5.3.2极大值与极小值（练习题）——2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册（Word版含解析）

极大值与极小值
一、选择题
1．设函数f(x)的定义域为R，f(x)在x0(x0≠0)处取得极大值，以下结论一定正确的是(　　)
A．－f(－x)在－x0处取得的极小值
B．对任意x∈R，f(x)≤f(x0)
C．f(－x)在－x0处取得的极小值
D．－f(x)在x0处取得的极大值
2．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)　　　 B．(0，＋∞)
C．(0，1) D．(－1，0)
3．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则(　　)
A．f是极大值
B．f(－2)是极大值
C．f(2)的极大值
D．f是极小值
4．当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是(　　)
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
5．已知a为常数，函数f(x)＝xln x－ax2＋x有两个极值，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．(0，e)
C． D．
二、填空题
6．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d无极值，则实数c的取值范围为________．
7．若可导函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f′(1)＝________，f(1)是函数f(x)的________值．
8．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为________．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－1，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝－8x＋1．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求y＝f(x)在区间(－1，4)上的极值．
10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1．
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断f(x)在x＝±1处取得极大值还是极小值，并说明理由．
能力过关
11．(多选题)定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是(　　)
A．f(－3)是极小值
B．f(－2)和f(－1)都是f(x)的极大值
C．f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞)
D．f(x)的单调递减区间是(－∞，－3)
12．(多选题)若函数f(x)＝x3＋2x2＋a2x－1有两个极值，则a的值可以为(　　)
A．0　　B．1　　C．2　　D．3
13．已知函数f(x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R，e是自然对数的底数)在x＝0处取得极小值，则m＝________，这时f(x)的极大值是________．
14．已知函数f(x)＝xe2x－1，则函数f(x)的极小值为________，零点有________个．
15．已知函数f(x)＝(k∈R)．
(1)k为何值时，函数f(x)无极值？
(2)试确定k的值，使f(x)的极小值为0．
一、选择题
1．设函数f(x)的定义域为R，f(x)在x0(x0≠0)处取得极大值，以下结论一定正确的是(　　)
A．－f(－x)在－x0处取得的极小值
B．对任意x∈R，f(x)≤f(x0)
C．f(－x)在－x0处取得的极小值
D．－f(x)在x0处取得的极大值
A　[对于A，函数－f(－x)与函数f(x)的图象关于原点对称，因此－f(－x)在－x0处取得的极小值；对于B，极值是一个局部性概念，因此不能确定在整个定义域上f(x0)是否最大；对于C，函数f(－x)与函数f(x)的图象关于y轴对称，因此f(－x)在－x0处取得的极大值；对于D，函数f(x)与函数－f(x)的图象关于x轴对称，因此－f(x)在x0处取得的极小值，故D错误．]
2．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)　　　 B．(0，＋∞)
C．(0，1) D．(－1，0)
D　[∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若a<－1，
∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；
若－1从而在x＝a处取得极大值，符合题意；
若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D．]
3．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则(　　)
A．f是极大值
B．f(－2)是极大值
C．f(2)的极大值
D．f是极小值
A　[对于A选项，当－2＜x＜时，f′(x)＞0，当＜x＜2时，f′(x)＜0，f是极大值，A选项正确；
对于B选项，当x＜－2时，f′(x)＜0，当－2＜x＜时，f′(x)＞0，f(－2)是极小值，B选项错误；
对于C选项，当＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，
f′(x)＞0，f(2)是极小值，C选项错误；
对于D选项，由于函数y＝f(x)为可导函数，且f′＜0，f不是极小值，D选项错误．故选A．]
4．当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是(　　)
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
B　[∵三次函数过原点，故可设为y＝x3＋bx2＋cx，
∴y′＝3x2＋2bx＋c．
又x＝1，3是y′＝0的两个根，
∴即
∴y＝x3－6x2＋9x，
又y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，
∴当x＝1时，f(x)极大值＝4 ，
当x＝3时，f(x)极小值＝0，满足条件，故选B．]
5．已知a为常数，函数f(x)＝xln x－ax2＋x有两个极值，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．(0，e)
C． D．
A　[f′(x)＝ln x＋2－2ax，函数f(x)有两个极值，
则f′(x)有两个零点，即函数y＝ln x与函数y＝2ax－2的图象有两个交点，当两函数图象相切时，设切点为(x0，y0)，对函数y＝ln x求导(ln x)′＝，
则有解得要使函数图象有两个交点，则0＜2a＜e，即0＜a＜．故选A．]
二、填空题
6．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d无极值，则实数c的取值范围为________．
　[∵f′(x)＝x2－x＋c，要使f(x)无极值，则方程f′(x)＝x2－x＋c＝0没有变号的实数解，从而Δ＝1－4c≤0，∴c≥．]
7．若可导函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f′(1)＝________，f(1)是函数f(x)的________值．
0　极大　[由题意可知，当x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，
∴f′(1)＝0，f(1)是函数f(x)的极大值．]
8．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为________．
4　[求导得f′(x)＝3x2＋6ax＋3b，因为函数f(x)在x＝2取得极值，所以f′(2)＝3·22＋6a·2＋3b＝0，即4a＋b＋4＝0．①
又因为图象在x＝1处的切线与直线6x＋2y＋5＝0平行，
所以f′(1)＝3＋6a＋3b＝－3，即2a＋b＋2＝0，②
联立①②可得a＝－1，b＝0，
所以f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
当f′(x)＞0时，x＜0或x＞2；当f′(x)＜0时，0＜x＜2，
∴函数的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调减区间是(0，2)，
因此求出函数的极大值为f(0)＝0＋c，极小值为f(2)＝－4＋c，
故函数的极大值与极小值的差为0－(－4)＝4，故答案为4．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－1，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝－8x＋1．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求y＝f(x)在区间(－1，4)上的极值．
[解]　(1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx－1，
所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b．
所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程的
斜率k＝f′(x)|x＝1＝f′(1)＝3＋2a＋b．
又因为k＝－8，所以2a＋b＝－11． ①
又因为f(1)＝1＋a＋b－1＝－8×1＋1，
所以a＋b＝－7， ②
联立①②解得a＝－4，b＝－3．
所以f(x)＝x3－4x2－3x－1．
(2)由(1)知，f′(x)＝3x2－8x－3＝3(x－3)，
令f′(x)＝0得，x1＝－，x2＝3．
当－1＜x＜－，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当－＜x＜3，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当3＜x＜4，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以f(x)在区间(－1，4)上的极小值为f(3)＝－19，极大值为f＝－．
10．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1．
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断f(x)在x＝±1处取得极大值还是极小值，并说明理由．
[解]　f′(x)＝3ax2 ＋2bx＋c．
(1)法一：∵f(x)在x＝±1处取得极值，
∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．
由根与系数的关系知
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，　③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－．
法二：由f′(1)＝f′(－1)＝0，得3a＋2b＋c＝0，　①
3a－2b＋c＝0，　②
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，　③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－．
(2)由(1)知f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x＜－1或x＞1时f′(x)＞0，
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0．
∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
在(－1，1)上是减函数．
∴当x＝－1时，函数取得极大值；当x＝1时，函数取得极小值．
能力过关
11．(多选题)定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是(　　)
A．f(－3)是极小值
B．f(－2)和f(－1)都是f(x)的极大值
C．f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞)
D．f(x)的单调递减区间是(－∞，－3)
ACD　[当x＜－3时，f′(x)＜0，x∈(－3，＋∞)时f′(x)≥0，
∴f(－3)是极小值，无极大值，增区间是(－3，＋∞)，减区间是(－∞，－3)．故选ACD．]
12．(多选题)若函数f(x)＝x3＋2x2＋a2x－1有两个极值，则a的值可以为(　　)
A．0　　B．1　　C．2　　D．3
AB　[∵f(x)＝x3＋2x2＋a2x－1，∴f′(x)＝3x2＋4x＋a2．
∵函数f(x)＝x3＋2x2＋a2x－1有两个极值，
则f′(x)＝3x2＋4x＋a2与x轴有两个交点，
即Δ＝42－4×3×a2＞0，解得－＜a＜，
故满足条件的有AB．故选AB．]
13．已知函数f(x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R，e是自然对数的底数)在x＝0处取得极小值，则m＝________，这时f(x)的极大值是________．
0　4e－2　[由题意知f′(x)＝[x2＋(2－m)x－2m]ex．
由f′(0)＝－2m＝0，解得m＝0．
则f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝－2，
故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调递减区间是(－2，0)，
所以函数f(x)在x＝－2处取得极大值，且有f(－2)＝4e－2．]
14．已知函数f(x)＝xe2x－1，则函数f(x)的极小值为________，零点有________个．
－－1　1　[∵f(x)＝xe2x－1，f′(x)＝e2x＋2xe2x＝(1＋2x)e2x，令f′(x)＝0，可得x＝－，
如下表所示：
x
－
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以，函数y＝f(x)的极小值为f ＝－－1，
f(x)＝0?e2x＝，则函数y＝f(x)的零点个数等于函数y＝e2x与函数y＝的图象的交点个数，如图所示．
两个函数的图象有且只有一个交点，即函数y＝f(x)只有一个零点．]
15．已知函数f(x)＝(k∈R)．
(1)k为何值时，函数f(x)无极值？
(2)试确定k的值，使f(x)的极小值为0．
[解]　(1)∵f(x)＝，
∴f′(x)＝．
要使f(x)无极值，只需f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立即可．
设g(x)＝－2x2＋(k＋4)x－2k，
∵ex＞0，∴f′(x)与g(x)同号．
∵g(x)的二次项系数为－2，∴只能满足g(x)≤0恒成立，
∴Δ＝(k＋4)2－16k＝(k－4)2≤0，解得k＝4，
∴当k＝4时，f(x)无极值．
(2)由(1)知k≠4，
令f′(x)＝0，
得x1＝2，x2＝．
①当＜2，
即k＜4时，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x


2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
由题意知f＝0，可得2·－k·＋k＝0，
∴k＝0，满足k＜4．
②当＞2，即k＞4时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
2


f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
由题意知f(2)＝0，可得2×22－2k＋k＝0，
∴k＝8，满足k＞4．
综上，当k＝0或k＝8时，f(x)有极小值0．