19.2.2 菱形（1）

(共35张PPT)
人教版数学教材八年级下
19.2.2 菱形（1）
19.2 特殊的平行四边形
两组对边
分别平行
平行
四边形
矩形
前面我们学行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形
菱形
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,让它有一组邻边相等,这个特殊的四边形叫什么呢
四边形
情景创设
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
平行四边形
邻边相等
菱形
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？
2000多年前……
一把埋藏在地下的古剑，出土时依然寒气逼人，毫无锈蚀，锋利无比，稍一用力，便可将多层白纸划破，剑身上整齐排列着黑色菱形暗花纹——越王勾践剑
菱形就在我们身边
三菱汽车标志欣赏
小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？从这个图形中你有什么发现？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
A
D
O
C
B
我们已经知道矩形和菱形是特殊的平行四边形，因此矩形菱形都是中心对称图形，想一想 矩形、菱形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，对称轴各几条？
矩形是轴对称图形，对称轴有两条。
菱形是轴对称图形，对称轴有两条。
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，因此我们得到：
菱形的性质1：菱形的四条边都相等。
A
B
D
C
菱形是特殊的平行四边形，
具有平行四边形的所有性质.
菱形的性质：
菱形是轴对称图形, 对称轴有两条,
是菱形两条对角线所在的直线.
菱形的两条对角线互相垂直，
每一条对角线平分一组对角。
∵四边形ABCD是菱形
∴ AD=AB,OD=OB
∴ AC⊥BD
∴∠9=∠10
又∵ AO = AO
∴△AOD ≌ △AOB
∵ △AOD ≌ △AOB
∴∠1=∠2
∴ AC平分∠DAB
同理：∠5=∠6 ， ∠7=∠8
∴ BD平分∠ADC和∠ABC
∴ ∠9=∠10= 90°
已知:四边形ABCD是菱形
求证:AC⊥BD，
AC平分∠DAB和∠DCB
BD平分∠ADC和∠ABC
证明1：
菱形的性质2：
O
6
又∵ ∠9+∠10= 180°
C
B
D
A
10
1
2
4
3
5
7
9
8
6
同理：∠3=∠4
∴ AC平分∠DCB
O
已知:四边形ABCD是菱形
求证: AC⊥BD，
AC平分∠DAB和∠DCB
BD平分∠ADC和∠ABC
证明2：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD,（菱形的定义）
∴ AC⊥BD , AC平分∠DAB (为什么 )
同理：AC平分∠DCB
OD=OB （平行四边形的对角线互相平分）
BD平分∠ADC和∠ABC
D
C
B
O
A
A
B
C
D
O
菱形的性质：
（1）菱形具有平行四边形的一切性质；
（2）菱形的四条边都相等；
（3）菱形的两条对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角；
（4）菱形是轴对对称图形；也是中心对称图形；
A
B
C
D
O
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
（2）有哪些特殊的三角形？
（1）图中有哪些线段是相等的？
哪些角是相等的？
相等的线段：
相等的角：
等腰三角形有：
直角三角形有：
全等三角形有：
已知四边形ABCD是菱形
AB=CD=AD=BC,
OA=OC, OB=OD.
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
△ABC, △DBC, △ACD, △ABD.
Rt△AOB, Rt△BOC, Rt△COD, Rt△DOA.
Rt△AOB ≌ Rt△BOC ≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA,
△ABD ≌ △BCD, △ABC ≌ △ACD.
A
B
C
D
O
1
2
3
4
5
6
7
8
A
D
C
B
O
∵四边形ABCD是菱形，
说说理由
∴AD∥BC，AB∥CD ( )
AB=BC=CD=DA ( )
OA=OC，OB=OD ( )
AC⊥BD ( )
∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD
= ∠ADC= ∠ABC ( )
【菱形的面积公式】
　菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗
菱形
A
B
C
D
O
E
S菱形= BC· AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,
利用对角线能计算菱形的面积公式吗
ABCD=S△ABD+S△BCD= AC×BD
S菱形
菱形面积：S菱形 = 底×高 = 对角线乘积的一半
如图，菱形花坛ABCD………,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积。(分别精确到0.01m和0.01m2 )
A
B
C
D
O
在任意四边形ABCD中，对角线AC⊥BD ，且AC=18,BD=10。问四边形ABCD的面积是多少？
ABCD=S△ABD+S△BCD
S
=
BD·AO
+
BD·CO
=
·BD· (AO+CO)
=
BD·AC
=
×10×18=90
解：
D
A
O
B
C
1.已知菱形的周长是12cm，
那么它的边长是______.
2.菱形ABCD中∠ABC＝600，
则∠BAC＝_______.
3cm
600
有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决
3.菱形ABCD中,点O是两条对角线的交点，
已知 AB＝5cm,AO=4cm，
求两对角线AC、BD的长。
4.菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，
求菱形的边长,周长,面积.
A
B
C
D
O
3
4
5、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2。
求（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC、BD的长；
（3）菱形ABCD的面积。
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
O
2
∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB
解：
∴AD=AB=BD
∵ E是AB的中点，且DE⊥AB
∴DA=DB（DE为AB 的中垂线）
∴ ∠DAB= 60 °， ∴ ∠ABC=120 °
（2）
∵AE=2， ∴ AB=4 ∴ BD=AB=4
∵四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥DB
∵ DB=4 ∴ 0B=2
∴ 在R t△AOB中,由勾股定理得
2
AO=
∴ AC=4
（3）
在Rt△DAE中,由勾股定理得
DE=
=2
∴ S菱形ABCD=4×2
=8
（1）
1个定义
2个公式
3个特性
：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
：S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半
：特在“边、对角线、对称性”
课后作业:
作业：P102, 5，
P114, 11，12
菱形的性质
小结
A
D
C
B
O
边
角
对角线
对称性
菱形的两组对边平行且相等
几何语言
∵四边形ABCD是菱形
∥
=
∴ AD BC
AB CD
∥
=
菱形的四条边相等
∴ AB=BC=CD=DA
菱形的两组对角分别相等
∴ ∠DAB=∠DCB
∠ADC=∠ABC
菱形的邻角互补
∴ ∠DAB+∠ABC= 180°
菱形的两条对角线互相平分
∴ OA=OC;OB=OD
菱形的两条对角线互相垂直，
每一条对角线平分一组对角。
∴ AC⊥BD
∠1=∠2
∠3=∠4
∠5=∠6
∠7=∠8
菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
菱形是轴对称图形，有2条对称轴，是两条对角线所在的直线。
1
2
4
3
5
7
6
8
练习
判断下列命题是否是真命题？
1. 平行四边形的两条对角线的长度相等
2. 菱形相邻的两个角的度数相等
3. 菱形的两条对角线互相平分
4. 菱形的对角线平分它的角
菱形
①
如图，我家正在装修一扇房门，想在菱形ABCD处安装一块玻璃，已知每平方分米的玻璃价格为1元，请问要得到哪些数据,便可知道这扇房门上的玻璃总共要花多少钱？
B
A
C
D
O
例题
已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD=120°，对角线AC、BD相交于点O， 求菱形对角线的长和面积。
　已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：EF⊥AD；
3、已知菱形ABCD中，E是AB的中点，
且DE⊥AB，AB＝a．
求：⑴∠ABC的度数
⑵对角线AC的长
⑶菱形ABCD的面积
4、如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，
求证：EB=OA；
A
B
C
D
O
E
5、已知，菱形对角线长分别为12cm和16cm，
求菱形的高。
6、在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是（ ）
A.75°B.60°C.45°D.30°
B
如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a。
证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形。
A
B
C
D
E
F
你敢挑战吗？回去想一想