5.3.1 单调性（练习题）-2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册（Word版含解析）

单调性
一、选择题
1．已知函数f(x)＝xln x，则f(x)(　　)
A．在(0，＋∞)上递增　 B．在(0，＋∞)上递减
C．在上递增 D．在上递减
2．在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)＞0的解集为(　　)
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1，2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
3．已知函数f(x)＝2x－ln|x|，则f(x)的大致图象为(　　)
A　　　　 B　　　　 C　　　　　D
4．函数f(x)＝x3＋kx2－7x在区间[－1，1]上单调递减，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2，2]
C．[－2，＋∞) D．[2，＋∞)
5．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　)
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
二、填空题
6．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．
7．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是________．
8．若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切．
(1)求实数a，b的值；
(2)判断函数f(x)在上的单调性．
10．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图所示，f(x)＝6ln x＋h(x)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间上是单调函数，求实数m的取值范围．
能力过关
11．(多选题)若函数y＝exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中所具有M性质的函数的选项为(　　)
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－x
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝x2＋2
12．(多选题)下列命题为真命题的是(　　)
A．＞ln 2 B．ln 2＜ln
C．ln 2＜ D．2)＞5
13．已知函数f(x)＝＋aln x＋x，且曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝－2x＋2平行，则a＝________，函数的单调增区间是________．
14．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________．
15．已知函数f(x)＝ax2＋2x－ln x(a∈R)．
(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)存在单调增区间，求实数a的取值范围．
一、选择题
1．已知函数f(x)＝xln x，则f(x)(　　)
A．在(0，＋∞)上递增　 B．在(0，＋∞)上递减
C．在上递增 D．在上递减
D　[函数的定义域为(0，＋∞)，求导函数，可得f′(x)＝1＋ln x，
令f′(x)＝1＋ln x＝0，可得x＝，
∴0＜x＜时，f′(x)＜0；x＞时，f′(x)＞0．
∴f(x)在上递减，在上递增．故选D．]
2．在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式x·f′(x)＞0的解集为(　　)
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1，2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B　[当x＞0时，x·f′(x)＞0?f′(x)＞0?函数单调递增；
根据图形知，x＞1或x＜－1?x＞1；当x＝0时，不成立；
当x＜0时，x·f′(x)＞0?f′(x)＜0?函数单调递减；
根据图形知，－1＜x＜1?－1＜x＜0．综上所述，x∈(－1，0)∪(1，＋∞)，故选B．]
3．已知函数f(x)＝2x－ln|x|，则f(x)的大致图象为(　　)
A　　　　 B　　　　 C　　　　　D
A　[当x＜0时，f(x)＝2x－ln(－x)，f′(x)＝2－·(－1)＝2－＞0，所以f(x)在(－∞，0)单调递增，则B、D错误；
当x＞0时，f(x)＝2x－ln x，f′(x)＝2－＝，则f(x)在单调递减，单调递增，所以A正确，故选A．]
4．函数f(x)＝x3＋kx2－7x在区间[－1，1]上单调递减，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2，2]
C．[－2，＋∞) D．[2，＋∞)
B　[∵f(x)＝x3＋kx2－7x，∴f′(x)＝3x2＋2kx－7，
由题意可知，不等式f′(x)≤0对于任意的x∈[－1，1]恒成立，
所以解得－2≤k≤2．
因此，实数k的取值范围是[－2，2]．故选B．]
5．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　)
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
B　[依题意可设g(x)＝f(x)－2x－4，所以g′(x)＝f′(x)－2＞0．
所以函数y＝g(x)在R上单调递增，又因为g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0．
所以要使g(x)＝f(x)－2x－4＞0，即g(x)＞g(－1)，只需要x＞－1，故选B．]
二、填空题
6．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．
(1，2)　[f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2．]
7．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是________．
[－，]　[f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0?－≤a≤．即a的取值范围是[－，]．]
8．若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
　[因为f(x)定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝4x－，
由f′(x)＝0，得x＝．当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0．据题意，k－1＜＜k＋1，k－1≥0，解得1≤k＜．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切．
(1)求实数a，b的值；
(2)判断函数f(x)在上的单调性．
[解]　(1)f′(x)＝－2bx，
由题意解得
(2)由(1)知f(x)＝ln x－x2，f′(x)＝－x＝－，
∴当x∈时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，当x∈[1，e]时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，
∴函数f(x)的增区间是，减区间是[1，e]．
10．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图所示，f(x)＝6ln x＋h(x)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间上是单调函数，求实数m的取值范围．
[解]　 (1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，
其图象为直线，且过(0，－8)，(4，0)两点，把两点坐标代入h′(x)＝2ax＋b，
∴解得
∴h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8，
∴f(x)＝6ln x＋x2－8x＋2．
(2)∵f′(x)＝＋2x－8
＝(x＞0)．
∴当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗
↘
↗
∴f(x)的单调递增区间为(0，1)和(3，＋∞)，
f(x)的单调递减区间为(1，3)．
要使函数f(x)在区间上是单调函数，
则解得＜m≤．
即实数m的取值范围为．
能力过关
11．(多选题)若函数y＝exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中所具有M性质的函数的选项为(　　)
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－x
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝x2＋2
AD　[A中，exf(x)＝ex·2－x＝在R上单调递增，故f(x)＝2－x具有M性质；
B中，exf(x)＝ex·3－x＝在R上单调递减，故f(x)＝3－x不具有M性质；
C中，exf(x)＝ex·x3，令g(x)＝ex·x3，则g′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝x2ex(x＋3)，∴当x＞－3时，g′(x)＞0，当x＜－3时，g′(x)＜0，∴exf(x)＝ex·x3在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，故f(x)＝x3不具有M性质；
D中，exf(x)＝ex(x2＋2)，令g(x)＝ex(x2＋2)，则
g′(x)＝ex(x2＋2)＋ex·2x＝ex[(x＋1)2＋1]＞0，∴exf(x)＝ex(x2＋2)在R上单调递增，故f(x)＝x2＋2具有M性质．]
12．(多选题)下列命题为真命题的是(　　)
A．＞ln 2 B．ln 2＜ln
C．ln 2＜ D．2)＞5
ABC　[因为32＞23，因为y＝ln x在定义域上单调递增，所以ln 32＞ln 23，所以2ln 3＞3ln 2，所以＞ln 2，故A正确；
构造函数f(x)＝，导数为f′(x)＝，
当0＜x＜e时，f′(x)＞0，f(x)递增；当x＞e时，f′(x)＜0，f(x)递减．
∵e＞＞2，∴f＞f(2)，∴＞，ln＞ln 2，故B正确；
∵f(2)＜f(e)＝，∴＜，即ln 2＜，故C正确；
∵e＞＞2，∴f()＞f(2)，∴＞，∴2ln＞ln 2，
∴ln()2＞ln(2))，∴5＞2，故D错误．
故选ABC．]
13．已知函数f(x)＝＋aln x＋x，且曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝－2x＋2平行，则a＝________，函数的单调增区间是________．
－1　(2，＋∞)　[∵f(x)＝＋aln x＋x，定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋＋1＝，
由题知f′(1)＝a－1＝－2，解得a＝－1，这时f′(x)＝，则f′(x)＝0，得x1＝2或x2＝－1(舍)，
令f′(x)＞0，即x2－x－2＞0且x＞0，得x＞2，
所以函数y＝f(x)的递增区间为(2，＋∞)．]
14．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________．
(0，＋∞)　[若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0．]
15．已知函数f(x)＝ax2＋2x－ln x(a∈R)．
(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)存在单调增区间，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝3时，f(x)＝x2＋2x－ln x，其定义域为(0，＋∞)．
∴f′(x)＝3x＋2－＝．
令f′(x)＜0，得0＜x＜，令f′(x)＞0，得x＞，
∴函数f(x)的减区间为，增区间为．
(2)∵f(x)＝ax2＋2x－ln x(a∈R)的定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＝ax＋2－＝(a∈R)．
若函数f(x)存在单调增区间，则f′(x)＞0在区间(0，＋∞)上有解，即ax2＋2x－1＞0在区间(0，＋∞)上有解．
分离参数得a＞，令g(x)＝，则依题意，只需a＞g(x)min即可．
∵g(x)＝＝－1，
∴g(x)min＝－1，
∴a＞－1，
即所求实数a的取值范围为(－1，＋∞)．