5.3.3最大值与最小值（练习题）——2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册（Word版含解析）

最大值与最小值
一、选择题
1．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为(　　)
A．f(a)－g(a)　　　　 B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
2．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为(　　)
A．16　　　　B．12　　　　C．32　　　　D．6
3．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值为3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为(　　)
A．0　　B．－5　　C．－10　　D．－37
4．函数f(x)＝x3－3x在区间(－2，m)上有最大值，则m的取值范围是(　　)
A．(－1，＋∞) B．(－1，1]
C．(－1，2) D．(－1，2]
5．若函数f(x)＝2x3－6x2＋3－a对任意的x∈(－2，2)都有f(x)≤0，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，3) B．(2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(0，3)
二、填空题
6．函数f(x)＝x－ln x在区间(0，e]上的最小值为________．
7．若函数f(x)＝(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
8．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3－3ax＋2，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为3x＋y＋m＝0．
(1)求实数a，m的值；
(2)求f(x)在区间[1，2]上的最值．
10．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a．
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)≥2 021对于?x∈[－2，2]恒成立，求a的取值范围．
能力过关
11．(多选题)若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的可能取值是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
12．(多选题)设函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　)
A．x∈(0，1)时，f(x)图象位于x轴下方
B．f(x)存在单调递增区间
C．f(x)有且仅有两个极值点
D．f(x)在区间(1，2)上有最大值
13．已知函数f(x)＝2x2－ln x，若f′(x0)＝3，则x0＝________，若在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________．
14．已知函数f(x)＝x3－x2＋6x＋a，若?x0∈[－1，4]，使f(x0)＝2a成立，则实数a的取值范围是________．
15．已知函数f(x)＝aex－ln x－1．
(1)设f(2)的是函数f(x)的极值，求a，并求f(x)的单调区间；
(2)证明：当a≥时，f(x)≥0．
一、选择题
1．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为(　　)
A．f(a)－g(a)　　　　 B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
A　[令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)，
又f′(x)＜g′(x)，故F′(x)＜0，
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max≤F(a)＝f(a)－g(a)．]
2．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为(　　)
A．16　　　　B．12　　　　C．32　　　　D．6
C　[∵f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，由f(－3)＝17，f(3)＝－1，f(－2)＝24，f(2)＝－8，
可知M－m＝24－(－8)＝32．]
3．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值为3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为(　　)
A．0　　B．－5　　C．－10　　D．－37
D　[因为f(x)＝2x3－6x2＋m，所以f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，可以得到函数在[－2，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，所以当x＝0时，f(x)＝m为最大值，所以m＝3，即f(x)＝2x3－6x2＋3，所以f(－2)＝2×(－8)－6×4＋3＝－37，f(2)＝－5，所以最小值是－37，故选D．]
4．函数f(x)＝x3－3x在区间(－2，m)上有最大值，则m的取值范围是(　　)
A．(－1，＋∞) B．(－1，1]
C．(－1，2) D．(－1，2]
D　[由于f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，故函数在(－∞，－1)和(1，＋∞)上递增，在(－1，1)上递减，f(－1)＝f(2)＝2，画出函数图象如图所示，由于函数在区间(－2，m)上有最大值，根据图象可知m∈(xB，xA]，即m∈(－1，2]，故选D．
]
5．若函数f(x)＝2x3－6x2＋3－a对任意的x∈(－2，2)都有f(x)≤0，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，3) B．(2，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(0，3)
C　[f(x)＝2x3－6x2＋3－a，f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2．在(－2，0)上f′(x)＞0，f(x)单调递增；在(0，2)上f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝3－a．因为对任意的x∈(－2，2)都有f(x)≤0，所以f(x)max＝3－a≤0，得a≥3．故选C．]
二、填空题
6．函数f(x)＝x－ln x在区间(0，e]上的最小值为________．
1　[f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝1．
当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，e]时，f′(x)＞0，∴当x＝1时，f(x)有极小值，也是最小值，最小值为f(1)＝1．]
7．若函数f(x)＝(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
－1　[f′(x)＝＝．
令f′(x)＝0，得x＝(x＝－舍去)，
若x＝时，f(x)取最大值，则f(x)max＝＝，＝＜1，不符合题意；
若f(x)max＝f(1)＝＝，则a＝－1，符合题意．]
8．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
(－∞，2ln 2－2]　[函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln 2－2即可．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3－3ax＋2，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为3x＋y＋m＝0．
(1)求实数a，m的值；
(2)求f(x)在区间[1，2]上的最值．
[解]　(1)f′(x)＝3x2－3a，
∵曲线f(x)＝x3－3ax＋2在x＝1处的切线方程为3x＋y＋m＝0，
∴解得a＝2，m＝0．
(2)由(1)知，f(x)＝x3－6x＋2，则f′(x)＝3x2－6，
令f′(x)＝0，解得x＝±，
∴f(x)在[1，)上单调递减，在(，2]上单调递增，
又f(1)＝1－6＋2＝－3，f(2)＝23－6×2＋2＝－2，
f()＝()3－6×＋2＝2－4，
∴f(x)在区间[1，2]上的最大值为－2，最小值为2－4．
10．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a．
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)≥2 021对于?x∈[－2，2]恒成立，求a的取值范围．
[解]　(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9．
由f′(x)<0，得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)由f′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1．
因为f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，f(－1)＝－5＋a，
故当－2≤x≤2时，f(x)min＝－5＋a．
要使f(x)≥2 021对于?x∈[－2，2]恒成立，只需f(x)min＝－5＋a≥2 021，解得a≥2 026．
能力过关
11．(多选题)若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的可能取值是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
ABC　[由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1．
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ －2 ↗ 2 ↘
由此得a2－12＜－1＜a，
解得－1＜a＜．
又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x＝2时，f(x)＝－2．∴a≤2．
综上，－1＜a≤2．故选ABC．]
12．(多选题)设函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　)
A．x∈(0，1)时，f(x)图象位于x轴下方
B．f(x)存在单调递增区间
C．f(x)有且仅有两个极值点
D．f(x)在区间(1，2)上有最大值
AB　[由f(x)＝，当x∈(0，1)时，ln x＜0，∴f(x)＜0，所以f(x)在(0，1)上的图象都在x轴的下方，所以A正确；
因为f′(x)＝＝·＞0在定义域上有解，所以函数f(x)存在单调递增区间，所以B是正确的；
由g(x)＝ln x－，则g′(x)＝＋(x＞0)，所以g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，则函数f′(x)＝0只有一个根x0，使得f′(x0)＝0，当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0，函数单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以C不正确；
由g(x)＝ln x－(x＞0)，函数g(x)单调递增，且g(1)＝－1＜0，g(2)＝ln 2－＞0，所以函数在(1，2)先减后增，没有最大值，所以D不正确，故选AB．]
13．已知函数f(x)＝2x2－ln x，若f′(x0)＝3，则x0＝________，若在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________．
1　　[∵函数f(x)＝2x2－ln x，x∈(0，＋∞)，
∴f′(x)＝4x－＝，由f′(x0)＝3，x0＞0，解得x0＝1．令f′(x)＝0得x＝，
当0＜x＜时，f′(x)＜0，当x＞时，f′(x)＞0，
所以当x＝时，f(x)取得极小值，
由题意可知：解得1≤k＜，
∴实数k的取值范围是．]
14．已知函数f(x)＝x3－x2＋6x＋a，若?x0∈[－1，4]，使f(x0)＝2a成立，则实数a的取值范围是________．
　[∵f(x0)＝2a，即x－x＋6x0＋a＝2a，
可化为x－x＋6x0＝a，
设g(x)＝x3－x2＋6x，则g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)＝0，得x＝1或x＝2．
∴g(1)＝，g(2)＝2，g(－1)＝－，g(4)＝16．
由题意，g(x)min≤a≤g(x)max，
∴－≤a≤16．]
15．已知函数f(x)＝aex－ln x－1．
(1)设f(2)的是函数f(x)的极值，求a，并求f(x)的单调区间；
(2)证明：当a≥时，f(x)≥0．
[解]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－．
由题设知，f′(2)＝0，所以a＝．
从而f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－．
当0当x>2时，f′(x)>0．
所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
(2)证明：当a≥时，f(x)≥－ln x－1．
设g(x)＝－ln x－1，
则g′(x)＝－．
当01时，g′(x)>0，所以x＝1是g(x)的最小值点．
故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0．
因此，当a≥时，f(x)≥0．