2.1.1 等式的性质与方程的解集（习题）-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

等式的性质与方程的解集
1.下列由等式的性质进行的变形，错误的是(　　)
A．如果a＝3，那么＝
B．如果a＝3，那么a2＝9
C．如果a＝3，那么a2＝3a
D．如果a2＝3a，那么a＝3
2．(2021·潍坊高一检测)下列分解因式错误的是(　　)
A．a2－5a＋6＝(a－2)(a－3)
B．1－4m2＋4m＝(1－2m)2
C．－4x2＋y2＝－(2x＋y)(2x－y)
D．3ab＋a2b2＋9＝(3＋ab)2
3．方程x2＋2x－3＝0的解集为(　　)
A．{－1，3} B．{1，－3}
C．{－1，－3} D．{1，3}
4．当x＝－7时，代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值为________.
5．关于x的一元二次方程(m－2)x2＋x＋m2－4＝0有一个根为0，则m的值应为________．
6．(2021·济宁高一检测)把下列各式分解因式：
(1)x2－4mx－8mn－4n2；
(2)x2－y2＋4x＋6y－5；
(3)x3－11x2＋31x－21；
(4)x3－4xy2－2x2y＋8y3.

能力过关
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1．(多选题)(2021·西安高一检测)下列式子中变形正确的是(　　)
A．若3x－1＝2x＋1，则x＝0
B．若ac＝bc，则a＝b
C．若＝，则＝
D．若＝，则y＝x
2．如果x＝y，a为有理数，那么下列等式不一定成立的是(　　)
A．1－y＝1－x B．x2＝y2
C．＝ D．ax＝ay
3．整式－(an＋1)(an－1)＋(an)2(n∈N)化简的结果是(　　)
A．1 B．0 C．－1 D．±1
4．如果x2＋Ax＋B＝(x－3)(x＋5)，则3A－B的值为(　　)
A．2 B．－15 C．17 D．21
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2021·东莞高一检测)已知实数a，b满足2＋2＝0，则a＋b的值为________.
6．若m＋n＝5，m－n＝2，则m2－n2的值为______，m3－n3＝________．
三、解答题
7．(10分)解方程：
(1)x2－3x＝0.
(2)x＝0.
(3)(x－1)2＝3x－3.
8.已知：a，b，c为△ABC的三边长，
(1)当a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc时，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
(2)判断代数式a2－b2＋c2－2ac值的符号．
1.下列由等式的性质进行的变形，错误的是(　　)
A．如果a＝3，那么＝
B．如果a＝3，那么a2＝9
C．如果a＝3，那么a2＝3a
D．如果a2＝3a，那么a＝3
分析选D.如果a＝3，那么＝，A正确；
如果a＝3，那么a2＝9，B正确；
如果a＝3，那么a2＝3a，C正确；
如果a＝0，两边都除以a，无意义，故D符合题意；
如果a≠0，那么a＝3.
2．(2021·潍坊高一检测)下列分解因式错误的是(　　)
A．a2－5a＋6＝(a－2)(a－3)
B．1－4m2＋4m＝(1－2m)2
C．－4x2＋y2＝－(2x＋y)(2x－y)
D．3ab＋a2b2＋9＝(3＋ab)2
分析选B.A选项根据十字相乘分解因式可知正确；
B选项中的1＋4m2－4m＝(1－2m)2，左右两边不相等，所以B是错的；
C选项根据平方差公式可知正确；D选项根据完全平方公式可知正确．
3．方程x2＋2x－3＝0的解集为(　　)
A．{－1，3} B．{1，－3}
C．{－1，－3} D．{1，3}
分析选B.因为x2＋2x－3＝0，
所以(x－1)(x＋3)＝0，
x1＝1，x2＝－3.
4．当x＝－7时，代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值为________.
分析因为(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)
＝2x2＋7x＋5－(x2－2x－3)
＝x2＋9x＋8，
又因为x＝－7，
所以原式＝(－7)2＋9×(－7)＋8＝－6.
答案：－6
5．关于x的一元二次方程(m－2)x2＋x＋m2－4＝0有一个根为0，则m的值应为________．
分析因为关于x的一元二次方程(m－2)x2＋x＋m2－4＝0有一个根为0，
所以m2－4＝0且m－2≠0，
解得m＝－2.
答案：－2
6．(2021·济宁高一检测)把下列各式分解因式：
(1)x2－4mx－8mn－4n2；
分析原式＝－4m(x＋2n)＝(x＋2n)(x－2n)－4m(x＋2n)
＝(x＋2n)(x－2n－4m).
(2)x2－y2＋4x＋6y－5；
分析原式＝－＝(x＋2)2－(y－3)2＝(x＋y－1)(x－y＋5).
(3)x3－11x2＋31x－21；
分析原式＝x3－7x2－4x2＋28x＋3x－21＝x2(x－7)－4x(x－7)＋3(x－7)
＝(x－7)＝(x－7)(x－1)(x－3).
(4)x3－4xy2－2x2y＋8y3.
分析方法一：原式＝x3＋8y3－2xy(x＋2y)
＝(x＋2y)－2xy(x＋2y)＝(x＋2y)＝(x＋2y)(x－2y)2.
方法二：原式＝＋＝x2(x－2y)－4y2(x－2y)＝(x－2y)＝(x＋2y)(x－2y)2.
能力过关
一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
1．(多选题)(2021·西安高一检测)下列式子中变形正确的是(　　)
A．若3x－1＝2x＋1，则x＝0
B．若ac＝bc，则a＝b
C．若＝，则＝
D．若＝，则y＝x
分析选CD.对于A选项，两边同时减，得到x＝2，故A不正确；对于B选项，没有说明c≠0，故B不正确；对于C选项，在等式两边同时乘以a，得到＝.故C正确；对于D选项，在等式两边同时乘以5得到y＝x，故D正确．
2．如果x＝y，a为有理数，那么下列等式不一定成立的是(　　)
A．1－y＝1－x B．x2＝y2
C．＝ D．ax＝ay
分析选C.A.因为x＝y，所以－x＝－y.
所以－x＋1＝－y＋1，即1－y＝1－x，故A一定成立，与要求不符；
B．如果x＝y，则x2＝y2，故B一定成立，与要求不符；
C．当a＝0时，＝无意义，故C不一定成立，与要求相符；
D．由等式的性质可知：ax＝ay，故D一定成立，与要求不符．
3．整式－(an＋1)(an－1)＋(an)2(n∈N)化简的结果是(　　)
A．1 B．0 C．－1 D．±1
分析选A.－(an＋1)(an－1)＋(an)2＝－(a2n－1)＋a2n＝－a2n＋1＋a2n＝1.
4．如果x2＋Ax＋B＝(x－3)(x＋5)，则3A－B的值为(　　)
A．2 B．－15 C．17 D．21
分析选D.x2＋Ax＋B＝(x－3)(x＋5)＝x2＋2x－15，
得A＝2，B＝－15.3A－B＝3×2＋15＝21.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2021·东莞高一检测)已知实数a，b满足2＋2＝0，则a＋b的值为________.
分析由2＋2＝0所以a＋2＝0且b2－2b－3＝0，解得a＝－2，b＝3或－1，
所以，a＋b＝－2－1＝－3或a＋b＝1.
答案：1或－3
6．若m＋n＝5，m－n＝2，则m2－n2的值为______，m3－n3＝________．
分析m2－n2＝(m＋n)(m－n)＝5×2＝10，
由m＋n＝5平方得m2＋n2＋2mn＝25①，
由m－n＝2平方得m2＋n2－2mn＝4②，
①－②得mn＝，
故m3－n3＝(m－n)(m2＋mn＋n2)
＝(m－n)[(m＋n)2－mn]
＝2×
＝2×＝.
答案：10　
三、解答题
7．(10分)解方程：
(1)x2－3x＝0.
分析x(x－3)＝0，x＝0或x－3＝0，
所以x1＝0，x2＝3.
(2)x＝0.
分析x＝0或x－1＝0，
所以x1＝0，x2＝1.
(3)(x－1)2＝3x－3.
分析由(x－1)2－3(x－1)＝0，
得(x－1)(x－1－3)＝0，
即x－1＝0或x－4＝0，
所以x1＝1，x2＝4.
8.已知：a，b，c为△ABC的三边长，
(1)当a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc时，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
分析(1)△ABC为等边三角形
证明：因为a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，
所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0，
所以a＝b，b＝c，a＝c，△ABC为等边三角形．
(2)判断代数式a2－b2＋c2－2ac值的符号．
分析a2－b2＋c2－2ac＝(a2－2ac＋c2)－b2
＝(a－c)2－b2＝(a－c＋b)(a－c－b)
＝[(a＋b)－c][a－(b＋c)]，
又因为a＋b>c，a所以[(a＋b)－c][a－(b＋c)]<0，
所以a2－b2＋c2－2ac值的符号为负．