9.1.1正弦定理——2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册第九章课时作业Word含解析

正弦定理
一、选择题
1．在△ABC中，a＝4，∠A＝45°，∠B＝60°，则边b的值为(　　)
A.＋1
B．2＋1
C．2
D．2＋2
2．在△ABC中，若a＝2，b＝2，∠A＝30°，则∠B＝(　　)
A．60°
B．60°或120°
C．30°
D．30°或150°
3．在△ABC中，a＝15，b＝10，∠A＝60°，则cos
B等于(　　)
A．－
B.
C．－
D.
4．在△ABC中，若sin
A＞sin
B，则∠A与∠B的大小关系为(　　)
A．∠A＞∠B
B．∠A＜∠B
C．∠A≥∠B
D．∠A，∠B的大小关系不能确定
二、填空题
5．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C所对的边，且满足＝＝，则△ABC的形状是________．
6．设△ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin
B＝，∠C＝，则b＝________.
7．在△ABC中，若(sin
A＋sin
B)(sin
A－sin
B)＝sin2C，则△ABC的形状是________．
三、解答题
8．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长．
9．在△ABC中，已知a2tan
B＝b2tan
A，试判断△ABC的形状．
10．已知△ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知∠A－∠C＝90°，a＋c＝b，求∠C.
1．解析：由已知及正弦定理，得＝，
∴b＝＝＝2.
答案：C
2．解析：由＝，得sin
B＝＝＝.因为b＞a，所以∠B＞∠A，所以∠B＝60°或∠B＝120°.
答案：B
3．解析：由正弦定理得＝，
∴sin
B＝＝＝.
∵a>b，∠A＝60°，∴∠B为锐角．
∴cos
B＝＝＝.
答案：D
4．解析：因为＝，所以＝.
因为在△ABC中，sin
A>0，sin
B>0，sin
A＞sin
B，
所以＝>1，所以a>b，
由a＞b知∠A＞∠B.
答案：A
5．解析：由＝＝
和正弦定理＝＝，可得＝＝，即tan
A＝tan
B＝tan
C，所以∠A＝∠B＝∠C.
故△ABC为等边三角形．
答案：等边三角形
6．解析：在△ABC中，∵sin
B＝，0<∠B<π，
∴∠B＝或∠B＝π.
又∵∠B＋∠C<π，∠C＝，
∴∠B＝，∴∠A＝π－－＝π.
∵＝，∴b＝＝1.
答案：1
7．解析：由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理知sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝，
所以2－2＝2，
即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形．
答案：直角三角形
8．解：设△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，
则∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝75°.
因为∠C>∠B>∠A，所以最小边为a.
又因为c＝1，由正弦定理得，a＝＝＝－1，
所以最小边长为－1.
9．解：在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴＝，∴＝.
又∵a2tan
B＝b2tan
A，∴＝，∴＝，
∴sin
Acos
A＝sin
Bcos
B，
即sin
2A＝sin
2B.
∴2∠A＝2∠B或2∠A＋2∠B＝π，
即∠A＝∠B或∠A＋∠B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
10．解：由∠A－∠C＝90°，得∠A为钝角且sin
A＝cos
C，利用正弦定理，a＋c＝b可变形为sin
A＋sin
C＝sin
B，
又∵sin
A＝cos
C，
∴sin
A＋sin
C＝cos
C＋sin
C＝sin(C＋45°)＝sin
B，又∠A，∠B，∠C是△ABC的内角，
故∠C＋45°＝∠B或(∠C＋45°)＋∠B＝180°(舍去)，
所以∠A＋∠B＋∠C＝(90°＋∠C)＋(∠C＋45°)＋∠C＝180°.
所以∠C＝15°.