2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系（习题）-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

一元二次方程的解集及其根与系数的关系
　1.(2021·运城高一检测)关于x的一元二次方程ax2－4x－1＝0有实数根，则a满足(　　)
A．a≥－4且a≠0 B．a＞4且a≠0
C．a≥4 D．a≠0
2．用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是(　　)
A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3
C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝5
3．已知m，n是方程2x2－x－2＝0的两个实数根，则＋的值为(　　)
A．－1 B． C．－ D．1
4．方程4x2－12x＝3的解为________．
5．已知关于x的方程x2－mx＋m－1＝0的两根为x1，x2，且x＋x＝5，则m＝________．
6．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋2(k＋1)＝0(k≠－).
(1)判断该一元二次方程根的情况．
(2)已知该一元二次方程的一根为－2，求k的值．
能力过关
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1．(2021·武汉高一检测)下列一元二次方程的解集为空集的是(　　)
A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋2x＋2＝0
C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0
2．(多选题)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和为45，则a的值可能为(　　)
A．－9 B．－5 C．5 D．9
3．若m，n满足m2＋5m－3＝0，n2＋5n－3＝0，且m≠n.则＋的值为(　　)
A． B．－ C．－ D．
4．(2021·阳春高一检测)若α，β是一元二次方程x2＋3x－6＝0的两个不相等的根，则α2－3β的值是(　　)
A．3　　　B．15　　　C．－3　　　D．－15
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若x1，x2是一元二次方程x2＋3x－5＝0的两个实数根，则xx2＋x1x的值是________．
6．等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－8x＋n－2＝0的两根，则n的值为________．
三、解答题
7．(10分)已知关于x的方程mx2－(m－1)x－1＝0.
(1)求证：对于任意实数m，方程总有实数根；
(2)若x1，x2是原方程的两根，且＋＝2x1x2＋1，求m的值．
8. 已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)如果方程的两实根为x1，x2，且x＋x－x1x2＝7，求m的值．
　1.(2021·运城高一检测)关于x的一元二次方程ax2－4x－1＝0有实数根，则a满足(　　)
A．a≥－4且a≠0 B．a＞4且a≠0
C．a≥4 D．a≠0
分析选A.因为关于x的一元二次方程ax2－4x－1＝0有实数根，
则，
解得a≥－4且a≠0.
2．用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是(　　)
A．(x＋2)2＝3 B．(x－2)2＝3
C．(x－2)2＝5 D．(x＋2)2＝5
分析选A.因为x2＋4x＋1＝(x＋2)2－3＝0，
所以(x＋2)2＝3.
3．已知m，n是方程2x2－x－2＝0的两个实数根，则＋的值为(　　)
A．－1 B． C．－ D．1
分析选C.由m，n是方程2x2－x－2＝0的两个实数根，则m＋n＝，mn＝－1，
所以＋＝＝＝－.
4．方程4x2－12x＝3的解为________．
分析因为4x2－12x＝3，
所以4x2－12x－3＝0，
因为a＝4，b＝－12，c＝－3，
所以Δ＝b2－4ac＝(－12)2－4×4×(－3)＝
192>0，
所以x＝＝
＝.
答案：x＝
5．已知关于x的方程x2－mx＋m－1＝0的两根为x1，x2，且x＋x＝5，则m＝________．
分析根据根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m－1，x＋x＝2－2x1x2＝m2－2m＋2＝5，
解得m＝－1或m＝3，经检验m＝－1或m＝3都符合题意．
答案：－1或3
6．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋2(k＋1)＝0(k≠－).
(1)判断该一元二次方程根的情况．
(2)已知该一元二次方程的一根为－2，求k的值．
分析(1)因为Δ＝[－(2k＋3)]2－4×2(k＋1)
＝4k2＋12k＋9－8k－8
＝4k2＋4k＋1＝(2k＋1)2.
因为k≠－，所以Δ>0，
所以该方程有两个不相等的实数根．
(2)把x＝－2代入原方程，得(－2)2－(2k＋3)×(－2)＋2(k＋1)＝0，解得k＝－2.
能力过关
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1．(2021·武汉高一检测)下列一元二次方程的解集为空集的是(　　)
A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋2x＋2＝0
C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0
分析选B.对于选项A：因为Δ＝22－4×1×1＝0，所以方程有两个相等的实数根，选项A不合题意；
对于选项B：Δ＝22－4×1×2<0 ，所以方程没有实数根，选项B符合题意；
对于选项C：因为方程有两个不相等的实数根x＝±1，选项C不符合题意；
对于选项D：因为Δ＝2－4×1×>0，方程有两个不相等的实数根，选项D不合题意．
2．(多选题)关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和为45，则a的值可能为(　　)
A．－9 B．－5 C．5 D．9
分析选BD.设方程的两根为x1，x2，
由题意，得x＋x＝45.
所以(x1＋x2)2－2x1x2＝45.
因为x1＋x2＝a，x1x2＝2a，
所以a2－2×2a＝45.
解得a1＝－5，a2＝9.
又因为Δ＝a2－8a，
当a＝－5时，Δ>0，此时方程有两实数根．
当a＝9时，Δ>0，此时方程有两实数根．
3．若m，n满足m2＋5m－3＝0，n2＋5n－3＝0，且m≠n.则＋的值为(　　)
A． B．－ C．－ D．
分析选D.因为m，n满足m2＋5m－3＝0，
n2＋5n－3＝0，且m≠n，
所以m，n可看作方程x2＋5x－3＝0的两个根，
所以m＋n＝－5，mn＝－3，
所以＋＝＝＝.
4．(2021·阳春高一检测)若α，β是一元二次方程x2＋3x－6＝0的两个不相等的根，则α2－3β的值是(　　)
A．3　　　B．15　　　C．－3　　　D．－15
分析选B.因为α，β是一元二次方程x2＋3x－6＝0的两个不相等的根，
所以α2＋3α－6＝0，即α2＝6－3α，由根与系数的关系可知：α＋β＝－3，
所以α2－3β＝6－3α－3β＝6－3＝6－3×＝15.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若x1，x2是一元二次方程x2＋3x－5＝0的两个实数根，则xx2＋x1x的值是________．
【解题指南】由一元二次方程根与系数的关系，求出x1＋x2，x1x2，即可求解．
分析根据题意，由根与系数的关系得x1＋x2＝－3，x1x2＝－5，
所以xx2＋x1x＝x1x2＝×＝15.
答案：15
6．等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－8x＋n－2＝0的两根，则n的值为________．
分析当2为底边长时，则a＝b，a＋b＝8，
所以a＝b＝4.
因为4，4，2能围成三角形，
所以n－2＝4×4，解得n＝18.
当2为腰长时，a，b中有一个为2，
则另一个为6.
因为6，2，2不能围成三角形，
所以此种情况不存在．
答案：18
三、解答题
7．(10分)已知关于x的方程mx2－(m－1)x－1＝0.
(1)求证：对于任意实数m，方程总有实数根；
(2)若x1，x2是原方程的两根，且＋＝2x1x2＋1，求m的值．
分析(1)当m＝0时，方程化为x－1＝0，即x＝1，方程有一个实根；
当m≠0时，Δ＝[－(m－1)]2－4m×(－1)＝(m＋1)2≥0，方程有两个实根．
综上，对于任意实数m，方程总有实数根．
(2)因为x1，x2是方程mx2－(m－1)x－1＝0的两根，所以x1＋x2＝，x1x2＝－.
又因为＋＝2x1x2＋1，
所以＝2x1x2＋1，
所以＝2×＋1，
整理得m2＋m－1＝0，
解得m＝或m＝.
8. 已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)如果方程的两实根为x1，x2，且x＋x－x1x2＝7，求m的值．
分析(1)因为x2－(m－3)x－m＝0，
所以Δ＝b2－4ac＝[－(m－3)]2－4×1×
(－m)＝m2－2m＋9＝(m－1)2＋8＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
(2)因为x2－(m－3)x－m＝0，方程的两实根为x1，x2，
所以x1＋x2＝m－3，x1x2＝－m.
因为x＋x－x1x2＝7，
所以(x1＋x2)2－3x1x2＝7，
即(m－3)2－3×(－m)＝7，
解得m1＝1，m2＝2，
即m的值是1或2.