11.4.2.1平面与平面垂直的判定 课时作业2020-2021高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册Word含解析
文档属性
| 名称 | 11.4.2.1平面与平面垂直的判定 课时作业2020-2021高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册Word含解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 174.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-16 14:33:49 | ||
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文档简介
第1课时 平面与平面垂直的判定
1.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角( )
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．关系无法确定
2．下列命题中：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是( )
A．①③
B．②④
C．③④
D．①②
3．四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A
?
PD
?
C的平面角的度数；
(2)求二面角B
?
PA
?
D的平面角的度数；
(3)求二面角B
?
PA
?
C的平面角的度数；
(4)求二面角B
?
PC
?
D的平面角的度数．
4．在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.
5．过点S引三条线段SA，SB，SC，其中∠BSC＝90°，∠ASC＝∠BSA＝60°，且SA＝SB＝SC＝a.
求证：平面ABC⊥平面BSC.
素养达成
一、选择题
1．直线l⊥平面α，l?平面β，则α与β的位置关系是( )
A．平行
B．可能重合
C．垂直
D．相交不垂直
2．一个二面角α(0°＜α＜90°)的两个半平面分别垂直于另一个二面角β(0°＜β＜90°)的两个半平面，则这两个二面角的关系是( )
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．既不相等也不互补
3．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l?α，m?β，下面命题正确的是( )
A．若l⊥β，则α⊥β
B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β
D．若α∥β，则l∥m
4．从空间一点P向二面角α?l?β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E、F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α?l?β的平面角的大小是( )
A．60°
B．120°
C．60°或120°
D．不确定
5．(易错题)如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6．在正方体ABCD
?
A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1
?
BD
?
A的正切值等于( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7．在正四面体P
?
ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，有下列四个命题：①BC∥平面PDF；②平面PDF⊥平面ABC；③DF⊥平面PAE；④平面PAE⊥平面ABC.其中正确命题的序号是________(把所有正确命题的序号都填上)．
8．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝________.
9．(探究题)α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(答案不唯一，写出一个即可)．
三、解答题
10．如图，在三棱锥A
?
BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD.
(1)求证：平面ABD⊥平面ACD；
(2)若AB＝BC＝2BD，求二面角B
?
AC
?
D的正切值．
1．答案：D
解析：如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H?DG?F的大小不确定．
2．答案：B
解析：由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确．故选B.
3．解析：(1)∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，又四边形ABCD为正方形，
∴CD⊥AD，又PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，又CD?平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A?PD?C的平面角的度数为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，AB，AD?平面ABCD.∴AB⊥PA，AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B?PA?D的平面角．
又由题意知∠BAD＝90°，
∴二面角B?PA?D的平面角的度数为90°.
(3)∵PA⊥平面ABCD，AB，AC?平面ABCD.∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B?PA?C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，
即二面角B?PA?C的平面角的度数为45°.
(4)作BE⊥PC于E，连接DE，BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图．
由题意知△PBC≌△PDC，
则∠BPE＝∠DPE，
从而△PBE≌△PDE.
∴∠DEP＝∠BEP＝90°，
且BE＝DE.
∴∠BED为二面角B?PC?D的平面角．
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC.
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴BC⊥PB.
设AB＝a，则BE＝＝a，BD＝a.
∴sin∠BEO＝＝.∴∠BEO＝60°，
∴∠BED＝120°.∴二面角B?PC?D的平面角的度数为120°.
4．证明：∵PC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
又PC∩AC＝C，PC，AC?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
∵BD?平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC.
5．证明：如图，取BC的中点D，连接SD，AD，
由于∠ASC＝∠BSA＝60°，且SA＝SB＝SC＝a，
所以△SAC，△SAB为正三角形，
即有AB＝AC＝a，又BC＝a，
所以三角形ABC为等腰直角三角形，
所以AD⊥BC，又SD⊥BC，
所以∠ADS恰好为二面角S－BC－A的平面角．
又SD＝AD＝BC＝a，而SA＝a，
所以△SAD为直角三角形，∠SDA为直角，
所以，平面ABC⊥平面BSC.
1．答案：C
解析：由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.
2．答案：A
解析：画出图象易得到α与β相等或互补．而α，β均为锐角，∴α与β相等．
3．答案：A
解析：A项，由面面垂直的判定定理可知，若l?α，l⊥β，则α⊥β，故A正确．B项，若α⊥β且l?α，m?β，则l与m平行，相交，异面都有可能，故B错．C项，若l∥β，且l?α.则α∥β和α与β相交都有可能，故C错．D项，若α∥β，且l?α，m?β，则l∥m或l，m异面．故D错．
4．答案：C
解析：∵PE⊥α，PF⊥β，
∴P，E，F三点确定的平面垂直于α和β.
过点E作l的垂线，垂足为O，连接OF，易知l⊥OF且P，E，O，F四点共面，则∠FOE为二面角的平面角，如图1所示．
此时，∠FOE＋∠EPF＝180°，
所以二面角α?l?β的平面角为120°.
当点P的位置如图2所示时，
此时∠FOE＝∠EPF，
所以二面角α?l?β的平面角为60°.
5．答案：D
解析：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC.
∴△ABC为直角三角形．
又PA⊥⊙O所在平面，AC，AB，BC都在⊙O所在平面内，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，
∴△PAC，△PAB是直角三角形，
又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
∵PC?平面PAC，∴BC⊥PC，
∴△PBC是直角三角形，
从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均为直角三角形．
6．答案：C
解析：如图所示，连接AC交BD于O，连接A1O，∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．设A1A＝a，则AO＝a，所以tan∠A1OA＝＝.
7．答案：①③④
解析：因为D，F分别是AB，AC的中点，所以DF∥BC，又DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，故①正确；因为E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥PE.因为AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE.因为BC?平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故④正确；因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故③正确；只有②不正确．故正确的命题为①③④.
8．答案：13
解析：如图，连接CD，则在Rt△ABC中，CD＝AB.
因为AC＝6，BC＝8，
所以AB＝＝10.
所以CD＝5.
因为EC⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以EC⊥CD.
所以ED＝＝＝13.
9．答案：①③④?②(或②③④?①)
解析：若①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β成立，则m与α可能平行也可能相交，也可能m?α，即④m⊥α不一定成立；若①m⊥n，②α⊥β，④m⊥α成立，则n与β可能平行也可能相交，也可能n?β，即③n⊥β不一定成立；若①m⊥n，③n⊥β，④m⊥α成立，则②α⊥β一定成立；若②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α成立，则①m⊥n一定成立．
∴①③④?②(或②③④?①)
10．解析：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD.
又BD⊥CD，且BD∩AB＝B，BD，AB?平面ABD，
∴CD⊥平面ABD.
又CD?平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD.
(2)如图，过D作DE⊥BC于E，
又AB⊥DE，∴DE⊥平面ABC，
∴DE⊥AC.
过E作EF⊥AC于F，连接DF，
∴AC⊥平面DEF，则AC⊥DF，
∴∠DFE就是二面角B?AC?D的平面角．
设BD＝x，则AB＝BC＝2x.
在Rt△BDC中，CD＝x，BD·CD＝BC·DE，
则DE＝x，BE＝x，CE＝x.
由Rt△CEF∽Rt△CAB得＝，∴EF＝x，
在Rt△DEF中，tan∠DFE＝＝＝.
故二面角B?AC?D的正切值为.
1.若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角( )
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．关系无法确定
2．下列命题中：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是( )
A．①③
B．②④
C．③④
D．①②
3．四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A
?
PD
?
C的平面角的度数；
(2)求二面角B
?
PA
?
D的平面角的度数；
(3)求二面角B
?
PA
?
C的平面角的度数；
(4)求二面角B
?
PC
?
D的平面角的度数．
4．在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.
5．过点S引三条线段SA，SB，SC，其中∠BSC＝90°，∠ASC＝∠BSA＝60°，且SA＝SB＝SC＝a.
求证：平面ABC⊥平面BSC.
素养达成
一、选择题
1．直线l⊥平面α，l?平面β，则α与β的位置关系是( )
A．平行
B．可能重合
C．垂直
D．相交不垂直
2．一个二面角α(0°＜α＜90°)的两个半平面分别垂直于另一个二面角β(0°＜β＜90°)的两个半平面，则这两个二面角的关系是( )
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．既不相等也不互补
3．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l?α，m?β，下面命题正确的是( )
A．若l⊥β，则α⊥β
B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β
D．若α∥β，则l∥m
4．从空间一点P向二面角α?l?β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E、F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α?l?β的平面角的大小是( )
A．60°
B．120°
C．60°或120°
D．不确定
5．(易错题)如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6．在正方体ABCD
?
A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1
?
BD
?
A的正切值等于( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7．在正四面体P
?
ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，有下列四个命题：①BC∥平面PDF；②平面PDF⊥平面ABC；③DF⊥平面PAE；④平面PAE⊥平面ABC.其中正确命题的序号是________(把所有正确命题的序号都填上)．
8．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝________.
9．(探究题)α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(答案不唯一，写出一个即可)．
三、解答题
10．如图，在三棱锥A
?
BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD.
(1)求证：平面ABD⊥平面ACD；
(2)若AB＝BC＝2BD，求二面角B
?
AC
?
D的正切值．
1．答案：D
解析：如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H?DG?F的大小不确定．
2．答案：B
解析：由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确．故选B.
3．解析：(1)∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，又四边形ABCD为正方形，
∴CD⊥AD，又PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，又CD?平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A?PD?C的平面角的度数为90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，AB，AD?平面ABCD.∴AB⊥PA，AD⊥PA.
∴∠BAD为二面角B?PA?D的平面角．
又由题意知∠BAD＝90°，
∴二面角B?PA?D的平面角的度数为90°.
(3)∵PA⊥平面ABCD，AB，AC?平面ABCD.∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC为二面角B?PA?C的平面角．
又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，
即二面角B?PA?C的平面角的度数为45°.
(4)作BE⊥PC于E，连接DE，BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图．
由题意知△PBC≌△PDC，
则∠BPE＝∠DPE，
从而△PBE≌△PDE.
∴∠DEP＝∠BEP＝90°，
且BE＝DE.
∴∠BED为二面角B?PC?D的平面角．
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC.
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴BC⊥PB.
设AB＝a，则BE＝＝a，BD＝a.
∴sin∠BEO＝＝.∴∠BEO＝60°，
∴∠BED＝120°.∴二面角B?PC?D的平面角的度数为120°.
4．证明：∵PC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
又PC∩AC＝C，PC，AC?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
∵BD?平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC.
5．证明：如图，取BC的中点D，连接SD，AD，
由于∠ASC＝∠BSA＝60°，且SA＝SB＝SC＝a，
所以△SAC，△SAB为正三角形，
即有AB＝AC＝a，又BC＝a，
所以三角形ABC为等腰直角三角形，
所以AD⊥BC，又SD⊥BC，
所以∠ADS恰好为二面角S－BC－A的平面角．
又SD＝AD＝BC＝a，而SA＝a，
所以△SAD为直角三角形，∠SDA为直角，
所以，平面ABC⊥平面BSC.
1．答案：C
解析：由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.
2．答案：A
解析：画出图象易得到α与β相等或互补．而α，β均为锐角，∴α与β相等．
3．答案：A
解析：A项，由面面垂直的判定定理可知，若l?α，l⊥β，则α⊥β，故A正确．B项，若α⊥β且l?α，m?β，则l与m平行，相交，异面都有可能，故B错．C项，若l∥β，且l?α.则α∥β和α与β相交都有可能，故C错．D项，若α∥β，且l?α，m?β，则l∥m或l，m异面．故D错．
4．答案：C
解析：∵PE⊥α，PF⊥β，
∴P，E，F三点确定的平面垂直于α和β.
过点E作l的垂线，垂足为O，连接OF，易知l⊥OF且P，E，O，F四点共面，则∠FOE为二面角的平面角，如图1所示．
此时，∠FOE＋∠EPF＝180°，
所以二面角α?l?β的平面角为120°.
当点P的位置如图2所示时，
此时∠FOE＝∠EPF，
所以二面角α?l?β的平面角为60°.
5．答案：D
解析：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC.
∴△ABC为直角三角形．
又PA⊥⊙O所在平面，AC，AB，BC都在⊙O所在平面内，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，
∴△PAC，△PAB是直角三角形，
又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
∵PC?平面PAC，∴BC⊥PC，
∴△PBC是直角三角形，
从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均为直角三角形．
6．答案：C
解析：如图所示，连接AC交BD于O，连接A1O，∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．设A1A＝a，则AO＝a，所以tan∠A1OA＝＝.
7．答案：①③④
解析：因为D，F分别是AB，AC的中点，所以DF∥BC，又DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，故①正确；因为E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥PE.因为AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE.因为BC?平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故④正确；因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故③正确；只有②不正确．故正确的命题为①③④.
8．答案：13
解析：如图，连接CD，则在Rt△ABC中，CD＝AB.
因为AC＝6，BC＝8，
所以AB＝＝10.
所以CD＝5.
因为EC⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以EC⊥CD.
所以ED＝＝＝13.
9．答案：①③④?②(或②③④?①)
解析：若①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β成立，则m与α可能平行也可能相交，也可能m?α，即④m⊥α不一定成立；若①m⊥n，②α⊥β，④m⊥α成立，则n与β可能平行也可能相交，也可能n?β，即③n⊥β不一定成立；若①m⊥n，③n⊥β，④m⊥α成立，则②α⊥β一定成立；若②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α成立，则①m⊥n一定成立．
∴①③④?②(或②③④?①)
10．解析：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD.
又BD⊥CD，且BD∩AB＝B，BD，AB?平面ABD，
∴CD⊥平面ABD.
又CD?平面ACD，∴平面ABD⊥平面ACD.
(2)如图，过D作DE⊥BC于E，
又AB⊥DE，∴DE⊥平面ABC，
∴DE⊥AC.
过E作EF⊥AC于F，连接DF，
∴AC⊥平面DEF，则AC⊥DF，
∴∠DFE就是二面角B?AC?D的平面角．
设BD＝x，则AB＝BC＝2x.
在Rt△BDC中，CD＝x，BD·CD＝BC·DE，
则DE＝x，BE＝x，CE＝x.
由Rt△CEF∽Rt△CAB得＝，∴EF＝x，
在Rt△DEF中，tan∠DFE＝＝＝.
故二面角B?AC?D的正切值为.