1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（1）-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册课件(共28张PPT)

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
牌楼,与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种,多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构,一般较高大.如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行.这是为什么呢?
创设情境
新课引入
思考1：如何用向量表示空间中的一点？
1.点的位置向量
思考2:我们知道，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定直线 ,如何用向量表示直线？
2、空间直线的向量表示式
3、空间平面的向量表达式
思考3：一定点和两个定方向能否确定一个定平面？一个定点和一个定方向能否确定一个定平面？
问题1：由前面所学，如何确定一个平面？
能
思考4：如何用向量表示这个平面？
注：空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定。
4、平面的法向量
共线
因此，平面的法向量有无数条。
自主检测
（1）√ （2）× （3）√
空间中直线、平面的平行
思考 1：如何由方向向量表示直线的平行？
思考2：由直线与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量有什么关系？
思考3：由平面与平面的平行关系，可以得到平面的法向量有什么关系？
自我检测
(1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行.(　　)
(2)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直.(　　)
(3)两个平面的法向量平行,则这两个平面平行或重合;两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直.(　　)
答案:(1)√　(2)√　(3)√
答案:C
例1;已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:
(1)FC1∥平面ADE;
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
证明:(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),
反思感悟 证明线面、面面平行问题的方法
(1)用向量法证明线面平行:①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内;②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内;③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内,如(1)中,FC1?平面ADE一定不能漏掉.
(2)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行.当然要注意当法向量坐标中有0时,要使用n1=λn2这一形式.
变式训练




如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC= AD=1,问在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB?若存在,求出E点的位置;若不存在,请说明理由.
解:存在点E使CE∥平面PAB.
以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,
∴P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),

例2；如图所示,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点.
求证:MN∥平面PAD;
证明:(1)如图所示,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.
设PA=AD=a,AB=b,
则有P(0,0,a),A(0,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),B(b,0,0).
∵M,N分别为AB,PC的中点,
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}位置关系
向量表示
线线平行
线面平行
面面平行
归纳总结