(共25张PPT)
2.1.2两条直线平行和垂直的判定
人教A版（2019）
选择性必修第一册
新知导入
上一节课，为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于x
轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题。
下面，我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系。
新知讲解
思考
平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行。
当两条直线l1
与l2
平行时，它们的斜率k1与k2满足什么关系？
若没有特别说明，说“两条直线
l1
、l
2”时，指两条不重合的直线.
合作探究
如图
若
,则
的倾斜角与相等，
由
可得
,
即
.
因此，若
，则
.
反之，当
时，
，
由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，
，因此
.
新知讲解
于是，对于斜率分别为
的两条直线
有
显然，当
时，直线的斜率不存在，此时
.
若直线
重合，此时仍然有.用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论.
新知讲解
总结：两条直线平行与斜率的关系
成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
②
不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，的倾斜角都是90°，则
.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
或
斜率都不存在．
课堂练习
例
已知A（2，3），
B（-4，0），
P（-3，1），
Q（-1，2），试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论.
解：
如图，由已知可得
直线BA的斜率
直线PQ的斜率
因为
，所以直线AB//PQ
.
课堂练习
例
已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），
B（2，-1），
C（4，2），
D（2，3）.试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
解：如图，由已知可得
AB边所在直线的斜率
CD边所在直线的斜率
BC边所在直线的斜率
DA边所在直线的斜率
因为
所以AB//CD
，BC//DA.
因此四边形ABCD是平行四边形。
合作探究
显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交.
在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形.
当直线
垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？
设两条直线
的斜率分别为则直线
的方向向量分别是
,
于是
即
也就是说，
当直线
的倾斜角为
时，若
，则另一条直线的倾斜角为
；反之亦然.
新知讲解
由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直.
即
新知讲解
由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直.
即
新知讲解
总结：两条直线垂直与斜率的关系
成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
②
且
.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
，或
一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
课堂练习
例
已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6，-6），
试判断直线AB与PQ的位置关系.
解：
直线AB
的斜率
直线PQ的斜率
因为
，
所以直线
.
课堂练习
例
已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，试判断
的形状.
分析：如图
猜想
，
是直角三角形.
解：边AB所在直线的斜率
，
边BC所在直线的斜率
由
，得
即
.
所以
是直角三角形
.
课堂练习
解：
不平行.
1.判断下列各小题中的直线
是否平行：
（1）
经过点A（-1，-2），B（2，1），
经过点M（3，4），N（-1，-1）
课堂练习
解：
故
或
重合.
（2）
的斜率为1，
经过点A（1，1），B（2，2）
课堂练习
（3）
经过点A（0，1），B（1，0），
经过点M（-1，3），N（2，0）
解：
?
则有
又
则A、B、M不共线，故
.
课堂练习
（4）
经过点A（-3，2），B（-3，10），
经过点M（5，-2），N（5，5）.
解：
由已知点的坐标，
得
均与下x
轴垂直且不重合，
故有
.
课堂练习
2.已知直线
经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线
经过点C(2,3)，
D(－1，a－2)，如果
，求a的值．
解：设直线
的斜率分别为
.
∵直线
经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，∴
的斜率存在．
当
，
，则，此时不存在，符合题意．
当时，即
，此时，
由
，得
?解得
.
综上可知，a的值为5或－6.
课堂练习
综合应用
3.已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．
解：由题意知A，B，C，D四点
在坐标平面内的位置，如图所示，
由斜率公式可得?
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，
所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．
课堂总结
两直线（不重合）平行的判定
斜率存在
斜率不存在
两直线斜率都不存在
2.
两直线垂直的判定
斜率都存在
有直线斜率不存在
板书设计
两直线平行的判定
判断两条不重合的直线是否平行的方法
是
看斜率
不平行
平行
相等？
平行
不平行
一条存在，一条不存在
都不存在
都存在
否
2.
两直线垂直的判定
3.
例题讲解
4.
课堂练习
作业布置
课本58页习题2.1
5，6
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
2.1.2两条直线平行和垂直的判定教学设计
课题
两条直线平行和垂直的判定
单元
第二单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
本节内容是在学习了直线的倾斜角和斜率的基础上，重点学习直线与直线在平面中的特殊位置关系。只有掌握了两条直线的位置关系，才能更进一步的来学习直线的方程，教材利用两条直线的倾斜角和斜率的关系引出了两条直线的平行和垂直的位置关系，本节课的知识结构非常系统，有利于学生形成规律性的知识网络。
学习
目标与
核心素养
学习目标
理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件。
能根据直线的斜率判定两条直线平行或垂直。
能应用两直线平行或垂直解决相关问题，理解用代数法解决几何问题。
核心素养
1.
理解两条直线平行和垂直的条件。（数学抽象）
2.
能根据斜率判定两条直线平行或垂直。（逻辑推理）
能利用两条直线平行或垂直的条件解决问题。（数学运算）
重点
根据斜率判定两条直线平行和垂直。
难点
启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
上一节课，为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题。
下面，我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系。
讲授新课
思考
平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行。当两条直线l1
与l2
平行时，它们的斜率k1与k2满足什么关系？
若没有特别说明，说“两条直线
l1
、l
2”时，指两条不重合的直线.
如图
探究新知（1）
若
,则
的倾斜角与相等，由
可得
,
即
.
因此，若
，则
.
反之，当
时，
，由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，
因此
.
于是，对于斜率分别为
的两条直线
有
显然，当
时，直线的斜率不存在，此时
.
若直线
重合，此时仍然有
.用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论.
总结：两条直线平行与斜率的关系
成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
②
不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，的倾斜角都是90°，则
.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
或
斜率都不存在．
例题讲解
例2
已知A（2，3）
B（-4，0）
P（-3，1）
Q（-1，2），试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论.
解：
如图，由已知可得
直线BA的斜率
直线PQ的斜率
因为
，所以直线AB//PQ
.
例3
已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），
B（2，-1），
C（4，2），
D（2，3）.试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.
解：如图，由已知可得
AB边所在直线的斜率
CD边所在直线的斜率
BC边所在直线的斜率
DA边所在直线的斜率
因为
所以AB//CD
BC//DA.
因此四边形ABCD是平行四边形。
探究新知（2）
显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交.
在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形.
当直线
垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？
设两条直线
的斜率分别为，则直线
的方向向量分别是
,
于是
即
也就是说，
当直线
的倾斜角为
时，若
，则另一条直线的倾斜角为
；反之亦然.
由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直.
即
总结：两条直线垂直与斜率的关系
成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
②
且
.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
，或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
例题讲解
例4已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6，-6），试判断直线AB与PQ的位置关系.
解：
直线AB
的斜率
直线PQ的斜率
因为
，
所以直线
.
例5
已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，试判断
的形状.
分析：如图
猜想
，
是直角三角形.
解：边AB所在直线的斜率
，
边BC所在直线的斜率
由
，得
即
.
所以
是直角三角形
.
课堂练习1
判断下列各小题中的直线
是否平行：
经过点A（-1，-2），B（2，1），
经过点M（3，4），N（-1，-1）；
的斜率为1，
经过点A（1，1），B（2，2）；
经过点A（0，1），B（1，0），
经过点M（-1，3），N（2，0）；
经过点A（-3，2），B（-3，10），
经过点M（5，-2），N（5，5）.
解：(1)
不平行.
(2)
故
或
重合.
(3)
则有
又
则A、B、M不共线，故
.
(4)由已知点的坐标，得
均与下x
轴垂直且不重合，故有
.
课堂练习2
已知直线
经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线
经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果
，求a的值．
解：设直线
的斜率分别为
.
∵直线
经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，
∴
的斜率存在．
当
，
，则，此时不存在，符合题意．
当时，即
，此时，
由
，得
解得
.
综上可知，a的值为5或－6.
课堂练习3
综合应用
已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状．
解： 由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，
由斜率公式可得
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，
所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．
复习旧知识
教师提问，引入新课
学生思考
教师给与指导
由学生讨论
感知、的关系
设置情景、引入新课
激发学生学习兴趣
以问题引导学生自主学习
通过斜率相等判定两直线平行，是通过代数方法得到几何结论，体现了用代数方法研究几何问题的思想
通过例题的讲解，使学生进一步理解掌握直线平行的条件
通过例题的讲解，使学生进一步理解掌握直线垂直的条件
课堂小结
两直线（不重合）平行的判定
斜率存在
斜率不存在
两直线斜率都不存在
2.
两直线垂直的判定
斜率都存在
有直线斜率不存在
板书
两直线平行的判定
判断两条不重合的直线是否平行的方法
两直线垂直的判定
例题讲解
教学反思
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
