4.3.2等比数列的概念及通项公式（练习题）——2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册（Word版含解析）

等比数列的概念及通项公式
一、选择题
1．若正数a，b，c组成等比数列，则log2a，log2b，log2c一定是(　　)
A．等差数列
B．既是等差数列又是等比数列
C．等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
2．已知数列{an}是递增的等比数列，a6－a2＝40，a4＋a2＝10，则a1＝(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
3．已知一等比数列的前三项依次为x，2x＋2，3x＋3，那么－是此数列的(　　)
A．第2项　　B．第4项　　C．第6项　　D．第8项
4．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是(　　)
A．　　B．－　　C．或－　　D．
5．已知各项均为正数的等比数列{an}单调递增，且a1·a3＝36，a1＋a2＋a3＝26，则a4＝(　　)
A．24　　B．36　　C．48　　D．54
二、填空题
6．已知在等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________．
7．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
8．设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
三、解答题
9．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…)．
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求an．
10．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0．
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
能力过关
11．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a满足(　　)
A．a≠1 B．a≠0或a≠1
C．a≠0 D．a≠0且a≠1
12．(多选题)有下列四个命题，正确的是(　　)
A．等比数列中的每一项都不可以为0
B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)
C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1
D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
13．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.
14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及常数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)．这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(b－c)，(c－a) ，(b－a)成等比数列，据此可得，最佳乐观系数x的值等于________．
15．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
一、选择题
1．若正数a，b，c组成等比数列，则log2a，log2b，log2c一定是(　　)
A．等差数列
B．既是等差数列又是等比数列
C．等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列
A　[由题意得b2＝ac(a，b，c>0)，
∴log2b2＝log2ac，即2log2b＝log2a＋log2c，
∴log2a，log2b，log2c成等差数列．]
2．已知数列{an}是递增的等比数列，a6－a2＝40，a4＋a2＝10，则a1＝(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
A　[由条件知，a2(q4－1)＝40①且a2(q2＋1)＝10②，①÷②得q2－1＝4，∴q＝，把q＝代入②得a2＝，∴a1＝＝＝．]
3．已知一等比数列的前三项依次为x，2x＋2，3x＋3，那么－是此数列的(　　)
A．第2项　　B．第4项　　C．第6项　　D．第8项
B　[由(2x＋2)2＝x(3x＋3)解得x＝－1(舍)或x＝－4，
∴首项为－4，公比为．
∴由－4×＝－，解得n＝4．]
4．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是(　　)
A．　　B．－　　C．或－　　D．
A　[由于－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，则a2－a1＝d＝[(－4)－(－1)]＝－1．
∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，
∴b＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2．
若设公比为q，则b2＝(－1)q2，∴b2＜0，∴b2＝－2，
∴＝＝．]
5．已知各项均为正数的等比数列{an}单调递增，且a1·a3＝36，a1＋a2＋a3＝26，则a4＝(　　)
A．24　　B．36　　C．48　　D．54
D　[因为a1·a3＝36，且{an}为各项是正数的等比数列，得a2＝6，所以由于{an}为递增的等比数列，可得∴q2＝＝9．∵an＞0，∴q＝3．
∴a4＝a1q3＝2×33＝54．故选D．]
二、填空题
6．已知在等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________．
3×2n－3　[由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2．
所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3．]
7．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
27，81　[设该数列的公比为q，由题意知，
243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3．
所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81．]
8．设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
64　[设等比数列的公比为q，由得，解得所以a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝8n×)＝2－n2＋n，于是当n＝3或4时，a1a2…an取得最大值26＝64．]
三、解答题
9．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…)．
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求an．
[解]　(1)a2＝3a1－2×2＋3＝－4，a3＝3a2－2×3＋3＝－15．
下面证明{an－n}是等比数列：
＝＝
＝3(n＝1，2，3，…)．
又a1－1＝－2，∴数列{an－n}是以－2为首项，以3为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－n＝－2·3n－1，
∴an＝n－2·3n－1．
10．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0．
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
[解]　(1)由题意可得a2＝，a3＝．
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因为{an}的各项都为正数，所以＝．
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝(n∈N*)．
能力过关
11．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a满足(　　)
A．a≠1 B．a≠0或a≠1
C．a≠0 D．a≠0且a≠1
D　[由于a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则a需满足a≠0，a(1－a)≠0，a(1－a)2≠0，所以a≠0且a≠1.]
12．(多选题)有下列四个命题，正确的是(　　)
A．等比数列中的每一项都不可以为0
B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)
C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1
D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
AC　[对于A，因为等比数列中的各项都不为0，所以A正确；对于B，因为等比数列的公比不为0，所以B不正确；对于C，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确；对于D，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以D不正确．因此，正确的说法有AC，故选AC.]
13．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________.
　－1　[∵a2，a3，a7成等比数列，∴a＝a2a7，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0.①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②
由①②解得a1＝，d＝－1.]
14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及常数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)．这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(b－c)，(c－a) ，(b－a)成等比数列，据此可得，最佳乐观系数x的值等于________．
　[因为(b－c)，(c－a) ，(b－a)成等比数列，即(c－a)2＝(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即x2(b－a)2＝(1－x)(b－a)2.因为b＞a，所以b－a≠0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得x＝或x＝(舍去)．]
15．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．证明：
(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
[证明]　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)．
整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
∴＝2·.
故是以2为公比的等比数列．
(2)由(1)知＝4·(n≥2)．
于是Sn＋1＝4(n＋1)·＝4an(n≥2)，
又∵a2＝3S1＝3，
故S2＝a1＋a2＝4a1.
因此对于任意正整数n≥1，
都有Sn＋1＝4an.