19.1.2平行四边形的判定(1)

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19.1.2 平行四边形的判定(1)
数学
八年级 下册
A
B
C
D
O
平行四边形的两组对边分别相等；
平行四边形的两组对角分别相等；
平行四边形的对角线互相平分。
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2、我们学行四边形的哪些性质？
1、什么是平行四边形？
边
平行四边形的对边平行
并且相等
角
平行四边形的对角相等
邻角互补
对角线
平行四边形的对角线
互相平分
平行四边形的性质：
平行四边形的两组对边分别相等；
平行四边形的两组对角分别相等；
我们得到的这些逆命题都成立吗？
平行四边形的对角线互相平分。
思考：我们已经学行四边形的这些性质，那么它们的逆命题各是什么呢？
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
B
C
A
D
B
C
A
D
O
如图1，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它的形状改变，在图形的变化的过程中，它一直是一个平行四边形吗？
如图2，将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？
图1
图2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形这个判定方法，我们如何证明？
A
B
C
D
证明：连结AC
∴AB∥DC，AD∥BC
4
1
2
3
∴∠1=∠2， ∠3=∠4
AC=CA(公共边)
∴△ABC ≌ △CDA (SSS)
AD=BC(已知)
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，求证：四边形ABCD是平行四边形.
AB=CD(已知)
在△ABC 和△CDA中
∴四边形ABCD是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
已知，如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，
求证：四边形ABCD是平行四边形。
A
B
C
D
1
2
3
4
O
同理可证 AB=DC
△ADO ≌△CBO
AD=CB
OA=OC
证明：
平行四边形的这个判定方法，又该如何证明呢？
OB=OD
∠AOD=∠COB
四边形ABCD是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形这个判定方法，又怎么证明呢？
A
B
C
D
证明：
∴AB∥DC，AD∥BC
∠A+∠B+∠C+∠D=360°
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C， ∠ B=∠D ，求证：四边形ABCD是平行四边形 .
在四边形ABCD中
∴四边形ABCD是平行四边形
∵∠A=∠C， ∠B=∠D
∴∠A+∠D=180°
∠A+∠B=180°
A
B
C
D
O
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
AD∥BC AB∥DC
AD=BC AB=DC
∠BAD=∠BCD ∠ABC=∠ADC
四边形ABCD是平行四边形
如图，用符号表示如下：
平行四边形有哪些判定方法？
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
OA=OC OB=OD
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
四边形ABCD是平行四边形
四边形ABCD是平行四边形
四边形ABCD是平行四边形
又OB=OD
证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC， OB=OD
∵AE=CF
∴OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形
例3 如图□ABCD 的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF，
求证: 四边形BFDE是平行四边形。
C
B
O
D
A
F
E
你还有其他的证明方法吗？
例3 如图□ABCD 的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF，
求证: 四边形BFDE是平行四边形。
C
B
O
D
A
F
E
证明： (方法二)
四边形ABCD是平行四边形
AD ∥ BC且AD =BC
EAD= FCB
AE=CF
EAD= FCB
AD=BC
AED ≌ CFB(SAS)
DE=BF
四边形BFDE是平行四边形
在 AED和 CFB中
同理可证：BE=DF
如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF，
图中有哪些互相平行的线段？
F
A
B
C
D
E
解：图中互相平行的线段有：
AB//DC//EF， AD//BC， DE//CF
AD∥BC
AB=DC
AD=BC
四边形ABCD是平行四边形
AB∥DC
DC∥EF
DC=EF
DE=CF
四边形CDEF是平行四边形
DE∥CF
AB∥ DC∥EF
理由如下：
判定 文字语言 图形 符号语言
定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
∵AB∥CD, AD∥BC
∴ …是平行四边形
定理１ 两组对边分别相等的四边形是平等四边形 ∵AB=CD, AD= BC
∴ …是平行四边形
定理２ 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∵OA=OC, OB=OD
∴ …是平行四边形
推论 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
∵∠A=∠C,∠B=∠D
∴ …是平行四边形
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
O
100
作 业
教科书第91页:
习题4、5。