4.2.3等差数列前n项和的性质（练习题）——2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册（Word版含解析）

等差数列前n项和的性质
一、选择题
1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)
A．－2　　　　B．－1　　　　C．0　　　　D．1
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40＝(　　)
A．110　　B．150　　C．210　　D．280
3．在等差数列{an}中，a1＝－2 021，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 021的值等于(　　)
A．－2 021　　B．2 021　　C．－2 019　　D．2 019
4．两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
5．＋＋＋＋…＋等于(　　)
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．已知在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________．
7．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋(n∈N*)，则a2 019的值为________．
8．数列{an}满足a1＝3，且对于任意的n∈N*都有an＋1－an＝n＋2，则a39＝________．
三、解答题
9．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n(n＞1)项和分别是Sn和Tn，且Sn∶Tn＝(2n＋1)∶(3n－2)，求的值．
10．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
能力过关
11．(多选题)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sn＝S13－n(n∈N*且n＜13)，有以下结论，则正确的结论为(　　)
A．S13＝0 B．a7＝0
C．{an}为递增数列 D．a13＝0
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝(　　)
A．12　　B．14　　C．16　　D．18
13．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项的值是________，项数是________．
14．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大．
15．设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a2＝15，S5＝65．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝Sn－10，求数列{|bn|}的前n项和Rn．
一、选择题
1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)
A．－2　　　　B．－1　　　　C．0　　　　D．1
B　[等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1．]
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40＝(　　)
A．110　　B．150　　C．210　　D．280
D　[∵等差数列{an}前n项和为Sn，
∴S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，
故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，
∴S30＝150．
又∵(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，∴S40＝280．故选D．]
3．在等差数列{an}中，a1＝－2 021，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 021的值等于(　　)
A．－2 021　　B．2 021　　C．－2 019　　D．2 019
A　[由题意知，数列为等差数列，其公差为1，所以＝＋(2 021－1)×1＝－2 021＋2 020＝－1．所以S2 021＝－2 021．]
4．两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝(　　)
A．　　B．　　C．　　D．
D　[因为等差数列{an}和{bn}，所以＝＝，又S21＝21a11，T21＝21b11，
故令n＝21有＝＝，即＝，所以＝，故选D．]
5．＋＋＋＋…＋等于(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[通项an＝＝，
∴原式＝
＝
＝．]
二、填空题
6．已知在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝________．
5　[∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5．]
7．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋(n∈N*)，则a2 019的值为________．
1　[因为an＋1＝an＋(n∈N*)，所以an＋1－an＝＝－，
a2－a1＝1－，
a3－a2＝－，
…
a2 019－a2 018＝－，
各式相加，可得a2 019－a1＝1－，a2 019－＝1－，
所以a2 019＝1，故答案为1．]
8．数列{an}满足a1＝3，且对于任意的n∈N*都有an＋1－an＝n＋2，则a39＝________．
820　[因为an＋1－an＝n＋2，所以a2－a1＝3，
a3－a2＝4，a4－a3＝5，
…，an－an－1＝n＋1(n≥2)，上面n－1个式子左右两边分别相加得an－a1＝，即an＝，
所以a39＝＝820．]
三、解答题
9．已知两个等差数列{an}与{bn}的前n(n＞1)项和分别是Sn和Tn，且Sn∶Tn＝(2n＋1)∶(3n－2)，求的值．
[解]　法一：＝＝＝＝＝＝＝．
法二：∵数列{an}，{bn}均为等差数列，
∴设Sn＝A1n2＋B1n，Tn＝A2n2＋B2n．
又＝，∴令Sn＝tn(2n＋1)，
Tn＝tn(3n－2)，t≠0，且t∈R．
∴an＝Sn－Sn－1
＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－2＋1)
＝tn(2n＋1)－t(n－1)(2n－1)
＝t(4n－1)(n≥2)，
bn＝Tn－Tn－1
＝tn(3n－2)－t(n－1)(3n－5)
＝t(6n－5)(n≥2)．
∴＝＝(n≥2)，
∴＝＝＝．
10．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
[解]　(1)由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数．
因为Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0，10＋4d≤0．
解得－≤d≤－．因此d＝－3．
所以数列{an}的通项公式为an＝13－3n．
(2)bn＝＝．
于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝．
能力过关
11．(多选题)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若Sn＝S13－n(n∈N*且n＜13)，有以下结论，则正确的结论为(　　)
A．S13＝0 B．a7＝0
C．{an}为递增数列 D．a13＝0
AB　[对B，由题意，Sn＝S13－n，令n＝7有S7＝S6?S7－S6＝0?a7＝0，故B正确．对A，S13＝＝13a7＝0．故A正确．
对C，当an＝0时满足Sn＝S13－n＝0，故{an}为递增数列不一定正确．故C错误．
对D，由A，B项，可设当an＝7－n时满足Sn＝S13－n，但a13＝－6．故D错误．
故AB正确．]
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝(　　)
A．12　　B．14　　C．16　　D．18
B　[Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，
所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，
由Sn＝＝210，得n＝14．]
13．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项的值是________，项数是________．
11　7　[设等差数列{an}的项数为2n＋1，
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1
＝＝(n＋1)an＋1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，
所以＝＝，解得n＝3，所以项数为2n＋1＝7，
S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项．]
14．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大．
8　[∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，
∴a8>0，a9<0．
∴当n＝8时，数列{an}的前n项和最大．]
15．设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a2＝15，S5＝65．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝Sn－10，求数列{|bn|}的前n项和Rn．
[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，则
解得　∴an＝a1＋(n－1)d＝17－2(n－1)＝－2n＋19．
(2)由(1)得Sn＝＝－n2＋18n，
∴Tn＝－n2＋18n－10．
当n＝1时，b1＝T1＝7；
当n≥2且n∈N*时，bn＝Tn－Tn－1＝－2n＋19．
经验证b1≠17，∴bn＝
当1≤n≤9时，bn＞0；当n≥10时，bn＜0．
∴当1≤n≤9时，Rn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝b1＋b2＋…＋bn＝－n2＋18n－10；
当n≥10时，Rn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝b1＋b2＋…＋b9－(b10＋b11＋…＋bn)＝2(b1＋b2＋…＋b9)－(b1＋b2＋…＋b9＋b10＋b11＋…＋bn)＝－Tn＋2T9＝n2－18n＋152，
综上所述：Rn＝