广西省玉林市直六所普通高中2020-2021学年高一下学期期中联合考试数学试卷 PDF版含答案解析

2021 年春季期玉林市直六所普通高中期中 联合 考试
高 一 数学 试题

一、选择题 （ 本题共 12 小题，每小题 5 分 ，共 60 分 。在每小题给出的四项选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1、 点 A(3, 2,4? )关于点 (0,1, 3)? 的对称点的坐标是 ( )
??3 1 1
A. (??3,4, 10) B. ( 3,2, 4)?? C. ??,,? D. (6, 5,11? )
??2 2 2
2、已知过点 A( 3,2)的直线 l 的倾斜角为 60° ,则直线 l 的方程为 ( )
A.yx? = ?2 3 3 B.yx? = ?2 3( 3)
C.yx+ = +2 3( 3) D.yx+ = ?2 3( 3)
3、已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋
转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（ ）
8π 42π
A. B. C.8π D.42π
3 3
4、 一个四面体的三视图如图所示，则该
2 2
四面体的表面积是 （ ） 1
A.13+ B.23+ 1
正 （ 主 ） 视图 侧 （ 左 ） 视图
C.1 2 2+ D. 1 1
22

2 2
5、 设 abc,, 是空间的三条直线 ,下面给出四
俯视图
个命题 : 其中真命题的个数是 （ ）
① 若 a b b c⊥⊥, ,则 ac// ;
② 若 ab, 是异面直线 , bc, 是异面直线 ,则 ac, 也是异面直线 ;
③ 若 a和 b相交 , b和 c相交 ,则 a和 c也相交 ;
④ 若 a和 b共面 , b和 c共面 ,则 a和 c也共面 .
A.0 B.1 C.2 D.3
6、 若直线 l ax y1: 1 0+ ? = 与 l x a y a
2 :3 ( 2) 1 0+ + + = 平行，则 的值为（ ）
3
A． ?3 B． 1 C． 0 或 ? D． 1 或 ?3
2
7、 过 和 两点的直线在 轴上的截距为 ( )
A. B. C. D.2
8、 过点 ，且圆心在 上的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
9、 正方形 O′ A′ B′ C′ 的边长为 1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观
图 (如图 )，则原图形的周长是 ( )
A． 6 cm B． 8 cm
C． (2＋ 3 2)cm D． (2＋ 2 3)cm
10、 已知直线 ,直线 经过点 且不经过第一象限 ,若直线
被圆 截得的线段长为 4,则 与 的位置关系为 ( )
A. B.
C. 与 相交但不垂直 D. 与 重合
11、 在正方体 中， 分别为 的中点，则直线
与 所成角的大小是 ( )
A. B. C. D.
12、 四面体 的四个面都为直角三角形，且 平面 ，
，若该四面体的四个顶点都在球 的表面上，则球 的表面积
为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题 （本题共 4 小题，每小题 5 分 ，共 20 分。 ）
13、 若直线 与直线 垂直 ,则实数 _____________.
14、 点 到直线 距离的最大值为 ____________.
15、 已知 Rt△ ABC 中， A(－ 1,0)， B(3,0)， 则 直角顶点 C 的轨迹方程 为
___________
2
16、 已知直线 l： y＝ x＋ b，曲线 C： y＝ 1－ x，它们有两个公共点，则 b的
取值范围是 ____________
三、解答题 （本题共 6 小题， 共 70 分 。）
17、 （ 10 分） 已知 △ 的三个顶点分别为 ，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的垂直平分线的方程．




18、 （ 12 分） 已知直线 与圆 相交于点 和点 ．
（ 1）求圆心所在的直线方程；
（ 2）若圆 的半径为 1，求圆 的标准方程．






19、 （ 12 分） 如图，三棱柱 ABC– A1B1C1中，侧棱垂直
于底面，
∠ ACB=90° ， AC=BC= AA1， D是棱 AA1的中点．
（ 1）求异面直线 DC1和 BB1所成的角；
（ 2）证明：平面 BDC1⊥ 平面 BDC．


20、（ 12 分） 如图，在三棱柱 ABC– A1B1C1中，侧面 ABB1A1和侧面 ACC1A1均为正
方形， ∠ BAC=90° ， D为 BC的中点．
（ 1）求证： A1B∥ 平面 ADC1；
（ 2）求证： C1A⊥ 平面 CA1B1．






21、 （ 12 分） 已知圆 的方程 : 和直线 的方程 : ,
点 是圆 上动点 ,直线 与两坐标轴交于 、 两点 .
（ 1） 求与圆 相切且垂直于直线 的直线方程 ;
（ 2） 求 面积的取值范围。









2 2
22、 （ 12 分） 已知圆 C： x+y﹣ 4x﹣ 2y+1＝ 0，动直线 l：（ m﹣ 1） x+
（ 2m+1） y﹣ 7m+1＝ 0．
（Ⅰ）判断直线 l是否过定点？若过定点，请求出该定点；
（Ⅱ）动直线 l与圆 C所成的弦中，求以最长弦和最短弦为对角线的四边形
ABCD的面积．



2021 年春季期玉林市直六所普通高中期中考试
高 一 数学 答案
一、选择题
1、 答案： A 解析：设所求点的坐标为 ,则 , ,
所以 ,所以所求点的坐标为 .
2、 答案： B解析： 过点 的直线 的倾斜角为 60° ,则斜率为 ,则直线 的
方程为 ,故选 B.
3、 答案： D解析： 曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，其表面积是两个圆锥的侧面积
之和 .圆锥的底面圆半径为 ，母线长为 2，则该几何体的表面积 .
4、 由该几何体的三视图得到的直观图，其中侧面 底面 ，
且 ．由三视图中所给数据可知， ．
取 的中点 ，连接 ， ，则在 中， ，所以 ，
所以 与 都是边长为 的等边三角形，所以 ，
所以 .故选Ｂ．
5、 .答案： A 解析：因为 ,所以 a 与 c 可以相交、平行、异面 ,故 ① 错 .
因为 a、 b 异面 ,b、 c 异面 .则 a、 c 可能导面、相交、平行 ,故 ② 错 .
由 a、 b 相交 ,b、 c 相交 ,则 a、 c 可以异面、平行 ,故 ③ 错 .同理 ④ 错 ,故真命题个数为 0.
6答案： B解析：因为 ,直线 与 平行 ,
所以 , ,解得 , 或 ,但 时 ,两直线重合 ,故选 B。
7、 A解析： 过 两点的直线方程为 ,化为截距式为 ,所以直线在
轴上的截距为 .
8、答案 ： C 解析 ： AB 中垂线方程为 ， 所以由 ， 的交点得圆心 ，
半径为 ， 因此圆的方程是 ，选 C.
9、 解析： 如图， OA＝ 1 cm，在 Rt△OAB中， OB＝ 2 2 cm，
2 2
∴AB＝ OA ＋ OB ＝ 3 cm.
∴四边形 OABC的周长为 8 cm.
10、 答案： A 解析：设圆的半径为 ,圆心到直线 的距离为 ,则 .解得 .
易得直线 的斜率存在 ,设直线 的方程为 ,则圆心到直线 的距离 ,
解得 .因为直线 不过第一象限 ,所以 ,即 ,则直线 的方程为 ,
所以 与 平行 ,故选 A.
11、 答案： C解析： 连接 ，则 F是 的中点，又
E为 的中点，所以 ，连接 ，则 Q是 的中
点，又 P为 的中点，所以 ，于是 是直线
与 所成的角或其补角 .易知 是正三角形，所以
，
12、【答案】 D【解析】 且 为直角三角形

又 平面 ， 平面
平面 由此可将四面体 放入边长为 的正方体
中，如下图所示：
正方体的外接球即为该四面体的外接球
正方体外接球半径为体对角线的一半，即
球 的表面积： 本题正确选项：
二、填空题
13、 答案： 1解析：由题意知两直线的斜率均存在 ,且 . .
14、
y y
15、 解： (1)设 C(x， y)，则 kAC＝ ， kBC＝ .
x＋ 1 x－ 3
y y 2 2
由题意知 AC⊥BC， ∴kAC·kBC＝－ 1.即 · ＝－ 1，化简得 x ＋ y － 2x－ 3＝ 0.
x－ 3 x＋ 1
2 2
由于 A， B， C不共线， ∴y≠ 0.故顶点 C的轨迹方程为 x ＋ y － 2x－ 3＝ 0(y≠ 0)．
16、 解析： 方程 y＝ x＋ b 表示斜率为 1 的平行直线系；方程 y＝
2
1－ x 表示单位圆位于 x轴及其上方的半圆，如图所示．
当 l通过 A(－ 1,0)， B(0,1)时， l与 C有两交点，此时 b＝ 1，记为 l1；
当 l与半圆相切时，此时 b＝ 2，切线记为 l2；
当 l夹在 l1与 l2之间时， l和 C有两个不同的公共点．因此 1≤ b< 2.
三、解答题
17、 (1)因为直线 经过 和 两点，由两点式得 的方程为 ，
即
(2) 由 (1)知直线 的斜率 ，则直线 BC的垂直平分线的斜率 .
由 (2)知点 BC中点 D的坐标为 ．可求出直线的点斜式方程为 ，
即
18、 （ 1） 的斜率为 ， 中点 ，因为以圆心所在的直线与 垂直，
所以所求直线的斜率为 1， 所以圆心所在的直线方程为 即 ．
（ 2）由条件设圆的方程为 ，由圆过 点得 解得
，或 所以圆 的标准方程为 或 ．

19、

（ 2）由题设知 BC⊥ CC1， BC⊥ AC， CC1∩ AC=C，
∴ BC⊥ 面 ACC1A1．
又 ∵ DC1?面 ACC1A1， ∴ BC⊥ DC1． 由题设知 ∠ A1DC1=∠ ADC=45°，
∴∠ CDC1=90°，即 DC1⊥ DC．又 ∵ DC∩ BC=C， ∴ DC1⊥ 面 BDC．
∵ DC1?面 BDC1， ∴ 面 BDC⊥ 面 BDC1．


20、 【解析】（ 1）连接 A1C，设 A1C交 AC1于点 O，连接 OD．
因为 ACC1A1为正方形，所以 O为 A1C中点，
又 D为 BC中点，所以 OD为 △ A1BC的中位线，所以 A1B∥
OD．
因为 OD?平面 ADC1， A1B?平面 ADC1，所以 A1B∥ 平面
ADC1．
（ 2）由（ 1）可知， C1A⊥ CA1，
因为侧面 ABB1A1是正方形，所以 AB⊥ AA1，
又 ∠ BAC=90°，所以 AB⊥ AC，
又 AC∩ AA1=A，所以 AB⊥ 平面 ACC1A1．又 AB∥ A1B1，所以 A1B1⊥ 平面 ACC1A1．
又因为 C1A?平面 ACC1A1，所以 A1B1⊥ C1A．所以 C1A⊥ 平面 A1B1C．

21、 1.由题意知 ,设所求直线方程为 ,
由于直线与圆 相切 ,所以圆心到所求直线的距离为 ,即
所以 ,故所求直线方程为 或 .
2.由于直线 : 与坐标轴交于 、 两点 ,故 ,
所以 .设圆心 到直线 的距离为 ,
点 到直线 的距离为 则 ,即
由于 所以 面积的取值范围是 .
22、 【解答】解：（Ⅰ）由 l：（ m﹣ 1） x+（ 2m+1） y﹣ 7m+1＝ 0，得 m（ x+2y﹣ 7） +（﹣
???? +2?????7 = 0 ???? = 3
x+y+1）＝ 0联立 { ，解得 { ，∴直线恒过定点 P（ 3， 2）；
????? +????+1 = 0 ???? = 2
（Ⅱ）化圆 C为（ x﹣ 2 2
2） +（ y﹣ 1） ＝ 4，∴ C（ 2， 1）， r＝ 2，
∴最长弦为直径，即 |AC|＝ 4，最短弦过 P点且与直径 AC垂直，
∴ |????????| = 2√????2 ?|????????|2 = 2√22 ?(√2)2 = 2√2，
1
∴ ???????????????????? = |????????|?|????????| = 4 2．
2 √
即以最长弦和最短弦为对角线的四边形 ABCD的面积为 4√2．