4.3.2 等比数列的性质（练习题）-2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册（Word版含解析）

等比数列的性质
一、选择题
1．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8
2．已知在等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)
A．21　　B．42　　C．63　　D．84
3．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为(　　)
A．32　　B．64　　C．256　　D．±64
4．在各项不为零的等差数列{an}中，2a2 017－a＋2a2 019＝0，数列{bn}是等比数列，且b2 018＝a2 018，则log2(b2 017·b2 019)的值为(　　)
A．1　　B．2　　C．4　　D．8
5．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于(　　)
A． B．或
C． D．以上都不对
二、填空题
6．在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于________．
7．已知数列满足an>0，且lg an，lg an＋1，lg an＋2成等差数列，若a3a4a6a7＝4，则a5＝________．
8．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．
三、解答题
9．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，求数列{bn}的通项公式．
10．某城市2015年年底人口为100万人，人均住房面积为5平方米．该城市拟自2016年年初开始每年新建住房245万平方米，到2023年年底，人均住房面积为24平方米，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式(1＋x)8≈1＋8x(其中0能力过关
11．(多选题)若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 016积数列”，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的可能值为(　　)
A．1 006　　B．1 007　　C．1 008　　D．1 009
12．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为(lg 2≈0.301 0)(　　)
A．5　　B．10　　C．14　　D．15
13．数列{an}满足an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，数列{an－1}若是等比数列，则λ的值为________，若数列{an－1}的首项为2，那么{an}的通项公式an＝________．
14．已知在等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则公比q的值为________，＝________．
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n．
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)在(1)的条件下求数列{bn}的通项公式．
一、选择题
1．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8
A　[法一：由a3a11＝16，即a1·22·a1·210＝16，且a1＞0，得a1＝．
所以a5＝a1·24＝·24＝1．
法二：由等比数列的性质，知a＝a3a11＝16．
又数列{an}的各项都是正数，所以a7＝4．
又a7＝a5×q2，则a5＝＝1．]
2．已知在等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)
A．21　　B．42　　C．63　　D．84
B　[∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21．
∴1＋q2＋q4＝7．解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．
∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42．故选B．]
3．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为(　　)
A．32　　B．64　　C．256　　D．±64
B　[由题意得，a1a99＝16，
∴a40a60＝a＝a1a99＝16，
又∵a50>0，∴a50＝4，
∴a40a50a60＝16×4＝64．]
4．在各项不为零的等差数列{an}中，2a2 017－a＋2a2 019＝0，数列{bn}是等比数列，且b2 018＝a2 018，则log2(b2 017·b2 019)的值为(　　)
A．1　　B．2　　C．4　　D．8
C　[因为等差数列{an}中a2 017＋a2 019＝2a2 018，所以2a2 017 －a＋ 2a2 019 ＝4a2 018 －a＝0，
因为各项不为零，所以a2 018＝4，因为数列是等比数列，所以b2 017 ·b2 019 ＝a＝ 16．
所以log2(b2 017·b2 019)＝log216＝4，故选C．]
5．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于(　　)
A． B．或
C． D．以上都不对
B　[不妨设是x2－mx＋2＝0的根，则m＝，其另一根为4，
对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x1∴等比数列为，x1，x2，4，
∴q3＝＝8，∴q＝2，
∴x1＝1，x2＝2，
∴n＝x1＋x2＝1＋2＝3，
∴＝＝．同理，若x＝是方程x2－nx＋2＝0的根，解得＝，故选B．]
二、填空题
6．在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于________．
256　[因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，
所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29＝512．
因为a8＝a3·q5，所以q＝2，所以a7＝＝256．]
7．已知数列满足an>0，且lg an，lg an＋1，lg an＋2成等差数列，若a3a4a6a7＝4，则a5＝________．
　[∵lg an，lg an＋1，lg an＋2成等差数列，∴a＝anan＋2，即为等比数列，∴a3a7＝a4a6＝a，从而a3a4a6a7＝a＝4，则a5＝±，又an>0，∴a5＝．]
8．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．
50　[因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5．
所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10ln e5＝50ln e＝50．]
三、解答题
9．已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，求数列{bn}的通项公式．
[解]　an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋＝4．
又a1＝1，故b1＝＝－1，
所以是首项为－，公比为4的等比数列，
所以bn＋＝－×4n－1，bn＝－－＝－．
10．某城市2015年年底人口为100万人，人均住房面积为5平方米．该城市拟自2016年年初开始每年新建住房245万平方米，到2023年年底，人均住房面积为24平方米，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式(1＋x)8≈1＋8x(其中0[解]　设该城市的人口平均增长率为x(0则该城市2015年年底到2023年年底人口数量组成等比数列，记为{an}．
则a1＝100，q＝1＋x，
2023年年底人口数量为a9＝a1q8＝100(1＋x)8．
2023年年底，住房总面积为100×5＋8×245＝2 460(万平方米)．
由题意得＝24，即(1＋x)8＝．
∵(1＋x)8≈1＋8x(0∴该城市的人口年平均增长率约是0.3%．
能力过关
11．(多选题)若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 016积数列”，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的可能值为(　　)
A．1 006　　B．1 007　　C．1 008　　D．1 009
BC　[由题意可知a1a2a3…a2 016＝a2 016，故a1a2a3…a2 015＝1，
由于{an}是各项均为正数的等比数列且a1＞1，
所以a1 008＝1，公比0＜q＜1，
所以a1 007＞1且0＜a1 009＜1，故当数列{an}的前n项的乘积取最大值时，n的值为1 007或1 008．∴选BC．]
12．某纯净水厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为(lg 2≈0.301 0)(　　)
A．5　　B．10　　C．14　　D．15
C　[设原杂质数为1，由题意，得各次过滤后水中杂质数成等比数列{an}，且a1＝1，公比q＝1－20%，
故an＋1＝(1－20%)n．
由题意可知(1－20%)n<5%，
即0.8n<0.05．
两边取对数，得nlg 0.8∵lg 0.8<0，∴n>，
即n>＝＝≈≈13.41，故取n＝14．]
13．数列{an}满足an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，数列{an－1}若是等比数列，则λ的值为________，若数列{an－1}的首项为2，那么{an}的通项公式an＝________．
2　2n＋1　[由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ．由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，解得λ＝2．∵首项为2，∴an－1＝2×2n－1＝2n．
即an＝2n＋1．]
14．已知在等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则公比q的值为________，＝________．
1＋　3＋2　[依题意可得2×＝a1＋2a2，
即a3＝a1＋2a2，整理得q2＝1＋2q，
解得q＝1±，∵各项都是正数，
∴q＞0，q＝1＋．∴＝＝q2＝3＋2．]
15．已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n．
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)在(1)的条件下求数列{bn}的通项公式．
[解]　(1)证明：∵an＋Sn＝n， ①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1． ②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1．
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝，∵首项c1＝a1－1，
又a1＋a1＝1，∴a1＝，∴c1＝－，
又cn＝an－1，∴q＝．
∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．
(2)由(1)可知cn＝·＝－，
∴an＝cn＋1＝1－．
∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－－))＝－＝．
又b1＝a1＝，代入上式也符合，∴bn＝．