3.3.1 抛物线的标准方程（练习题）-2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 3.3.1 抛物线的标准方程（练习题）-2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册（Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 218.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-06-18 20:57:50 | ||
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文档简介
抛物线的标准方程
一、选择题
1．在平面内，“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
3．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1 C．－ D．－
4．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为( )
A．2 B．4 C．6 D．4
5．如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30°方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B的修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)( )
A．(2＋)a B．2(＋1)a
C．5a D．6a
二、填空题
6．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．
7．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．
8．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________．
三、解答题
9．探照灯反射镜(如图)的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60 cm，灯深40 cm，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
10．如图所示，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
能力过关
11．(多选题)对标准形式的抛物线，下列条件满足抛物线方程为y2＝10x的有( )
A．焦点在x轴上
B．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
C．焦点到准线的距离为5
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)
12．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB的中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为( )
A．6 B．9 C．12 D．无法确定
13．已知抛物线C的焦点F与椭圆＋＝1的右焦点重合，则抛物线C的标准方程为________．若P1，P2，P3是该抛物线上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，且x＝x1·x3，又log2x1＋log2x2＋log2x3＝3，则|P2F|＝________．
14．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
15．如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝18m，拱顶距离水面8m，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF．
若|CD|＝9m，那么|DE|不超过多少m才能使货船通过拱桥？
一、选择题
1．在平面内，“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [当定点在定直线上时，其动点轨迹不是抛物线，反过来抛物线上的点满足到焦点的距离等于到准线的距离，故应选B．]
2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
D [y2＝2px的焦点为，
而椭圆的右焦点为(2，0)，
由＝2得p＝4．故选D．]
3．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1 C．－ D．－
C [抛物线的准线方程为x＝－2，则焦点为F(2，0)．从而kAF＝＝－．]
4．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为( )
A．2 B．4 C．6 D．4
D [如图，由抛物线的定义知PM⊥l．
在Rt△MQF中，|QF|＝2，
∠QMF＝30°，∴|MF|＝4，
∵△FPM是等边三角形，
∴S△PMF＝×42＝4．故选D．]
5．如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30°方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B的修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)( )
A．(2＋)a B．2(＋1)a
C．5a D．6a
C [依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知，欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向2 km处，
∴B到点A的水平距离为3(km)，
∴B到直线l距离为3＋2＝5(km)，
那么修建这两条公路的总费用最低为5a(万元)，故选C．]
二、填空题
6．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．
4 [抛物线标准方程为x2＝－4y，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y＝1，则|MF|的长度等于点M到准线y＝1的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点E(1，－3)到直线y＝1的距离．即最小值为4．]
7．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．
(－6，6)或(－6，－6) [设所求点为P(x，y)，抛物线y2＝－12x的准线方程为x＝3，由题意知3－x＝9，即x＝－6．
代入y2＝－12x，得y2＝72，即y＝±6．
因此P(－6，6)或P(－6，－6)．]
8．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________．
6 [因为＋＋＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6．]
三、解答题
9．探照灯反射镜(如图)的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60 cm，灯深40 cm，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
[解] 如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使探照灯的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，且在抛物线上，代入方程，得302＝2p·40，解得p＝．
故所求抛物线的标准方程为y2＝x，焦点坐标是．
10．如图所示，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
[解] (1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，
于是4＋＝5，p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x．
(2)由题意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2)．
又F(1，0)，所以kAF＝，则FA的方程为y＝(x－1)．
因为MN⊥FA，所以kMN＝－，
则MN的方程为y＝－x＋2．
解方程组得
所以N．
能力过关
11．(多选题)对标准形式的抛物线，下列条件满足抛物线方程为y2＝10x的有( )
A．焦点在x轴上
B．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
C．焦点到准线的距离为5
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)
ACD [抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，A满足；设M(1，y0)是抛物线y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以B不满足；因为y2＝10x中p＝5，所以焦准距为5，所以C满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，设过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)，则k＝－2，此时直线存在，所以D满足．所以满足抛物线y2＝10x的有ACD．]
12．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB的中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为( )
A．6 B．9 C．12 D．无法确定
C [过点A，M，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，M′，D，如图所示，由抛物线的定义，得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，∵M为AB的中点，且|MM′|＝6，
∴|AC|＋|BD|＝12，即|AB|＝|AF|＋|BF|＝12．]
13．已知抛物线C的焦点F与椭圆＋＝1的右焦点重合，则抛物线C的标准方程为________．若P1，P2，P3是该抛物线上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，且x＝x1·x3，又log2x1＋log2x2＋log2x3＝3，则|P2F|＝________．
y2＝4x 3 [椭圆＋＝1的右焦点为(1，0)，＝1，∴p＝2．所以抛物线C的标准方程为y2＝4x．由抛物线的方程为y2＝4x，可得焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，∵x＝x1·x3，且log2x1＋log2x2＋log2x3＝3，∴log2x＝3，解得x2＝2，∴|P2F|＝x2－(－1)＝3．]
14．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
x2＝－12y [设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，
则由题意可得M到圆心C(0，－3)的距离与直线y＝3的距离相等．
由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y．]
15．如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝18m，拱顶距离水面8m，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF．
若|CD|＝9m，那么|DE|不超过多少m才能使货船通过拱桥？
[解] 如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则B(9，－8)．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
∵B点在抛物线上，
∴81＝－2p·(－8)，
∴p＝，
∴抛物线的方程为x2＝－y．
当x＝时，y＝－2，
即|DE|＝8－2＝6．
∴|DE|不超过6m才能使货船通过拱桥．
一、选择题
1．在平面内，“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
3．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1 C．－ D．－
4．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为( )
A．2 B．4 C．6 D．4
5．如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30°方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B的修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)( )
A．(2＋)a B．2(＋1)a
C．5a D．6a
二、填空题
6．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．
7．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．
8．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________．
三、解答题
9．探照灯反射镜(如图)的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60 cm，灯深40 cm，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
10．如图所示，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
能力过关
11．(多选题)对标准形式的抛物线，下列条件满足抛物线方程为y2＝10x的有( )
A．焦点在x轴上
B．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
C．焦点到准线的距离为5
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)
12．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB的中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为( )
A．6 B．9 C．12 D．无法确定
13．已知抛物线C的焦点F与椭圆＋＝1的右焦点重合，则抛物线C的标准方程为________．若P1，P2，P3是该抛物线上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，且x＝x1·x3，又log2x1＋log2x2＋log2x3＝3，则|P2F|＝________．
14．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
15．如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝18m，拱顶距离水面8m，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF．
若|CD|＝9m，那么|DE|不超过多少m才能使货船通过拱桥？
一、选择题
1．在平面内，“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [当定点在定直线上时，其动点轨迹不是抛物线，反过来抛物线上的点满足到焦点的距离等于到准线的距离，故应选B．]
2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
D [y2＝2px的焦点为，
而椭圆的右焦点为(2，0)，
由＝2得p＝4．故选D．]
3．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1 C．－ D．－
C [抛物线的准线方程为x＝－2，则焦点为F(2，0)．从而kAF＝＝－．]
4．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为( )
A．2 B．4 C．6 D．4
D [如图，由抛物线的定义知PM⊥l．
在Rt△MQF中，|QF|＝2，
∠QMF＝30°，∴|MF|＝4，
∵△FPM是等边三角形，
∴S△PMF＝×42＝4．故选D．]
5．如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30°方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B的修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)( )
A．(2＋)a B．2(＋1)a
C．5a D．6a
C [依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知，欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向2 km处，
∴B到点A的水平距离为3(km)，
∴B到直线l距离为3＋2＝5(km)，
那么修建这两条公路的总费用最低为5a(万元)，故选C．]
二、填空题
6．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．
4 [抛物线标准方程为x2＝－4y，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y＝1，则|MF|的长度等于点M到准线y＝1的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点E(1，－3)到直线y＝1的距离．即最小值为4．]
7．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．
(－6，6)或(－6，－6) [设所求点为P(x，y)，抛物线y2＝－12x的准线方程为x＝3，由题意知3－x＝9，即x＝－6．
代入y2＝－12x，得y2＝72，即y＝±6．
因此P(－6，6)或P(－6，－6)．]
8．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________．
6 [因为＋＋＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6．]
三、解答题
9．探照灯反射镜(如图)的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60 cm，灯深40 cm，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
[解] 如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使探照灯的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，且在抛物线上，代入方程，得302＝2p·40，解得p＝．
故所求抛物线的标准方程为y2＝x，焦点坐标是．
10．如图所示，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
[解] (1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，
于是4＋＝5，p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x．
(2)由题意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2)．
又F(1，0)，所以kAF＝，则FA的方程为y＝(x－1)．
因为MN⊥FA，所以kMN＝－，
则MN的方程为y＝－x＋2．
解方程组得
所以N．
能力过关
11．(多选题)对标准形式的抛物线，下列条件满足抛物线方程为y2＝10x的有( )
A．焦点在x轴上
B．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
C．焦点到准线的距离为5
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)
ACD [抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，A满足；设M(1，y0)是抛物线y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以B不满足；因为y2＝10x中p＝5，所以焦准距为5，所以C满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，设过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)，则k＝－2，此时直线存在，所以D满足．所以满足抛物线y2＝10x的有ACD．]
12．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB的中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为( )
A．6 B．9 C．12 D．无法确定
C [过点A，M，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，M′，D，如图所示，由抛物线的定义，得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|，∵M为AB的中点，且|MM′|＝6，
∴|AC|＋|BD|＝12，即|AB|＝|AF|＋|BF|＝12．]
13．已知抛物线C的焦点F与椭圆＋＝1的右焦点重合，则抛物线C的标准方程为________．若P1，P2，P3是该抛物线上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，x3，且x＝x1·x3，又log2x1＋log2x2＋log2x3＝3，则|P2F|＝________．
y2＝4x 3 [椭圆＋＝1的右焦点为(1，0)，＝1，∴p＝2．所以抛物线C的标准方程为y2＝4x．由抛物线的方程为y2＝4x，可得焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，∵x＝x1·x3，且log2x1＋log2x2＋log2x3＝3，∴log2x＝3，解得x2＝2，∴|P2F|＝x2－(－1)＝3．]
14．已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
x2＝－12y [设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，
则由题意可得M到圆心C(0，－3)的距离与直线y＝3的距离相等．
由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y．]
15．如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝18m，拱顶距离水面8m，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF．
若|CD|＝9m，那么|DE|不超过多少m才能使货船通过拱桥？
[解] 如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则B(9，－8)．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
∵B点在抛物线上，
∴81＝－2p·(－8)，
∴p＝，
∴抛物线的方程为x2＝－y．
当x＝时，y＝－2，
即|DE|＝8－2＝6．
∴|DE|不超过6m才能使货船通过拱桥．