4.3.3等比数列前n项和的性质及应用（练习题）——2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册（Word版含解析）

等比数列前n项和的性质及应用
一、选择题
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于(　　)
A．7　　　　B．8　　　　C．15　　　　D．16
2．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)
A． B． C． D．
3．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于(　　)
A．150 B．－200
C．150或－200 D．400
4．设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，则S20等于(　　)
A．1 025　　B．1 024　　C．10 250　　D．20 240
5．已知公差d≠0的等差数列{an} 满足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m－n＝10，则am－an＝(　　)
A．30 B．20
C．10 D．5或40
二、填空题
6．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________．
7．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________．
8．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和．已知S1，S2，S4成等比数列，且a3＝5，则数列{an}的通项公式为an＝________．
三、解答题
9．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．
10．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．
能力过关
11．(多选题)已知Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，若q≠1，m∈N*，则下列说法正确的是(　　)
A．＝＋1
B．若＝9，则q＝2
C．若＝9，＝，则m＝3，q＝2
D．若＝9，则q＝3
12．在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(a，a)在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于(　　)
A．3n－1 B．
C． D．
13．等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝_____________，又令该数列的前n项的积为Tn，则Tn的最大值为________．
14．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的第n项为an，前n项和为Sn，则an＝________，Sn＝________．
15．设数列{an}的前n项和为Sn．已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*．
(1)求通项公式an；
(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．
一、选择题
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于(　　)
A．7　　　　B．8　　　　C．15　　　　D．16
C　[由题意得4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，
∴q＝2，∴S4＝＝15．]
2．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)
A． B． C． D．
B　[显然公比q≠1，
由题意得
解得或
∴S5＝＝＝．]
3．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于(　　)
A．150 B．－200
C．150或－200 D．400
A　[依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)．
即(S20－10)2＝10(70－S20)，
解得S20＝－20或S20＝30，
又S20＞0，
因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，
故S40－S30＝80，S40＝150．故选A．]
4．设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，则S20等于(　　)
A．1 025　　B．1 024　　C．10 250　　D．20 240
C　[∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn>0，∴{xn}为等比数列，且公比q＝2，
∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250，
故选C．]
5．已知公差d≠0的等差数列{an} 满足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m－n＝10，则am－an＝(　　)
A．30 B．20
C．10 D．5或40
A　[设等差数列的公差为d，
因为a2，a4－2，a6成等比数列，所以(a4－2)2＝a2·a6，
即(a1＋3d－2)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)，
即(3d－1)2＝(1＋d)·(1＋5d)，
解得d＝0或d＝3，因为公差d≠0，所以d＝3，
所以am－an＝a1＋(m－1)d－a1－(n－1)d＝(m－n)d＝10d＝30，故选A．]
二、填空题
6．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________．
－1　[由an＋1＝can知数列{an}为等比数列．
又∵Sn＝3n＋k，由等比数列前n项和的特点Sn＝Aqn－A知k＝－1．]
7．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________．
2　[设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝，
S奇＝．
由题意得＝．
∴1＋q＝3，∴q＝2．]
8．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和．已知S1，S2，S4成等比数列，且a3＝5，则数列{an}的通项公式为an＝________．
2n－1　[设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则
S1＝5－2d，S2＝10－3d，S4＝20－2d，
因为S＝S1·S4，所以(10－3d)2＝(5－2d)(20－2d)，整理得
5d2－10d＝0，∵d≠0，∴d＝2，
an＝a3＋(n－3)d＝5＋2(n－3)＝2n－1．]
三、解答题
9．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．
[解]　设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝＝．
又a1·a1q·a1q2＝64，∴a·q3＝64，得a1＝12．
故所求通项公式为an＝12×．
10．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．
[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d．
由已知得
解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2．
(2)由(1)可得bn＝2n＋n，
所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)
＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)
＝＋
＝(211－2)＋55
＝211＋53＝2 101．
能力过关
11．(多选题)已知Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，若q≠1，m∈N*，则下列说法正确的是(　　)
A．＝＋1
B．若＝9，则q＝2
C．若＝9，＝，则m＝3，q＝2
D．若＝9，则q＝3
ABC　[∵q≠1，∴＝＝1＋qm．
而＝＝qm，∴A正确；B中，m＝3，∴＝q3＋1＝9，解得q＝2．故B正确；C中，由＝1＋qm＝9，得qm＝8．又＝qm＝8＝，得m＝3，q＝2，∴C正确；D中，＝q3＝9，∴q＝≠3，∴D错误，故选ABC．]
12．在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(a，a)在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于(　　)
A．3n－1 B．
C． D．
A　[由点(a，a)在直线x－9y＝0上，得a－9a＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又数列{an}各项均为正数，且a1＝2，∴an＋3an－1＞0，∴an－3an－1＝0，即＝3，
∴数列{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，
其前n项和Sn＝＝＝3n－1．]
13．等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝_____________，又令该数列的前n项的积为Tn，则Tn的最大值为________．
　2　[设数列{an}共有2m＋1项，由题意得
S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝，S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，
S奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q(a2＋a4＋…＋a2m)
＝2＋q＝，
∴q＝．
∴Tn＝a1·a2·…·an＝aq1＋2＋…＋n－1＝2n－) ，
故当n＝1或2时，Tn取最大值，为2．]
14．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的第n项为an，前n项和为Sn，则an＝________，Sn＝________．
2n－1　2n＋1－n－2　[因为an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，
所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2．]
15．设数列{an}的前n项和为Sn．已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*．
(1)求通项公式an；
(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．
[解]　(1)由题意得则
又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，
得an＋1＝3an，故an＝3n－1(n≥2，n∈N*)，又当n＝1时也满足an＝3n－1，
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*．
(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1．
当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3．
设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3．
n≥3时，
Tn＝3＋－
＝．
∴Tn＝