3.1.2.1 椭圆的几何性质（练习题）-2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）

椭圆的几何性质
一、选择题
1．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝(　　)
A．　　B．　　C．2　　D．4
2．椭圆＋＝1与＋＝1(0A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
3．已知椭圆x2＋＝1(b＞0)的离心率为，则b等于(　　)
A．3　　B．　　C．　　D．
4．如图所示，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝(　　)
A．35 B．30
C．25 D．20
5．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(　　)
A．(0，3) B．
C．(0，3)∪ D．(0，2)
二、填空题
6．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为________．
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5，4)，则椭圆的标准方程为________．
8．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．
三、解答题
9．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
10．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．
能力过关
11．(多选题)某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法，正确的有(　　)
A．长轴长为m＋n＋2R
B．焦距为n－m
C．短轴长为
D．离心率e＝
12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为(　　)
A． B． C． D．
13．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，则椭圆的标准方程是________．若点P为椭圆上任意一点，则·的取值范围是________．
14．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________．
15．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|．
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
一、选择题
1．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝(　　)
A．　　B．　　C．2　　D．4
D　[将椭圆方程化为标准形式为x2＋＝1，
所以长轴长为2，短轴长为2，
由题意得2＝2×2，解得m＝4．]
2．椭圆＋＝1与＋＝1(0A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
D　[由25－9＝(25－k)－(9－k)知，两椭圆有相等的焦距．]
3．已知椭圆x2＋＝1(b＞0)的离心率为，则b等于(　　)
A．3　　B．　　C．　　D．
B　[易知b2＋1＞1，由题意得＝＝，解得b＝或b＝－(舍去)，故选B．]
4．如图所示，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝(　　)
A．35 B．30
C．25 D．20
A　[设椭圆右焦点为F′(图略)，由椭圆的对称性，知|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，所以原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋|P4F|＝7a＝35．]
5．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(　　)
A．(0，3) B．
C．(0，3)∪ D．(0，2)
C　[当0＜k＜4时，e＝＝∈，
即＜＜1?1＜4－k＜4，即0＜k＜3．
当k＞4时，e＝＝∈，
即＜＜1?＜＜1?＜1－＜1?0＜＜?k＞．
综上，实数k的取值范围为(0，3)∪．]
二、填空题
6．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为________．
　[如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝．]
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5，4)，则椭圆的标准方程为________．
＋＝1　[∵e＝＝，∴＝＝，
∴5a2－5b2＝a2，即4a2＝5b2．
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞0)，
∵椭圆过点P(－5，4)，∴＋＝1．
解得a2＝45．∴椭圆的标准方程为＋＝1．]
8．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．
4，3　[过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的长为2×＝3．]
三、解答题
9．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
[解]　根据椭圆的对称性，不妨设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)．
依题意设点A的坐标为，则点B的坐标为，所以|AB|＝．
由△ABF2是正三角形得2c＝×，即b2＝2ac．
又因为b2＝a2－c2，所以a2－c2－2ac＝0，两边同除以a2，得＋2·－＝0，解得e＝＝(负值舍去)．
10．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．
[解]　椭圆方程可化为＋＝1，由m－＝＞0，可知m＞，所以a2＝m，b2＝，c＝＝，由e＝，得＝，解得m＝1．于是椭圆的标准方程为x2＋＝1，则a＝1，b＝，c＝．所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为，；四个顶点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，，．
能力过关
11．(多选题)某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法，正确的有(　　)
A．长轴长为m＋n＋2R
B．焦距为n－m
C．短轴长为
D．离心率e＝
ABD　[由题意，得n＋R＝a＋c，m＋R＝a－c，可解得2c＝n－m，a＝，2a＝m＋n＋2R．∴2b＝2＝2，e＝，故ABD正确，C不正确．]
12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为(　　)
A． B． C． D．
D　[在Rt△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2．将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0， 解得e＝，因为013．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，则椭圆的标准方程是________．若点P为椭圆上任意一点，则·的取值范围是________．
＋＝1　[0，12]　[因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a＝2．
因为离心率e＝，所以c＝1，b＝＝，
则椭圆的方程为＋＝1，
所以点A的坐标为(－2，0)，点F的坐标为(－1，0)．
设P(x，y)，则·＝(x＋2，y)·(x＋1，y)＝x2＋3x＋2＋y2．
由椭圆的方程，得y2＝3－x2，
所以·＝x2＋3x－x2＋5＝(x＋6)2－4．
因为x∈[－2，2]，所以·∈[0，12]．]
14．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________．
[1，2]　[因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2．]
15．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|．
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
[解]　(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1．
因为△ABF2的周长为16，
所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8．
故|AF2|＝8－3＝5．
(2)设|F1B|＝k，则k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k．
由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k．
在△ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，故a＝3k．
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k．
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝．