1.4两条直线的交点（练习题）——2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）

两条直线的交点
一、选择题
1．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
2．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是(　　)
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0
C．x－3y＋6＝0 D．x－3y＋5＝0
3．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0
C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0
4．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是(　　)
A．(2，3) B．(－2，－1)
C．(－4，－3) D．(0，1)
5．直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝(　　)
A．－2　　B．－4　　C．－6　　D．－8
二、填空题
6．若a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过的定点坐标是________．
7．若直线x－2y－2k＝0与直线2x－3y－k＝0的交点在直线3x－y＝0上，则k的值为________．
8．若直线l：y＝kx－与直线l1：2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．
三、解答题
9．求过直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程．
10．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．
(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；
(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0．
能力过关
11．(多选题)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的可能取值为(　　)
A．－　　B．　　C．　　D．－
12．已知三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值范围是________．
13．当0＜a＜2时，直线l1：ax－2y＝2a－4和l2：2x＋a2y＝2a2＋4与坐标轴围成一个四边形，则使四边形的面积最小时a的值为________．
14．无论m取何值，直线(m－1)x＋(m－2)y＝5都一定过第________象限．
15．过点M(0，1)作直线，使它被两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．
一、选择题
1．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
B　[联立方程组解得即两直线的交点坐标为．]
2．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是(　　)
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0
C．x－3y＋6＝0 D．x－3y＋5＝0
B　[直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点为(－1，4)，与3x＋y－1＝0垂直，得斜率为，由点斜式，得y－4＝(x＋1)，即x－3y＋13＝0．]
3．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0
C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0
B　[设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8．则所求直线方程为2x－y＝0．]
4．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是(　　)
A．(2，3) B．(－2，－1)
C．(－4，－3) D．(0，1)
A　[由题意知，直线MN过点M(0，－1)且与直线x＋2y－3＝0垂直，其方程为2x－y－1＝0． 直线MN与直线x－y＋1＝0的交点为N，联立方程组解得即N点坐标为(2，3)．]
5．直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝(　　)
A．－2　　B．－4　　C．－6　　D．－8
B　[∵直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，
∴－×＝－1，∴a＝10，
∴直线ax＋4y－2＝0方程即为5x＋2y－1＝0．
将点(1，c)的坐标代入上式可得5＋2c－1＝0，解得c＝－2．将点(1，－2)的坐标代入方程2x－5y＋b＝0得2－5×(－2)＋b＝0，
解得b＝－12．∴a＋b＋c＝10－12－2＝－4．]
二、填空题
6．若a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过的定点坐标是________．
　[因为a＋2b＝1，所以a＝1－2b，
所以直线ax＋3y＋b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0，
即x＋3y＋(－2x＋1)b＝0．
由解得
即直线ax＋3y＋b＝0必过的定点坐标是．]
7．若直线x－2y－2k＝0与直线2x－3y－k＝0的交点在直线3x－y＝0上，则k的值为________．
0　[由得交点坐标为(－4k，－3k)，
代入3x－y＝0，解得k的值为0．]
8．若直线l：y＝kx－与直线l1：2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．
　[如图，直线l1：2x＋3y－6＝0过A(3，0)，B(0，2)，而l过定点C(0，－)，
由图象可知∴l的倾斜角α的取值范围是．]
三、解答题
9．求过直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程．
[解]　法一：解方程组得所以两条直线的交点坐标为(－1，0)．
又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为y－0＝3[x－(－1)]，即3x－y＋3＝0．
法二：设所求直线为l，因为l过已知两条直线的交点，所以直线l的方程可设为2x－y＋2＋λ(x＋y＋1)＝0(其中λ为常数)，即(λ＋2)x＋(λ－1)y＋λ＋2＝0，①
又直线l的斜率为3，所以－＝3，解得λ＝，
将λ＝代入①，整理得3x－y＋3＝0．
10．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．
(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；
(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0．
[解]　解方程组得交点P(1，1)．
(1)若直线与l1平行，
∵k1＝2，∴斜率k＝2，∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0．
(2)若直线与l2垂直，∵k2＝，∴斜率k＝－＝－，
∴所求直线的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0．
能力过关
11．(多选题)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的可能取值为(　　)
A．－　　B．　　C．　　D．－
ACD　[因为三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，所以直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点，直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0分别平行时，m＝，或－，直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－，所以实数m的取值集合为，故选ACD．]
12．已知三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值范围是________．
{a∈R|a≠±1}　[∵x＋y＝0与x－y＝0相交于原点，
∴无论a为何值，直线x＋ay＝3总不经过原点，故只需直线x＋ay＝3与另两条直线均不平行即可，即a≠±1．]
13．当0＜a＜2时，直线l1：ax－2y＝2a－4和l2：2x＋a2y＝2a2＋4与坐标轴围成一个四边形，则使四边形的面积最小时a的值为________．
　[如图，直线l1：a(x－2)－2(y－2)＝0，
∴l1过定点B(2，2)．直线l2：(2x－4)＋a2(y－2)＝0，
由2x－4＝0和y－2＝0得l2也过定点B(2，2)．
∵l1与y轴交于点A(0，2－a)，
l2与x轴交于点C(a2＋2，0)．
∴S四边形OABC＝S△AOB＋S△BOC
＝(2－a)×2＋×(a2＋2)×2
＝a2－a＋4＝＋．
∴当a＝时，S取最小值．
即四边形OABC的面积最小时，a的值为．]
14．无论m取何值，直线(m－1)x＋(m－2)y＝5都一定过第________象限．
四　[直线(m－1)x＋(m－2)y＝5化简得，
m(x＋y)－(x＋2y＋5)＝0，
令解得
即直线(m－1)x＋(m－2)y＝5一定过点(5，－5)，又点(5，－5)在第四象限，所以直线(m－1)x＋(m－2)y＝5一定过第四象限．]
15．过点M(0，1)作直线，使它被两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．
[解]　法一：过点M且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1．
设所求直线与已知直线l1，l2分别交于A，B两点．
由得A的横坐标xA＝．
由得B的横坐标xB＝．
∵点M平分线段AB，∴＋＝0，解得k＝－．故所求的直线方程为x＋4y－4＝0．
法二：设所求直线与l1，l2分别交于A，B两点，且设A(3m－10，m)，B(a，8－2a)．
∵M为线段AB的中点，
∴
解得
∴A(－4，2)，B(4，0)，
∴直线AB即所求直线的方程为x＋4y－4＝0．