4.1.2数列的递推公式（练习题）——2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册（Word版含解析）

数列的递推公式
一、选择题
1．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式为(　　)
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝2n D．an＝2n－1
2．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝＋1，则这个数列的第4项是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．6
3．已知在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a2 020＝(　　)
A．6　　B．－6　　C．3　　D．－3
4．在1，2，3，…，2 021这2 021个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列，则a50＝(　　)
A．289　　B．295　　C．301　　D．307
5．数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝若an＝，则n的值等于(　　)
A．7　　B．8　　C．9　　D．10
二、填空题
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a5为________．
7．已知数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2)，则a2 021的值是________．
8．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)，则a10的值为________．
三、解答题
9．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项an．
10．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·，试求数列{an}的最大项．
能力过关
11．(多选题)已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，n∈N*，则下列说法正确的是(　　)
A．该数列是周期数列且周期为3
B．该数列不是周期数列
C．a2 020＋a2 021＝
D．a2 020＋a2 021＝
12．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，满足an＝1，且an＝则解下4个圆环所需的最少移动次数为 (　　)
A．7　　B．10　　C．12　　D．22
13．数列{(25－2n)2n－1}的第4项是________，最大项所在的项数为________．
14．我们可以利用数列{an}的递推公式an＝(n∈N*)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．
15．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
一、选择题
1．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式为(　　)
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝2n D．an＝2n－1
D　[由题知a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，经验证，选D．]
2．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＋1＝＋1，则这个数列的第4项是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．6
B　[由an＋1＝＋1，a1＝1得，a2＝＋1＝3，a3＝＋1＝，a4＝＋1＝．故选B．]
3．已知在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a2 020＝(　　)
A．6　　B．－6　　C．3　　D．－3
D　[a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，∴周期为6，即an＋6＝an．∴a2 020＝a6×336＋4＝a4＝－3．所以D选项是正确的．]
4．在1，2，3，…，2 021这2 021个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列，则a50＝(　　)
A．289　　B．295　　C．301　　D．307
B　[由题意可知an－1即是2的倍数，又是3的倍数，即an－1是6的倍数，
则an－1＝6，，所以an＝6n－5，所以a50＝50×6－5＝295． ]
5．数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝若an＝，则n的值等于(　　)
A．7　　B．8　　C．9　　D．10
C　[因为a1＝1，所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，
所以n＝9．]
二、填空题
6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋1，则a5为________．
47　[由a1＝2，an＋1＝2an＋1，得a2＝2a1＋1＝5，a3＝2a2＋1＝11，a4＝2a3＋1＝23，a5＝2a4＋1＝47．]
7．已知数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2)，则a2 021的值是________．
－3　[数列{an}中，a1＝，an＝1－(n≥2)，
可得a2＝－3；a3＝；a4＝；所以数列的周期为3，a2 021＝a673×3＋2＝a2＝－3．]
8．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*)，则a10的值为________．
　[法一：由an＋1＝an＋得an＋1－an＝－，故a2－a1＝1－，
a3－a2＝－，a4－a3＝－，…，a10－a9＝－，所以累加得a10－a1＝1－，a10＝．
法二：由an＋1＝an＋，得an＋1＋＝an＋，故a10＋＝a1＋1＝2，即a10＝．]
三、解答题
9．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项an．
[解]　将an＋1＝两边同时取倒数得：
＝，
则＝＋，
即－＝，
∴－＝，－＝，…，－＝，
把以上这(n－1)个式子累加，
得－＝．
∵a1＝1，∴an＝(n∈N*)．
10．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·，试求数列{an}的最大项．
[解]　假设第n项an为最大项，则
即≥n＋1·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))，,n＋2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))≥n＋3·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))，))
解得即4≤n≤5，
所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝．
能力过关
11．(多选题)已知函数f(x)＝若数列{an}满足a1＝，an＋1＝f(an)，n∈N*，则下列说法正确的是(　　)
A．该数列是周期数列且周期为3
B．该数列不是周期数列
C．a2 020＋a2 021＝
D．a2 020＋a2 021＝
BC　[a2＝f＝－1＝；
a3＝f＝－1＝；
a4＝f＝＋＝；
a5＝f＝2×－1＝；
a6＝f＝2×－1＝；
…
∴从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列，但数列{an}并不是周期数列，故A错误，B正确．而a2 020＋a2 021＝a4＋a5＝．∴C正确，D错误．故选BC．]
12．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需的最少移动次数，满足an＝1，且an＝则解下4个圆环所需的最少移动次数为 (　　)
A．7　　B．10　　C．12　　D．22
A　[由题意知a2＝2a1－1＝2×1－1＝1，a3＝2a2＋2＝2×1＋2＝4，a4＝2a3－1＝2×4－1＝7，故选A．]
13．数列{(25－2n)2n－1}的第4项是________，最大项所在的项数为________．
136　11　[令an＝(25－2n)2n－1，则a4＝(25－2×4)×24－1＝136．
当n≥2时，设an为最大项，则
即
解得≤n≤．
而n∈N*，所以n＝11，
又n＝1时，有a1＝23＜a2＝42，
所以数列{(25－2n)2n－1}的最大项所在的项数为11．]
14．我们可以利用数列{an}的递推公式an＝(n∈N*)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．
640　[由题意可知，a5＝a10＝a20＝a40＝a80＝a160＝a320＝a640＝…＝5．故第8个5是该数列的第640项．]
15．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
[解]　(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，
又a＝－7，
∴an＝1＋(n∈N*)．
结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)．
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0．
(2)an＝1＋＝1＋，
已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知5＜＜6，即－10＜a＜－8．
即a的取值范围是(－10，－8)．