广西省玉林市直六所普通高中2020-2021学年高二下学期期中联合考试数学（理）试卷 PDF版含答案

x x
2021 年春季期玉林市直六所普通高中期中联合考试 ?1? ?1?
9．指数函数都是增函数，(大前提)；函数y＝? ? 是指数函数，(小前提)；所以函数y＝? ? 是增
?e? ?e?
高二理科数学试题 函数．(结论)。 上述推理错误的原因是（ ）
A．小前提不正确 B．大前提不正确 C．推理形式不正确 D．大、小前提都不正确
考试时间：120分钟 满分：150分 10．已知抛物线 2
C:y ?2px(p ?0)的焦点为F，点P1?x1,y1?,P2?x2,y2?,P3?x3,y3?是抛物线C
一、选择题（每小题5分，共60分）
3?i 上三个不同的点，若2 FP2 ? FP1 ? FP3 ，则有（ ）
1． ＝（ ）
1?i
． ．
A．1＋ A 2x ? x ?x B 2x ? x ?x C．2x ? x ?x D．x ?x ? 2x
2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 3 1
1
2 2 11．用数学归纳法证明不等式 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋1 13
> (n≥2)的过程中，由n＝k递推到
2．“m?3”是“椭圆 x y
? 的左焦点为 ? ”的（ ） n＋1 n＋2 n＋3 2n 24
2 ?1(m ? 0) F1( 4,0)
25 m n＝k＋1时，不等式的左边( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1 1 1
A．增加了一项 B．增加了两项 ，
2?k＋1? 2k＋1 2?k＋1?
3．已知原命题“若a?1，则?a?1??a?2??0”，那么原命题与其逆命题的真假情况是（ ） C．增加了一项 1 ，又减少了一项 1 D．增加了两项 1 ， 1 ，又减少了一项 1
2?k＋1? k＋1 2k＋1 2?k＋1? k＋1
A. 原命题与逆命题均为真命题 B. 原命题与逆命题均为假命题
?
12．定义在R上的函数 f(x)满足 f (x) ? f (x) 则（ ）
C. 原命题为真，逆命题为假 D. 原命题为假，逆命题为真
A．ef(2)? f(3) B．ef(2)? f(3) C． f(2)?ef(3) D． f(2)?ef(3)
2 2 2 2
x y x y
4．椭圆 ? 2 ?1与双曲线 ? ?1有相同的焦点，则a的值为（ ） 二、填空题（每小题5分，共20分）
4 a a 2
13．已知A（－1，－2，6），B（1，2，－6），O为坐标原点，则向量OA与OB的夹角为 ．
A．3 B．2 C．1 D． 2
2 2
．已知点 ， ，椭圆 x y ，点 在椭圆外，则实数 的取值范围为 ．
2 14 P(k 1) ? =1 P k
5．命题 p：?x0 ?0，12x0 ?32x0 ?44?0，的否定是（ ） 9 4
2 15．甲、乙、丙三人参加知识竞赛．赛后，他们三个人预测名次的谈话如下：甲：“我第二名，丙第
A. ?x0 ?0， 2
12x0 ?32x0 ?44?0 B. ?x ?0，12x ?32x?44?0
一名”；乙：“我第二名，丙第三名”；丙：“我第二名，甲第三名”；最后公布结果时，发现每个人的
2 2
C. ?x?0，12x ?32x?44?0 D. ?x0 ?0，12x0 ?32x0 ?44?0
预测都只猜对了一半，则这次竞赛第一名的是 ．
6．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的（ ） 16．已知函数 1
f(x)＝－ x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是 ．
2
A．否命题 B．原命题 C．逆否命题 D．逆命题
三、解答题（共70分）
7．已知函数 2
f(x)? x(2020?lnx)，若 f?(x0)?2021，则x0等于（ ） (1＋i) ＋3(1－i)
17．（10分）设复数z＝ ，若z2＋ax＋b＝1＋i，求 z 及实数a，b的值．
2＋i
A． 2
ln2 B．1 C．e D．e
1
8．定积分 x
? (2x ? e )dx 的值为( )
0
A．e?2 B．e?1 C．e?1 D．e
2
? 3 ? 21．（12分）已知函数 f ?x?? x ?mx?2lnx.
18. （12分）已知顶点在坐标原点O，焦点在x轴上的抛物线C过点? ， 6 ? ．
? 2 ?
（1）讨论 f ?x?在定义域内的极值点的个数；
（1）求C的标准方程；
x 2
（2）若直线y ? x?4与C交于A，B两点，证明： （ ）若对 ，
OA?OB． 2 ?x ?0 f ?x??2e ?3x ?0恒成立，求实数m的取值范围；
1
19．（12分）设命题p:不等式 2x?1 ? x?a的解集是{x ? ? x?3}；
3
命题 2
q:不等式4x ?4ax ?1的解集是?，若“p或q”为真命题,试求实数a的值取值范围.
2 2
x y 2
22．（12分）已知椭圆C: 2 ? 2 ?1(a?b?0)的离心率e? ，左、右交点分别为F1，F2，
a b 2
抛物线 2
y ?4 2x的焦点F 恰好是该椭圆的一个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆 2 2 2
O:x ? y ? 的切线l与椭圆相交于A，B两点，那么以AB为直径的圆是否经过定点？
3
如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．
20．（12分）在四棱锥P?ABCD中，AD//BC ，AD ? AB ?1，BC ?2，BD? 2 ，
E为PB 的中点．
（1）证明：AE//平面PCD；
（2）若PA?平面ABCD，且PA? 3，求CP与平面PBD所成角的
正弦值．
＝ ＋ 时，左边为 1 ＋ 1 ＋ ＋1＋ 1 ＋ 1 ，②
2021 年春季期玉林市直六所普通高中期中联合考试 n k 1 …
k＋2 k＋3 2k 2k＋1 2?k＋1?
比较①②可知D正确． 故选D
高二理科数学试题参考答案
f(x) ?
12．A 【解析】设g(x)? ，因为 f (x) ? f (x) ，所以 f?(x)? f(x)?0，
3?i ?3?i??1?i? x
4?2i
1．D 【解析】由题意 ? ? ? e
2?i，故选：D.
1?i ?1?i??1?i? 2 ? x x
所以 ? f(x)? f ?(x)?e ? f(x)?e f ?(x)? f(x)
g?(x)? ，所以 是 上的单调减函数，
? x ? ? x 2 ? x ?0 g(x) R
2 2 ? e ? (e ) e
2．A【解析】∵椭圆 x y
? 的左焦点为 ，∴ 2 ，即 ．
2 ?1(m? 0) F1(?4,0) 25?m ?16 m??3
25 m f(2) f(3)
所以g(2)? g(3)，即 2 ? 3 ，所以ef(2)? f(3). 故选：A.
e e
2 2 二、填空题
∴“ x y
m?3”是“椭圆 ? 的左焦点为 ? ”的充分不必要条件．故选： ．
2 ?1(m? 0) F1( 4,0) A
25 m a?b
13．?【解析】 由向量的夹角公式得cos?? =－1．所以向量OA与OB的夹角是?，
3．C 【解析】由于a?1时，?a?1??a?2??0，所以原命题为真命题. |a|?|b|
? 2 2 2
3 3? ?3 3 ?
逆命题为：若?a?1??a?2??0，则a?1，是假命题，因为a可能为2. 故选： x y
C 14．?-?，- ??? ，?? 【解析】因为点 ， k 1
? ? P(k 1)在椭圆 ? =1外，所以 ? >1，
? 2 ? ?
? ? 2 ?? 9 4 9 4
2 2 2 2
x y x y
4．C【解析】因为椭圆 ? 2 ?1与双曲线 ? ?1有相同的焦点，所以a?0，且椭圆的焦 3 3 3 3 ? 3 3? ?3 3 ?
4 a a 2 解得k ，故实数k取值范围为?-?，- ??? ，???.
2 ?
2 ? 2 ? ?
? ? 2 ??
点应该在 2
x轴上，所以4?a ? a?2,?a ? ?2,或a ?1. 因为a?0，所以a?1. 故选C ? 3 3? ?3 3 ?
故答案为：?-?，- ??? ，???
2 ? ? ? ?
? ? 2 2
5．B【解析】命题 p: x0 0，12x0 ?32x0 ?44?0 ? ? ? ?
是一个特称命题，则其否定是全称命题，
15．丙【解析】若甲获得第一名，甲预测出一半，则丙第一名，矛盾；
即 2
?x ?0，12x ?32x?44?0．故选：B. 若乙获得第一名，乙预测出一半，则丙第三名，甲第二名，则丙预测全错，不合乎题意；
6．A【解析】命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是 p的逆否命题， 若丙获得第一名，甲预测出一半，则甲第三名，乙第二名，乙、丙都预测出一半，合乎题意．
又p的逆命题为t，∴s,t互为否命题．故选：A． 综上所述，这次竞赛中第一名的是丙．答案：丙
－x2＋4x－3 ?x－1??x－3?
7．B【解析】 3
f?(x)?2020?lnx?1?2021?lnx，∵ f?(x0)?2021，∴2021?lnx0 ?2021， 16．（0，1）U（2，3）【解析】由题意知f′(x)＝－x＋4－ ＝ ＝－ ，
x x x
解得x0 ?1. 故选B． 由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，
函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<11
x x 2 1 x 2 x 2
8．D 【解析】 故答案为：（ ， ） （ ， ）
?(e ?2x)dx?(e ?x )|0?(e ?x )|x?1 ?(e ?x )|x?0=(e?1)?1?e. 故选D. 0 1 U 2 3
0 三、解答题
9．B【解析】大前提错误。 因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在a>1时是增函数， (1＋i)2＋3(1－i) 2i＋3(1－i) 3－i (3－i)(2－i)
17．【解】z＝ ＝ ＝ ＝ ＝1－i， ???????????? ?????? 3分
而在0∴ ＝ （ ）2 ； ???????????? ????????? 分
10．C【解析】∵ p p p
2FP2 ? FP1 ? FP3 ，∴由抛物线的定义可得， z 1? ?1 ? 2 5
2(x2 ? )?(x1? )?(x3 ? )，
2 2 2
将 ＝ － 代入 2＋ ＋ ＝ ＋，得 － 2＋ －
∴ z 1 i z az b 1 i (1 i) a(1 i)＋b＝1＋i，即(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i，
2x2 ? x1?x3，故选C
1 1 1 ?a?b?1 ?a ??3
11．D 【解析】n＝k时，左边为 ＋ ＋…＋ ，① 所以? ，解得? ，∴a ??3，b?4. ???????????? ????????? 10分
k＋1 k＋2 2k ??(a?2)?1 ?b?4
???? ???? ????
?3 ? 以 为坐标原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空
18. 【解析】（1）设所求抛物线方程为 2
y ?2px,因为抛物线C过点 A AB,AD,AP
? ，6?，
?2 ? ????
间直角坐标系A?xyz，则B(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0, 3),C(1,2,0)，BP ? (?1,0, 3) ，
所以3p ?6，解得 2
p ?2，故所求抛物线方程为 y ?4x． ???????????? ????????? 5分 ???? ????
BD ? (?1,1,0) ，PC ? (1, 2, ? 3) ，
2
?y ?4x 2
（2）联立方程组 y ?4y?16?0
? ，消去x，得 ① ???????????? ????????? 7分 ? ????
?y ? x?4 ? ??n?BD ??x? y ? 0,
设平面PBD的法向量为n?(x,y,z)，则?? ???? ????????? ?????????10分
??n?BP??x? 3z ? 0,
设A（x1， y1），B（x2，y2），由方程①得： y1y2 ??16，?????????? ????????? 9分 ? ????
? n?PC 42
2 2 2 令x? 3，得n?( 3, 3,1)，设CP与平面PBD所成角为?，则sin?? ? ???? ? ，
??y1 ?4x1 y y
又? ，则 1 2 ，所以 n PC 14
2 x1x2 ? ?16 OA?OB ? x1x2 ? y1y2 ?0， ????????? 11分
??y2 ?4x2 16
即CP与平面 42
PBD所成角的正弦值为 ． ????????? ????????? 12分
所以OA?OB． ???????????? ????????? 12分 14
??a?1 1
?a?1 ? ?? 2
19．【解】由 2x?1 ? x?a得 ? x ?a?1，由题意得? 3 3?a ?2. ? ?
21．【解】（1）由已知得 2 2x mx 2
?
3 f ?x? ? 2x ? m ? ? , x??0,??? ????????? 1分
??a?1?3 x x
∴命题p:a ?2. ??????????????????? ????????? 4分 2
设??x??2x ?mx?2，令? 2 2
?x??0，即方程2x ?mx?2?0，??m ?16，
由 2 2 2
4x ?4ax ?1的解集是?，得4ax ?4x?1?0无解，即对?x?R，4ax ?4x?1?0恒成立，
当 2
?4?m?4时，??m ?16?0，则 f??x??0，此时 f ?x?没有极值点；
?a ?0
∴? ，得
2 a ?1.∴命题q: a ?1. ???????????? ????????? 7分 当 ?? 时，?? ，设方程 2 ? ? ? 两根为x ，x ，不妨设 x1 ? x2 ,
??? m 4 0 2x mx 2 0 1 2
(?4) ?4?4a?1?0
m
由“p或q”为真命题，得p、q中至少有一个真命题. 则x1?x2 ?? ?0，x1?x2 ?1，则0? x1 ? x2，
2
?a ?2 当 ? ? 或 ? 时， ? ? ；当 ? ? 时， ，
当p、q均为假命题，则? ?{a a?1}，而CR{aa≤1}＝{aa ?1}. ????????? 0 x x x x2 f ?x? 0 x1 x x2
10分 1 f?(x)?0
?a ?1
此时x1，x2是函数 f ?x?的两个极值点， ???????????? ????????? ４分
∴实数a的值取值范围是(1,??) . ???????????? ????????? 12分
当 2
m?4时，??0，设方程2x ?mx?2?0两根为x3，x4，
20．【解析】（1）证明：设PC 的中点为F ，如图，连接EF，DF，
m
则
1 x3 ?x4 ?? ?0，x3?x4 ?1，所以x3 ?0，x4 ?0，
因为E为PB 的中点，所以EF //BC 且EF ? BC，?????? 2分 2
2
所以当x??0,???时， f??x??0，故 f ?x?没有极值点，???????????? ????????? 6分
1
因为AD//BC ，且AD ? BC ，所以EF //AD，
2 综上，当m??4时，函数 f ?x?有两个极值点；当m??4时，函数 f ?x?没有极值点. ??? 7分
且EF ? AD，所以四边形AEFD为平行四边形，故AE//DF ．
x 2 2 x 2
（2）解:由题, f ?x??2e ?3x ? x ?mx?2lnx?2e ?3x ?0在?0,??? 上恒成立，
因为DF ?平面PCD,AE? 平面PCD，
2 x
? ?
所以AE//平面PCD ； ???????? x 2 2x 2e 2lnx
5分 则mx?2lnx?2e ?2x ?0在?0,???上恒成立，即m? 在?0,???上恒成立，
x
（2）因为AB ? AD ?1，BC ?2，BD? 2 ，且AD//BC ，所以AB? AD ????????? 7分
2 x
?
设 2x 2e ?2lnx ③当直线l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为 y ?kx?m，
g?x?? ，则
x
?y ?kx?m
2 x x ? 2 2 2 2
2??x ?1??x?1?e ?lnx?? 2???x?1??x?1?e ??lnx? 由 ，消去y并整理得 (2k ?1)x ?4kmx?2m ?2?0，
? ? ?
， x 2
g ?x?? ? ?
2 ? 2 ? y 1
x x ? 2
因为 x
x?1?e ?0，当x?（0，1）时，g??x??0，则g?x?单调递减；当x? 2
?1,???，g??x??0， ?4km 2m ?2
设A（x1，y1），B（x2， y2），则x1＋x2＝ 2 ，x1 x2＝ 2 ，
2k ?1 2k ?1
则g?x?单调递增；所以g?x?
min ? g?1??2e?2,所以m?2e?2. ???????????? ????????? 12分
2 2
m ?2k
所以 2 2
y1 y2＝(kx1?m)(kx2 ?m)?k x1x2 ?km(x1?x2)?m ? 2
2k ?1
2 c 2
22．【解析】（1）因为椭圆C的离心率e? ，所以 ? ，即a ? 2c， 2 2
2 a 2 3m ?2k ?2
所以OA?OB ? x1x2 ? y1y2 ? 2 ①
2k ?1
因为抛物线 2
y ?4 2x的焦点F （ 2 ，0）恰好是该椭圆的一个顶点，所以a? 2，
m 6 2
2 因为直线l和圆M相切，所以圆心到直线 2 2
l的距离d ? 2 ? ，整理得m ? (1?k ) ②
x
所以 2 2
c?1，b ?1，所以椭圆C的方程为 ? y ?1 ???????????? ????????? 2k ?1 3 3
3分
2
将②代入①，得OA?OB ?0，显然以AB为直径的圆经过定点O（0，0）。 ???????????? 11分
6
（2）①当直线l的斜率不存在时，因为直线l与圆M相切，故其中一条切线方程为x? ，
3 综上可知，以AB为直径的圆经过定点O（0，0） ???????????? ????????? 12分
? 6
?x?
?
由 3 6 6 6 6
? ，可得 （ ， ）， （ ，－ ），
2 A B
?x 2 3 3 3 3
? ?
? y 1
? 2
6 2
则以AB为直径的圆的方程为 2 2
(x? ) ? y ? ???????????? ????????? 5分
3 3
6
②当直线l的斜率为零时，因为直线l与圆M相切，故其中一条切线方程为 y ?? ，
3
? 6
?y ??
?
由 3 6 6 6 6
? ，可得 （ ，－ ）， （－ ，－ ），
2 A B
?x 2 3 3 3 3
? ?
? y 1
? 2
6 2
则以AB为直径的圆的方程为 2 2
x ?(y? ) ?
3 3
显然以上两圆都经过定点（0，0） ???????????? ????????? 8分