5.2.1基本初等函数的导数（练习题）——2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册（Word版含解析）

基本初等函数的导数
函数的和、差、积、商的导数
一、选择题
1．已知函数f(x)＝，则该函数的导函数f′(x)＝(　　)
A．　　　　 B．
C． D．2x－cosx
2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′＝(　　)
A．－2　　B．e－2　　C．－1　　D．e
4．曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　　)
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
5．已知函数f(x)＝aex＋x＋b，若函数f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋3，则ab的值为(　　)
A．1　　B．2　　C．3　　D．4
二、填空题
6．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝_____．
7．曲线C：y＝xln x在点M(e，e)处的切线方程为________．
8．水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，当半径为25 m时，圆面积的膨胀率是________．
三、解答题
9．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，令an＝lg ，计算a1＋a2＋a3＋…＋a2 019．
10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R．求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
能力过关
11．(多选题)以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是(　　)
A．＝　　　　 B．(cos 2x)′＝－2sin 2x
C．＝3x D．(lg x)′＝
12．(多选题)直线y＝x＋b能作为下列函数图象的切线是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x4
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ex
13．已知f(x)＝xex，则f′(1)＝________；若过点A(a，0)的任意一条直线都不与该曲线C相切，则a的取值范围是________．
14．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________．
15．已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点．
(1)分别求过P点，Q点的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
一、选择题
1．已知函数f(x)＝，则该函数的导函数f′(x)＝(　　)
A．　　　　 B．
C． D．2x－cosx
B　[由题意可得f′(x)＝
＝，故选B．]
2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
B　[∵f(x)＝ax3＋3x2＋2，
∴f′(x)＝3ax2＋6x，
又f′(－1)＝3a－6＝4，
∴a＝．]
3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′＝(　　)
A．－2　　B．e－2　　C．－1　　D．e
B　[由题意得：f′(x)＝2f′(1)＋，令x＝1得：f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f′(1)＝－1∴f′(x)＝－2＋，
∴f′＝e－2．故选B．]
4．曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　　)
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
C　[当x＝π时，y＝2sin π＋cos π＝－1，即点(π，－1)在曲线y＝2sin x＋cos x上．∵y′＝2cos x－sin x，∴y′|x＝π＝2cos π－sin π＝－2，则y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0．故选C．]
5．已知函数f(x)＝aex＋x＋b，若函数f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋3，则ab的值为(　　)
A．1　　B．2　　C．3　　D．4
B　[∵f′(x)＝aex＋1，∴f′(0)＝a＋1＝2，解得
a＝1，f(0)＝a＋b＝1＋b＝3，∴b＝2，∴ab＝2．故选B．]
二、填空题
6．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝_____．
1　[因为f(x)＝x2，g(x)＝ln x，
所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，
f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，
解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1．]
7．曲线C：y＝xln x在点M(e，e)处的切线方程为________．
y＝2x－e　[y′＝ln x＋1，y′|x＝e＝ln e＋1＝2，所以切线方程为y－e＝2(x－e)，化简得2x－y－e＝0．]
8．水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，当半径为25 m时，圆面积的膨胀率是________．
25π　[因为水波的半径扩张速度为0.5 m/s，故水波面积为S＝πr2＝π(vt)2＝πt2，故水波面积的膨胀率为S′＝πt．当水波的半径为25时，由vt＝25，解得t＝50，即可得S′＝π×50＝25π．]
三、解答题
9．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，令an＝lg ，计算a1＋a2＋a3＋…＋a2 019．
[解]　因为y＝xn＋1，所以y′＝(n＋1)xn，所以曲线在(1，1)处的切线斜率为k＝n＋1，
切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．
令y＝0，得x＝，即xn＝，
所以an＝lg＝lg(n＋1)－lg n，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a2 019
＝lg 2－lg 1＋lg 3－lg 2＋lg 4－lg 3＋…＋lg 2 020－lg 2 019＝lg 2 020＝1＋lg 202．
10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R．求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
[解]　因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b．
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3．
令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－．
则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－．
又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，
即6x＋2y－1＝0．
能力过关
11．(多选题)以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是(　　)
A．＝　　　　 B．(cos 2x)′＝－2sin 2x
C．＝3x D．(lg x)′＝
BC　[＝－，(cos 2x)′＝－2sin 2x，＝3x，(lg x)′＝．故选BC．]
12．(多选题)直线y＝x＋b能作为下列函数图象的切线是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x4
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ex
BCD　[f(x)＝，故f′(x)＝－＝，无解，故A排除；f(x)＝x4，故f′(x)＝4x3＝，故x＝，即曲线在点的切线为y＝x－，B正确；f(x)＝sin x，故f′(x)＝cos x＝，取x＝，故曲线在点的切线为y＝x－＋，C正确；f(x)＝ex，故f′(x)＝ex＝，故x＝－ln 2，曲线在点的切线为y＝x＋ln 2＋，D正确．故选BCD．]
13．已知f(x)＝xex，则f′(1)＝________；若过点A(a，0)的任意一条直线都不与该曲线C相切，则a的取值范围是________．
2e　(－4，0)　[f′(x)＝(x＋1)ex，∴f′(1)＝2e．
设点B(x0，x0e)为曲线C上任意一点，
∵y′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，则曲线C在点B处的切线方程为y－x0e＝(x0＋1)e (x－x0)，根据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程0－x0e＝(x0＋1)e (a－x0)，即x－ax0－a＝0无实根．∴Δ＝a2＋4a＜0，解得－4＜a＜0．
∴a的取值范围是(－4，0)．]
14．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________．
eln 3　[设切点为(x0，y0)．
因为y′＝3xln 3，
所以k＝3ln 3，所以y＝3ln 3·x，
又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，
所以3ln 3·x0＝3，
所以x0＝＝log3 e．
所以k＝eln 3．]
15．已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点．
(1)分别求过P点，Q点的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
[解]　(1)因为y′＝2x．
P(－1，1)，Q(2，4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，
过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即
2x＋y＋1＝0．
过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0．
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，
切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点M，
与PQ平行的切线方程为y－＝x－，
即4x－4y－1＝0．