4.2.2等差数列的概念及通项公式（练习题）——2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册（Word版含解析）

等差数列的概念及通项公式
一、选择题
1．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101的值为(　　)
A．49　　B．50　　C．51　　D．52
2．若等差数列{an}的公差d＝2，a8∶a7＝7∶8，则a1＝(　　)
A．－15　　B．－28　　C．15　　D．28
3．等差数列{an}的公差d＜0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是(　　)
A．an＝2n－2(n∈N*)
B．an＝2n＋4(n∈N*)
C．an＝－2n＋12(n∈N*)
D．an＝－2n＋10(n∈N*)
4．若lg 2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值等于(　　)
A．0 B．log25
C．32 D．0或32
5．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为(　　)
A．21 B．22
C．23 D．24
二、填空题
6．在已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝________．
7．已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝________．
8．若2，a，b，c，9成等差数列，则c－a＝________．
三、解答题
9．已知在等差数列{an}中，a3＝9，a8＝24．
(1)求数列{an}的公差；
(2)求数列的第12项；
(3)54是不是该数列中的项？若是，是第几项？若不是，说明理由．
10．已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且n∈N*)确定．
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x2 021．
能力过关
11．(多选题)已知数列{an}是首项为3，公差为d(d∈N*)的等差数列，若2 019是该数列的一项，则公差d可能是(　　)
A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5
12．(多选题)有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则对这个新数列的说法正确的是(　　)
A．构成的新数列是等差数列，公差为10
B．构成的新数列是等差数列，公差为12
C．该数列共有16项
D．该数列共有18项
13．已知各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn，并且an＋1＝2，则首项a1＝________，通项公式an＝________．
14．等差数列{an}中，首项为33．若第12项为0，则数列的通项公式为________；若公差为整数，前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为________．
15．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2， … )，λ是常数．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列 {an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
1．在数列{an}中，a1＝2，2an＋1－2an＝1，则a101的值为(　　)
A．49　　B．50　　C．51　　D．52
D　[∵an＋1－an＝，
∴数列{an}是首项为2，公差为的等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)×＝2＋，
∴a101＝2＋＝52．]
2．若等差数列{an}的公差d＝2，a8∶a7＝7∶8，则a1＝(　　)
A．－15　　B．－28　　C．15　　D．28
B　[设a8＝7k，a7＝8k，a8－a7＝7k－8k＝－k＝2，则k＝－2．
即a7＝－16，故a1＝a7－6d＝－16－12＝－28，故选B．]
3．等差数列{an}的公差d＜0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是(　　)
A．an＝2n－2(n∈N*)
B．an＝2n＋4(n∈N*)
C．an＝－2n＋12(n∈N*)
D．an＝－2n＋10(n∈N*)
D　[由a2·a4＝12，a2＋a4＝8，且d＜0，解得a2＝6，a4＝2，所以d＝＝＝－2，则an＝a2＋(n－2)d＝6－2(n－2)＝－2n＋10．故选D．]
4．若lg 2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值等于(　　)
A．0 B．log25
C．32 D．0或32
B　[依题意得2lg(2x－1)＝lg 2＋lg(2x＋3)，
∴(2x－1)2＝2(2x＋3)，
∴(2x)2－4·2x－5＝0，
∴(2x－5)(2x＋1)＝0，
∴2x＝5或2x＝－1(舍)，∴x＝log25．]
5．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为(　　)
A．21 B．22
C．23 D．24
B　[公差d＝a2－a1＝－4，
∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n，
令即?21二、填空题
6．在已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝________．
3n　[因为n≥2时，an－an－1＝3，
所以{an}是以a1＝3为首项，公差d＝3的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n．]
7．已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝________．
　[设公差为d，∵－＝－＝＝2d，∴d＝．∴＝＋4×d＝＋4×＝．∴a10＝．]
8．若2，a，b，c，9成等差数列，则c－a＝________．
　[利用通项公式．设公差为d，则c－a＝2d，而9－2＝4d，∴d＝，故c－a＝2×＝．]
三、解答题
9．已知在等差数列{an}中，a3＝9，a8＝24．
(1)求数列{an}的公差；
(2)求数列的第12项；
(3)54是不是该数列中的项？若是，是第几项？若不是，说明理由．
[解]　法一：(1)由题意列方程组
解方程组得所以公差为3．
(2)由(1)知，an＝3＋(n－1)×3＝3n(n∈N*)，
所以a12＝36．
(3)54是该数列中的项．
令3n＝54，解得n＝18．
所以54是该数列的第18项．
法二：(1)由题意得公差d＝＝＝3．
(2)通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝9＋3n－9
＝3n(n∈N*)，所以a12＝36．
(3)同方法一．
10．已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且n∈N*)确定．
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x2 021．
[解]　(1)证明：∵xn＝f(xn－1)＝(n≥2且n∈N*)，
∴＝＝＋，
∴－＝(n≥2且n∈N*)，
∴是等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝，
∴＝＝，
∴x2 021＝．
能力过关
11．(多选题)已知数列{an}是首项为3，公差为d(d∈N*)的等差数列，若2 019是该数列的一项，则公差d可能是(　　)
A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5
ABC　[由题可设an＝3＋(n－1)d，2 019是该数列的一项，即2 019＝3＋(n－1)d．∴n＝＋1．
∵d∈N*，所以d是2 016的约数，选项当中2，3，4均为2 016的约数，只有5不是2 016的约数，故选ABC．]
12．(多选题)有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则对这个新数列的说法正确的是(　　)
A．构成的新数列是等差数列，公差为10
B．构成的新数列是等差数列，公差为12
C．该数列共有16项
D．该数列共有18项
BC　[等差数列2，6，10，…，190，公差为4，等差数列2，8，14，…，200，公差为6，
所以由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，
其公差为12，首项为2，所以通项公式为an＝12n－10，
所以12n－10≤190，解得n≤，而n∈N*，所以n的最大值为16，
即新数列的项数为16．故选BC．]
13．已知各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn，并且an＋1＝2，则首项a1＝________，通项公式an＝________．
1　2n－1　[∵an＋1＝2，an＞0，∴2＝4Sn，
当n＝1时，2＝4S1＝4a1，解得a1＝1．
当n≥2时，(an－1＋1)2＝4Sn－1，
则(an＋1)2－(an－1＋1)2＝4Sn－4Sn－1＝4an，
∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
∴an－an－1＝2，或an＋an－1＝0(舍去)，
∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1．]
14．等差数列{an}中，首项为33．若第12项为0，则数列的通项公式为________；若公差为整数，前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为________．
an＝36－3n　an＝38－5n　[若a1＝33，a12＝0，则33＋11d＝0，得d＝－3，这时an＝33＋(n－1)×(－3)＝－3n＋36．若公差为整数，且前7项大于0，第7项以后均为负数，可得即
解得－又∵d∈Z，∴d＝－5，
∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n．]
15．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2， … )，λ是常数．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列 {an}的通项公式；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，
且a1＝1，
所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3．
从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3．
(2)不存在实数λ，使数列{an}成为等差数列．
证明如下：
由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，
得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，
a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．
若存在λ，使{an}为等差数列，
则a3－a2＝a2－a1，
即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，
解得λ＝3．于是a2－a1＝1－λ＝－2，
a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24．
这与{an}为等差数列矛盾．
所以，不存在λ使{an}是等差数列．