浙江省杭州市杭高2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案

2020学年杭高高二下期中试卷
1．已知集合false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．false（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．若false，false，则实数false的值是（ ）
A．false B．false C．false
4．某几何体的三视图如图，正视图和侧视图是两个全等的半圆，俯视图中圆的半径为1，则该几何体的体积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．已知实数false，false满足false，设false，则false的最大值为（ ）
A．6 B．3 C．0 D．false
6．在false中，false，false，false，则false（ ）
A．false B．false C．5 D．6
7．函数false的图象大致为（ ）

A． B． C． D．
8．已知双曲线false（false，false）的离心率为false，则点false到双曲线false的渐近线的距离为（ ）
A．2 B．false C．false D．false
9．如图，在棱长为2正方体false中，false，false，false分别是棱false，false，false的中点，false是底面false内一动点，若直线false与平面false不存在公共点，false的最小值为（ ）
A．2 B．false C．3 D．false
10．已知false，false，对任意的false，false，且false，恒有false，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．已知false为等比数列，false，false，那么数列false的公比为______，数列false的前5项的和为______．
12．已知false的展开式中二项式系数之和是256，则false______；展开式中的常数项是______．
13．已知点false，false均是拋物线false上两点，false（false为坐标原点）的延长线与抛物线false的准线交于点false，且false轴，则抛物线false的焦点坐标为______，直线false的斜率为______．
14．将函数false的图像向右平移false个单位，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数false，则false的解析式false____________，若对于任意false，在区间false上总存在唯一确定的false，使得false，则false的最小值为______．
15．某市安排5名医疗专家去支援3家定点医院，要求每个专家只能去1家医院，每家医院至少分到1名专家，则不同的分配方案有______种．（用数字作答）
16．点false在函数false的图像上，若满足到直线false的距离为2的点false有且仅有3个，则实数false的值为______．
17．在false中，已知false，false，false是斜边false上任意一点（如图①沿直线false将false折成直二面角false（如图②．若折叠后false，false两点间的距离为false，则false的最小值为______．
18．已知函数false．
（1）求false的单调递增区间和最值；
（2）若函数false在false有且仅有两个零点，求实数false的取值范围．
19．如图，在四棱锥false中，false底面false，底面false为梯形，false，false，且false，false．
（1）若点false为false上一点且false，证明：false平面false；
（2）求直线false与平面false所成角的正弦值．
20．已知首项为false的等比数列false的前false项和为false（false），且false，false，false成等差数列．
（1）求数列false的通项公式；
（2）求false，并求false的最大值．
21．已知函数false的一个极值点是false，
（1）当false时，求false的值，并求false的单调递增区间；
（2）设false，若对任意false，使得false成立，求实数false的取值范围．
22．如图，已知抛物线false，过点false作斜率为false的直线false，交拋物线于false，false两点（点false在第一象限），直线false交false轴于点false，过点false作斜率为false的直线false交抛物线于另一点false，且交false轴于点false，且满足false．记false，false的面积分别为false，false．
（1）若false，求false；
（2）求false的取值范围．
答案部分
2020学年杭高高二下期中试卷试题
1．false，故选C．
2．false，故选B．
3．false，故选D．
4．false，故选B．
5．画出可行域，为三角形，当经过点false时，false的最大值为6，故选A．
6．false，false，∴false，false，false，选A．
7．函数false为偶函数，当false时，false，当false时，false，故选D．
8．因为离心率false，所以false，渐近线为false，点到直线的距离false，故选C．
9．做false中点false，false面false，false的中点设为false，false的中点设为false，所以面false面falsefalse；设false中点为false，所以false，过点false做false平行线，即为false，所以面false面false，false点的轨迹即为线段false，false的最小值即可放入false中计算，当false为false中点false时取得最小值false，故选D．
10．由题意false，令false，则由题意得false在false上单调递增，所以false对false恒成立，即false，记false，false，则false，易得false在false上递增，false上递减，所以false，即false，故选B．
11．由已知公比false，数列false的前5项的和false．
12．由已知false，所以通项公式false，令false，所以常数项为false．
13．将false代入false，得false，所以false，所以焦点坐标为false；直线false为false，准线方程为false，所以false，则false，所以false，故填false；false．
14．false的图像向右平移false个单位得false，把每个点横坐标扩大为原来的2倍，得到false；false，如图，所以false，故填false；false．
15．解析：分两类：①1，1，3：false；②1，2，2：false，∴false．故填150．
16．先求斜率为1的切线，设切点为false，false，所以false，所以切线方程为false，所以false，结合图像知false．故填false．
17．解1：因为二面角false是直二面角，即平面false平面false，故false是false与平面false所成的线面角．设false，故false，由三余弦定理得：false，falsefalse，因为false，所以false，当且仅当false时取等号．故填写：false．
解2：设false，false，则false，过false作false于false，过false作false交false的延长线于false，由已知条件可得false平面false，所以false，false．
所以false，false，false，false，所以false，则false
false．
可知当false，即当false为false的角平分线的，false取得最小值false．
18．（1）因为false
false
false
令false，解得false．
所以false的单调递增区间为false．（以上false），易知false的最大值为false，最小值为false．
（2）因为函数false在false有且仅有两个零点，
故函数false，false的图像与直线false有且仅有两个不同的交点．
由（1）可知当false时，false在false上单调递增；在false上单调递减．
而false，false，false．所以实数false的取值范围为false．
19．（1）解1：（利用平行四边形证明直线平行）
证：在false上作点false使得false，连false和false，
因为点false为false上一点且false，所以false，且false．
又由已知可得false，且false．所以false，且false．
所以四边形false是平行四边形，所以false．
又false平面false，false平面false，所以false平面false证完
（1）解2．（利用面面平行证明线面平行）
在false上取点false使得false，连false和false．
因为点false为false上一点且false，
所以false，又false平面false，false平面false，所以false平面false．
又由已知可得false，且false．所以false，且false．
所以四边形false是平行四边形，所以false．
又false平面false，false平面false，所以false平面false．
而直线false和false是平面false内的相交直线，所以平面false平面false．
又false平面false，所以false平面false．证完
（3）解3．（利用比例关系证明线线平行）
证：延长false和false，设它们的交点为false，连false．
由已知可得false，且false，得false．
因为点false为false上一点且false，所以false，
又false平面false，false平面false，所以false平面false．
（2）解1：（直接画出线面角）
取false的中点false，连false和false．
因为false，且false，所以false，且false．
因为false底面false，false底面false，所以false．
又false、false是平面false内的相交直线，所以false平面false．
所以false就是直线false与平面false所成角，且false．
又false，false底面false，可得false．
所以false．即直线false与平面false所成角的正弦值为false．
（2）解2：（等体积法求距离）
因为false，false底面false，可得false．设点false到平面false的距离为false，
直线false与平面false所成角为false，则false．由已知易得false，即false．
由已知条件，false底面false，底面false为梯形，false，false，且false，
得false，false．得false．因此false．即直线false与平面false所成角的正弦值为false．
解；（空间向量法）
（1）证：依题意，可如图建立空间直角坐标系．则
false，false，false，false，false，false，
进而得false．显然，平面false的法向量可取false，故false，
又false平面false，所以false平面false．证完
（2）由（1）知，false，false，false．
设平面false的法向量为false，并记直线false与平面false所成角为false，
则false取false，得false，false，故false．
所以false．即直线false与平面false所成角的正弦值为false．
20．（1）设等比数列false的公比为false．因为false，false，false成等差数列，所以false，
即false，可得false，于是false．又因为false，
所以等比数列false的通项公式为false．
（2）false，false
故当false为偶数时，false随false的增大而减小，所以false．故false的最大值为false．
21．（1）false，false是极值点，则false，即false，false
当false时，false得false，因此单调递增区间为false，
因此false，单调递增区间为false
（2）false，false是极值点，则false解得false且false
因为false，因此由false知false在false上单调递增，在false上单调递减
对任意false，使得false成立，只要false即可，即false，解得false
因此false
22．（1）设false，false，由题意可知false，联立false与抛物线得
false，
故false．
（2）设false，false，false，直线false，false，则直线false，
联立false与抛物线得false，联立false与拋物线得
false，故解得false，
false
false，
因为false，故false，
故false，
其中false，综上，false的取值范围是false．