5.3.3导数在函数有关问题及实际生活中的应用（练习题）——2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册（Word版含解析）

导数在函数有关问题及实际生活中的应用
一、选择题
1．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为(　　)
A．2和6　　　　　 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
2．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)(　　)
A．32，16 B．30，15
C．40，20 D．36，18
3．函数y＝cos x＋ln(|x|＋1)(x∈[－2π，2π])的图象大致为(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
4．已知函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数g(x)＝x2＋2x＋a的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．取决于a的值
5．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是(　　)
A．100　　B．150　　C．200　　D．300
二、填空题
6．已知函数f(x)＝x4＋9x＋5，则f(x)的图象在(－1，3)内与x轴的交点的个数为________．
7．用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为________时容器的容积最大．
8．若x3＋ax2＋1＝0有一个实数根，则实数a的取值范围为________．
三、解答题
9．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元．问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？
10．用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1．问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
能力过关
11．(多选题)设x3＋ax＋b＝0(a，b∈R)，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是(　　)
A．a＝－3，b＝2　　　　B．a＝－3，b＝－3
C．a＝－3，b＞2 D．a＝1，b＝2
12．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
13．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30 n mile/h，当速度为10 n mile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲乙两地相距800 n mile，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________．
14．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台．
15．已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1．证明：
(1)f(x)存在唯一的极值点；
(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
一、选择题
1．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为(　　)
A．2和6　　　　　 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
B　[设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192．令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4．当0≤x<4时，y′<0；当40．所以当x＝4时，y最小．]
2．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)(　　)
A．32，16 B．30，15
C．40，20 D．36，18
A　[要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－．令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．
此时长为＝32(米)，可使L最短．]
3．函数y＝cos x＋ln(|x|＋1)(x∈[－2π，2π])的图象大致为(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
A　[由题意，函数f(x)＝cos x＋ln(|x|＋1)(x∈[－2π，2π])，
满足f(－x)＝cos(－x)＋ln(|－x|＋1)＝cos x＋ln(|x|＋1)＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，
且f(0)＝cos 0＋ln(|0|＋1)＝1，f(π)＝cos π＋ln(|π|＋1)∈(0，1)，排除C、D，
又由当x∈(0，2π]时，f(x)＝cos x＋ln(x＋1)，则f′(x)＝－sin x＋，
则f′＝－sin ＋＜0，f′(π)＝－sin π＋＞0，即f′·f′(π)＜0，
所以函数在之间有一个极小值点，故选A．]
4．已知函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数g(x)＝x2＋2x＋a的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．取决于a的值
C　[f′(x)＝2x·ex＋(x2＋a)·ex＝ex(x2＋2x＋a)＝ex·g(x)．因为函数f(x)有最小值，且由题意得最小值即其极小值，所以f′(x)＝0有解．当有一解x0时，在x0两侧f′(x)＞0都成立，此时f(x)是单调递增的，没有极值，不符合题意，舍去，因此f′(x)＝0有两解，即x2＋2x＋a＝0有两解，故g(x)有两个零点．]
5．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是(　　)
A．100　　B．150　　C．200　　D．300
D　[由题意，得总成本函数为
C(x)＝20 000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝
所以P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．]
二、填空题
6．已知函数f(x)＝x4＋9x＋5，则f(x)的图象在(－1，3)内与x轴的交点的个数为________．
1　[f′(x)＝4x3＋9，
当x∈(－1，3)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，3)上单调递增，
因为f(－1)＝－3＜0，f(0)＝5＞0，所以f(x)的图象在(－1，3)内与x轴只有一个交点．]
7．用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为________时容器的容积最大．
1.2 m　[设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，高为[14.8－4x－4(x＋0.5)]＝(3.2－2x)m．由3.2－2x＞0及x＞0，得0＜x＜1.6．设容器容积为y，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)，y′＝－6x2＋4.4x＋1.6．由y′＝0及0＜x＜1.6，解得x＝1．在定义域(0，1.6)内，只有x＝1使y′＝0．由题意，若x过小(接近于0)或过大(接近于1.6)，y的值都很小(接近于0)．因此当x＝1时，y取最大值，且ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，这时高为1.2 m．]
8．若x3＋ax2＋1＝0有一个实数根，则实数a的取值范围为________．
(，＋∞)　[令f(x)＝x3＋ax2＋1，则f′(x)＝x2＋ax．由f(x)＝0有一个实数根，得Δ≤0(Δ是方程f′(x)＝0的根的判别式)或f(x1)·f(x2)＞0(x1，x2是f(x)的极值点)．
①由Δ≤0，得a＝0；
②令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－a，则f(x1)·f(x2)＝－a3＋a3＋1＞0，即a3＞－1，所以a＞．
综上，实数a的取值范围是(，＋∞)．]
三、解答题
9．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元．问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？
[解]　设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知p＝kv3，
因为v＝10，p＝6，所以k＝＝0.006．
于是有p＝0.006v3．
又设船的速度为每小时v千米时，行驶1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而行驶1千米所用时间为小时，所以行驶1千米的总费用为q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋．
q′＝0.012v－＝(v3－8 000)，
令q′＝0，解得v＝20．
当v＜20时，q′＜0；
当v＞20时，q′＞0，
所以当v＝20时，q取得最小值．
即当速度为20千米/时时，航行1千米所需的费用总和最少．
10．用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1．问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
[解]　设长方体的宽为x m，则长为2x m，
高为h＝＝(4.5－3x)m．
故长方体的体积为
V(x)＝2x2(4.5－3x)＝(9x2－6x3)m3．
从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．
令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1，因此x＝1．
当0＜x＜1时，V′(x)＞0；
当1＜x＜时，V′(x)＜0，
故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值．
从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m．
故当长方体的长为2 m，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3．
能力过关
11．(多选题)设x3＋ax＋b＝0(a，b∈R)，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是(　　)
A．a＝－3，b＝2　　　　B．a＝－3，b＝－3
C．a＝－3，b＞2 D．a＝1，b＝2
BCD　[记f(x)＝x3＋ax＋b，
a＝－3，b＝2时，f(x)＝x3－3x＋2＝(x－1)2(x＋2)＝0，x＝1或x＝－2，不满足题意；
a＝－3，b＝－3时，f(x)＝x3－3x－3，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)递增，在(－1，1)上递减，而f(x)极大值＝f(－1)＝－1＜0，f(x)只有一个零点，即f(x)＝0只有一个实根；同理a＝－3，b＞2时，f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)递增，在(－1，1)上递减，而f(x)极小值＝f(1)＝b－2＞0，f(x)只有一个零点，即f(x)＝0只有一个实根；a＝1，b＝2时，f(x)＝x3＋x＋2＝(x＋1)(x2－x＋2)＝0，只有一个实根－1，故选BCD．]
12．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
B　[由a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝0，得x＝0或x＝．①若a＞0，则f(x)在(－∞，0)上是增函数，在上是减函数，在上是增函数．又因为f(0)＝1＞0，所以f(x)在(－∞，0)上存在一个零点，与已知矛盾，a＞0舍去；②若a＜0，则f(x)在上是减函数，在上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数．又因为f(0)＝1＞0，所以f(x)在(0，＋∞)存在一个零点x0，且x0＞0．f(x)存在唯一的零点x0，只需f＝1－＞0，即a＞2或a＜－2．又a＜0，所以a＜－2，所以a的取值范围是(－∞，－2)．故选B．]
13．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30 n mile/h，当速度为10 n mile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲乙两地相距800 n mile，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________．
20 n mile/h　[由题意设燃料费y1与航速v间满足y1＝av3(0≤v≤30)，又∵25＝a·103，∴a＝．
设从甲地到乙地海轮的航速为v n mile/h，总费用为y元，
则y＝av3×＋×400＝20v2＋．
由y′＝40v－＝0，得v＝20<30．
当00，
∴当v＝20时，y最小．]
14．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台．
6　[设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．
令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．]
15．已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1．证明：
(1)f(x)存在唯一的极值点；
(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
[证明]　(1)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－．
因为y＝ln x在(0，＋∞)内单调递增，y＝在(0，＋∞)内单调递减，所以f′(x)单调递增．
又f′(1)＝－1＜0，f′(2)＝ln 2－＝＞0，
故存在唯一的x0∈(1，2)，使得f′(x0)＝0．
又当x当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
因此，f(x)存在唯一的极值点．
(2)由(1)知f(x0)0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一实根x＝α．
由α>x0>1得＜1＜x0．
又f＝ln －－1＝＝0，
故是f(x)＝0在(0，x0)上的唯一实根．
综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．