4.1.1 数列的概念及简单表示法（练习题）-2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册（Word版含解析）

数列的概念及简单表示法
一、选择题
1．不能作为数列2，0，2，0，…的通项公式的是(　　)
A．an＝1＋(－1)n＋1　　 B．an＝1－(－1)n
C．an＝1＋(－1)n D．an＝1－cos nπ
2．已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项为(　　)
A．　　　B．－　　　C．　　　D．－
3．已知数列{an}的通项公式为an＝，按项的变化趋势，该数列是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
4．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是(　　)
A．103　　B．108　　C．103　　D．108
5．已知数列的通项公式为an＝则a2a3等于(　　)
A．20　　B．28　　C．0　　D．12
二、填空题
6．已知数列，，，，…，则它的第10项是________．
7．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
8．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________．
三、解答题
9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)，，，，…；
(2)1，3，6，10，15，…；
(3)7，77，777，…．
10．已知数列．
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内．
能力过关
11．(多选题)有下面四个结论，不正确的是(　　)
A．数列可以看作一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
12．(多选题)已知数列{an}满足：an＝(n∈N*)，且数列{an}是递增数列，则实数a的可能取值是(　　)
A．2　　　B．　　　C．　　　D．3
13．根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，那么第5个图有________个点，试猜测第n个图中有________个点．
14．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA4＝________，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________．
图1　　　　　　　　　图2
15．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．
(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？
一、选择题
1．不能作为数列2，0，2，0，…的通项公式的是(　　)
A．an＝1＋(－1)n＋1　　 B．an＝1－(－1)n
C．an＝1＋(－1)n D．an＝1－cos nπ
C　[经过验证知A、B、D均可以作为数列的通项公式，只有C不符合．]
2．已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项为(　　)
A．　　　B．－　　　C．　　　D．－
D　[易知，数列的通项公式为an＝(－1)n·，当n＝5时，该项为(－1)5·＝－．]
3．已知数列{an}的通项公式为an＝，按项的变化趋势，该数列是(　　)
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
B　[∵an＋1－an＝－＝＜0，
∴an＋1＜an．故该数列是递减数列．]
4．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是(　　)
A．103　　B．108　　C．103　　D．108
D　[把an＝－2n2＋29n＋3看成二次函数，对称轴为n＝＝7，∴n＝7时a7最大，最大项的值是a7＝－2×72＋29×7＋3＝108．故选D．]
5．已知数列的通项公式为an＝则a2a3等于(　　)
A．20　　B．28　　C．0　　D．12
A　[a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2a3＝2×10＝20．]
二、填空题
6．已知数列，，，，…，则它的第10项是________．
　[根据数列的前几项，可归纳an＝．所以第10项a10＝＝．]
7．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．
9　[由an＝19－2n>0，得n<．
∵n∈N*，∴n≤9．]
8．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________．
2　[∴a2－a＝2，
∴a＝2或a＝－1，又a<0，∴a＝－1．
又a＋m＝2，∴m＝3，∴an＝(－1)n＋3，
∴a3＝(－1)3＋3＝2．]
三、解答题
9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)，，，，…；
(2)1，3，6，10，15，…；
(3)7，77，777，…．
[解]　(1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即，，，，…，于是它们的分母依次相差3，因而有an＝．
(2)注意6＝2×3，10＝2×5，15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即，，，，，…，因而有an＝．
(3)把各项除以7，得1，11，111，…，再乘以9，得9，99，999，…，因而有an＝(10n－1)．
10．已知数列．
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内．
[解]　设f(n)＝
＝＝．
(1)令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝．
(2)令＝，得9n＝300．
此方程无正整数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明：∵an＝＝＝1－，
又n∈N*，
∴0<<1，∴0即数列中的各项都在区间(0，1)内．
能力过关
11．(多选题)有下面四个结论，不正确的是(　　)
A．数列可以看作一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
BCD　[结合数列的定义与函数的概念可知，A正确；有穷数列的项数就是有限的，因此B错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，C错误；数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…存在通项公式，D错误．]
12．(多选题)已知数列{an}满足：an＝(n∈N*)，且数列{an}是递增数列，则实数a的可能取值是(　　)
A．2　　　B．　　　C．　　　D．3
BC　[根据题意，an＝f(n)＝，n∈N*，要使{an}是递增数列，必有据此有：综上可得2＜a＜3，故应选BC．]
13．根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，那么第5个图有________个点，试猜测第n个图中有________个点．
21　n2－n＋1　[观察图形可知，第5个图形有5×4＋1＝21个点，第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．]
14．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA4＝________，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________．
图1　　　　　　　　　图2
2　　[因为OA1＝A1A2＝1＝A2A3＝A3A4＝…，△OAiAi＋1，(i＝1，2，3，…)为直角三角形，∴OA2＝，OA3＝，OA4＝＝2，依此类推可归纳为OAn＝an＝．]
15．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．
(1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？
(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？
[解]　(1)令an＝0，得n2－21n＝0，∴n＝21或n＝0(舍去)，∴0是数列{an}中的第21项．
令an＝1，得＝1，
而该方程无正整数解，∴1不是数列{an}中的项．
(2)假设存在连续且相等的两项是an，an＋1，
则有an＝an＋1，即＝．
解得n＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．