9.1.2余弦定理——2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册第九章课时作业Word含解析

余弦定理
一、选择题
1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，∠A＝60°，则c＝(　　)
A．1　　　　
B．2
C．4
D．6
2．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos
B等于(　　)
A.
B.
C.
D.
3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，如果A＝60°，b＝3，△ABC的面积S＝，那么a等于(　　)
A.
B．7
C.
D．17
4．△ABC中，若sin2A＋sin2BA．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．都有可能
二、填空题
5．在△ABC中，若a2＋c2－b2＝ac，则∠B的值为________．
6．在△ABC中，若2cos
Bsin
A＝sin
C，则△ABC的形状一定是________．
7．在△ABC中，若b＝2，c＝2，∠C＝，则a＝________.
三、解答题
8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos
B＝.
(1)求b的值；
(2)求sin
C的值．
9．已知△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos
Asin
B＝sin
C，试判断△ABC的形状．
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sin
Asin
B＝cos2，BC边上的中线AM的长为.
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的周长．
1．解析：a2＝c2＋b2－2cbcos
A?13＝c2＋9－2c×3×cos
60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)，故选C.
答案：C
2．解析：∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，
∴cos
B＝＝＝.
答案：B
3．解析：先根据面积公式计算出c的值，然后利用A＝60°以及余弦定理求解a的值．
因为S＝bcsin
A＝＝，所以c＝2；
又因为cos
A＝，所以＝，所以a＝，故选A.
答案：A
4．解析：由正弦定理得a2＋b2C<0，又0°<∠C<180°，
∴∠C为钝角，△ABC为钝角三角形．
答案：A
5．解析：根据余弦定理，cos
B＝＝＝，又∠B∈(0，π)，所以∠B＝.
答案：
6．解析：∵2cos
Bsin
A＝sin
C，
∴2××a＝c，
∴a＝b.故△ABC为等腰三角形．
答案：等腰三角形
7．解析：∵c2＝a2＋b2－2abcos
C，
∴(2)2＝a2＋22－2a×2×cos
，
∴a2＋2a－8＝0，即(a＋4)(a－2)＝0，
∴a＝2或a＝－4(舍去)．∴a＝2.
答案：2
8．解：(1)因为b2＝a2＋c2－2accos
B＝4＋25－2×2×5×＝17，所以b＝.
(2)因为cos
B＝，所以sin
B＝.
由正弦定理＝，得＝，
所以sin
C＝.
9．解：方法一：(利用边的关系判断)
由正弦定理，得＝.
∵2cos
Asin
B＝sin
C，∴cos
A＝＝.
∵cos
A＝，∴＝，
∴c2＝b2＋c2－a2，∴a2＝b2，∴a＝b.
∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
∴(a＋b)2－c2＝3ab.∵a＝b，∴4b2－c2＝3b2，
∴b2＝c2，∴b＝c，∴△ABC为等边三角形．
方法二：(利用角的关系判断)
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴sin
C＝sin(A＋B)．
∵2cos
Asin
B＝sin
C，
∴2cos
Asin
B＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B，
∴sin
Acos
B－cos
Asin
B＝0，∴sin(A－B)＝0.
∵0°<∠A<180°，0°<∠B<180°，
∴－180°<∠A－∠B<180°，
∴∠A－∠B＝0°，即∠A＝∠B.
∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab，
∴a2＋b2－c2＝ab，∵c2＝a2＋b2－2abcos
C，
∴cos
C＝＝，∴∠C＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
10．解：(1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，得a2－b2－c2＝－bc，
所以cos
A＝＝.
又0由sin
Asin
B＝cos2，得sin
B＝，
即sin
B＝1＋cos
C，则cos
C<0，即C为钝角．所以B为锐角，且B＋C＝，
则sin＝1＋cos
C，化简得cos＝－1，解得C＝，所以B＝.
(2)由(1)知a＝b，由余弦定理得AM2＝b2＋2－2b··cos
C＝b2＋＋＝()2，解得b＝2.
由＝，可得c＝，即c＝2.
所以△ABC的周长为4＋2.