11.2平面的基本事实与推论——2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册同步作业Word含解析

平面的基本事实与推论
一、选择题
1．给出下列说法：
①梯形的四个顶点共面；
②三条平行直线共面；
③有三个公共点的两个平面重合；
④三条直线两两相交，可以确定3个平面．
其中正确的序号是(　　)
A．①
B．①④
C．②③
D．③④
2．如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面(　　)
A．没有其他公共点
B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点
D．有无数个公共点
3．空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中(　　)
A．必有三点共线
B．必有三点不共线
C．至少有三点共线
D．不可能有三点共线
4．如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C?l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过(　　)
A．点A
B．点B
C．点C，但不过点D
D．点C和点D
二、填空题
5．设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M________l.
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，试根据图形填空：
(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；
(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________；
(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________；
(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为________．
7．空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是________．
三、解答题
8．求证：三棱台A1B1C1－ABC三条侧棱延长后相交于一点．
9．求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
10．如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．
求证：a，b，c三条直线必过同一点．
1．解析：因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确．
答案：A
2．解析：由公理3可知，两个不重合平面有一个公共点，它们有且只有一条过该公共点的公共直线，则有无数个公共点．
答案：D
3．解析：如图①②所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图①中A，B，D不共线．
答案：B
4．解析：根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.
答案：D
5．解析：因为a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
答案：∈
6．答案：(1)A1B1　(2)AC　(3)OO1　(4)B1
7．解析：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
①AA1∩AB＝A，AA1∩A1B1＝A1，直线AB，A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1)．
②AA1∩AB＝A，AA1∩A1D1＝A1，
直线AB，AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1)．
③三条直线AB，AD，AA1交于一点A，它们可以确定三个平面(平面ABCD，平面ABB1A1和平面ADD1A1)．
答案：1或2或3
8．证明：延长AA1，BB1，
设AA1∩BB1＝P，
又BB1?平面BC1，
∴P∈平面BC1，
AA1?平面AC1，
∴P∈平面AC1，
∴P为平面BC1和平面AC1的公共点，
又∵平面BC1∩平面AC1＝CC1，
∴P∈CC1，
即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P.
9．证明：已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明：证法一：∵l1∩l2＝A，
∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2?α，∴B∈α.
同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，
∴l3?α.
∴直线l1、l2、l3在同一平面内．
证法二：∵l1∩l2＝A，
∴l1、l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，
∴l2、l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．
10．证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ.
由于直线a和b不平行，
∴a、b必相交．
设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.
∵a?β，b?α，∴P∈β，P∈α.
又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.
∴a，b，c三条直线相交于同一点．