O．
有图得所求的最短距离是false，
设false，圆心角是false，则由题意知false ①，false ②，
由①②解得，false，false，
∴false，false，则false．
故答案为false．
【点睛】
本题考查了在几何体表面的最短距离的求出，一般方法是把几何体的侧面展开后，根据题意作出最短距离即两点连线，结合条件求出，考查了转化思想．
8．（2021·浙江高三其他模拟改编）已知函数false若方程false有三个不同的实数根false，false，false，且false，则false的取值范围是 （ ）.
A．false B．false C．false D．false
【答案】C
首先根据分段函数的性质，先判断false，再根据函数false的性质可知false，可知false，
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.（南京三模）面对新冠肺炎疫情冲击，我国各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展均取得显著成效,下表显示的是2020年4月份到12月份中国社会消费品零售总额数据，其中同比增长率是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率是指与上个月份相比较的增长率，则下列说法正确的是
A.2020年4月份到12月份，社会消费品零售总额逐月上升
B.2020年4月份到12月份，11月份同比增长率最大
C.2020年4月份到12月份，5月份环比增长率最大
D.第4季度的月消费品零售总额相比第2季度的月消费品零售总额，方差更小
【答案】BCD
10. 根据下列条件解三角形，有两解的有（ ）
A. 已知afalse，b＝2，B＝45° B. 已知a＝2，bfalse，A＝45°
C. 已知b＝3，cfalse，C＝60° D. 已知a＝2false，c＝4，A＝45°
【答案】BD
11.（如皋5月）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，设与对角线AC1垂直的平面α截正方体表面所得截面多边形记为M,则关于多边形M的说法正确的是
A.M可能为正三角形 B.M可能为正方形
C.若M为六边形，则面积为定值 D.若M为六边形，则周长为定值
【答案】AD
12.（2021·浙江高一期末）在false中，D是边false中点，下列说法正确的是（ ）
A．false
B．若false，则false是false在false上的投影向量
C．若点P是false的外心，false，且false，则false
D．若点Q是线段false上的动点，且满足false，则false的最大值为false
【答案】ABC
【解】
A：因为D是边false中点，所以false，即false，因此本选项说法正确；
B：因为false分别表示false方向上的单位向量，
由平面向量加法的几何意义可知：false表示false的平分线表示的向量，
所以由false可得：false是false的平分线，而D是边false中点，
所以有false，false在false上的投影为：false，所以false是false在false上的投影向量，因此本选项说法正确；
C：因为点P是false的外心，D是边false中点，所以false，即false，
false，
false，因为false，所以
false，因此本选项的说法正确；
D：因为D是边false中点，所以由false，可得：
false，因为点Q是线段false上的动点，所以false三点共线，因此可得：false，要想false有最大值，则一定有false，
false，当且仅当false时取等号，即false时取等号，因此本选项说法不正确，
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.（2021·安徽合肥市·高三三模（文））命题：“false，false”的否定是___________.
【答案】false，false．
【分析】
根据全称命题的否定定义写出即可．
【详解】
“false，false”的否定是false，false．
故答案为：false，false．
14．（2021·全国高三专题练习）已知false，false与false是方程false的两个根，则false___________
【答案】false
【详解】
∵ false与false是方程false的两个根，
∴false+false，false
∴false，false，∴false，∴false，
∵false，又false
∴false.
故选: C
【点睛】
利用三角公式求三角函数值的关键：
(1)角的范围的判断；
(2)根据条件进行合理的拆角，如false等．
15．（武昌高三5月）如图，在边长为 2 的正方形 SG1G2G3中， E，F 分别是 G1G2，G2G3 的中点. 若沿 SE，SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1，G2，G3 三点重合，重合后的点记为 G，则：（1）三棱锥 S-EFG 外接球的表面积为__________；（2）点 G 到平面 SEF 的距离为__________.
答案：（1）6 π ；(2 分) （2） 2
【分析】（1）补成长方体（或找球心）（2）等积变形
16.(2020年全国卷Ⅰ理改编)若false，则m-2n=______
【答案】0
false
false
false
false
M=2n
M-2n=0

解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设复数z1＝2＋ai(其中a∈R)，z2＝3－4i.
（1）若z1＋z2是实数，求z1·z2的值；
（2）若false是纯虚数，求|z1|.
【详解】
解：（1）false（其中false，false，
false，
由false是实数，得false．
false，false，
则false；………………………………………………………………5分
（2）由false是纯虚数，
得false，即false．
false．………………………………………………………………10分
18.（2021·浙江高一期末）在平面直角坐标系中，false，false，false．
（1）若A，B，C三点不能构成三角形，求实数k的值；
（2）若false为直角三角形，求实数k的值．
【答案】（1）false；（2）false．
【分析】
（1）由false和false共线可求得false值；
（2）根据三角形的哪个角是直角分类讨论求解．
【详解】
（1）A，B，C三点不能构成三角形，则false和false共线，所以false，false；…………4分
（2）由已知false，false，则false，
若false为直角，则false，false，
若false为直角，则false，false或false，
若false是直角，则false，false，
综上，false的值为false．…………………………………………………………………………………12分
【点睛】
易错点睛：本题考查平面向量共线或垂直，两个非0向量垂直的条件是数量积为0，在三角形为直角时，要注意根据哪个角是直角分类讨论，否则会漏解．
19．（本小题满分12分）
4410710519430（镇海中学）某校对120名考生的数学竞赛成绩进行统计，分成false false false false false五组，得到如图所示频率分布直方图．
（1）求图中false的值；
（2）估计该校学生数学竞赛成绩的平均数；
（3）估计该校学生数学竞赛成绩的第80百分位数落在哪一组．
19.【解析】
（1）由于组距为false，所以有false………………………………4分
（2）平均数false ……………………………8分
（3）第80百分位数： false 落在[80,90）内………………………12分


20.（2021·浙江高一期末）如图，已知两条公路false，false的交汇点false处有一学校，现拟在两条公路之间的区域内建一工厂false，在两公路旁false，false（异于点false）处设两个销售点，且满足false，false（千米），false（千米），设false．（注：false）
（1）试用false表示false，并写出false的范围；
（2）当false为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小（即工厂与学校的距离最远）．
【答案】（1）false，false；（2）false时，工厂产生的噪声对学校的影响最小．
【分析】
（1）利用正弦定理false可得false的表达式；
（2）根据余弦定理表示出false，结合三角函数最值可得false的最大值，进而可求false.
【详解】
（1）因为false，在false中，false
因为false，所以false，false ……………………………4分
（2）在false中，false
false
false
false
false
false，false
当且仅当false，即false时，false取得最大值36，即false取得最大值6．
所以当false时，工厂产生的噪声对学校的影响最小．……………………………12分

4648200157480M
M
21．（本小题满分12分）
如图，在三棱台false中，false，false分别是false的中点，
false平面false，false．
（1）求证：false；
（2）求二面角false的大小．
21. 【解析】（1）连结false，易证四边形false为平行四边形，则false，所以false （也可以通过false来证明） ………4分
（2）等价于求二面角false，过false作false，易证false，则false，所以false为二面角false的平面角，为false. ……………………………12分
22.（本小题满分12分）
已知函数false
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）设g(x)=f(x)+a,若函数g(x)在(1,2)上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；
（3）设false，是否存在正实数m,使得函数y=h(x)在[1,2]内的最大值为4？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。