2.2.1 不等式及其性质（习题）-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

不等式及其性质
　1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是(　　)
A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
2．下列结论中正确的是(　　)
A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞b
C．若>，则a＞b D．若<，则a＞b
3．(2021·长沙高一检测)设M＝3x2－x＋1，N＝x2＋x－1，则(　　)
A．M>N　　　B．MC．M＝N D．M与N的大小关系与x有关
4．已知c＞a＞b＞0，则________.(填“>”“<”或“＝”)
5．(2021·武汉高一检测)张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元/千克，为增加销量，张军对这四种干果进行促销：一次购买干果的总价达到150元，顾客就少付x(2x∈Z)元．每笔订单顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的80%.
①若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，则x＝________；
②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．
6．(1)比较x2＋3与2x的大小．
(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
能力过关
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c≥b>a B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
2．(2021·大连高一检测)下列不等式中，正确的是(　　)
A．若a－c>b－d且c>d，则a>b
B．若a>0，b>0，a3－b3＝1，则a－b>1
C．若a>b>0，c>d，则ac>bd
D．若a>b，则ac2>bc2
3．设a>1>b>－1，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A．< B．>
C．a2>2b D．a>b2
4．已知α∈，β∈，则2α－的取值范围是(　　)
A． B．
C．(0，1) D．
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列说法正确的是(　　)
A．若ab≠0且a
B．若0C．若a>b>0，则>
D．若c6．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　)
A．若ab<0，bc－ad>0，则－>0
B．若ab>0，－>0，则bc－ad>0
C．若bc－ad>0，－>0，则ab>0
D．若<<0，则<
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．(2021·扬州高一检测)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[1，2 020]时，符合条件的a共有________个．
8．某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如表：
电子器件种类 每件需要
人员数 每件产值
/(万元/件)
A类
7.5
B类
6
今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发________件，最高产值为________万元．
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．(2021·古田高一检测)(1)设x(2)已知－110．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
　
1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是(　　)
A．5x＋4y<200 B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
分析选D.由题意可得，总的工资为50x＋40y，
又因为现有工人工资预算2 000元，
故50x＋40y≤2 000，
化简可得5x＋4y≤200.
2．下列结论中正确的是(　　)
A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞b
C．若>，则a＞b D．若<，则a＞b
分析选C.对于A，c＞0时，结论成立，故A不正确；对于B，a＝－2，b＝－1，满足a2＞b2，但a＜b，故B不正确；对于C，利用不等式的性质，可得结论成立；对于D，a＝－1，b＝2，满足<，但a＜b，故D不正确．
3．(2021·长沙高一检测)设M＝3x2－x＋1，N＝x2＋x－1，则(　　)
A．M>N　　　B．MC．M＝N D．M与N的大小关系与x有关
分析选A.因为M－N＝3x2－x＋1－(x2＋x－1)＝2x2－2x＋2＝22＋>0，
所以M>N.
4．已知c＞a＞b＞0，则________.(填“>”“<”或“＝”)
分析因为c＞a，所以c－a＞0，
又因为a＞b，
所以＞.
答案：>
5．(2021·武汉高一检测)张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元/千克，为增加销量，张军对这四种干果进行促销：一次购买干果的总价达到150元，顾客就少付x(2x∈Z)元．每笔订单顾客网上支付成功后，张军会得到支付款的80%.
①若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，则x＝________；
②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．
分析①顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付120＋70－x＝180元，则x＝10.
答案：10
②设顾客一次购买干果的总价为M元，当0答案：18.5
6．(1)比较x2＋3与2x的大小．
(2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
分析(1)(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3
＝(x－1)2＋2≥2>0，
所以x2＋3>2x.
(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)，
因为a>0，b>0，且a≠b，
所以(a－b)2>0，a＋b>0.
所以(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，
即a3＋b3>a2b＋ab2.
能力过关
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．c≥b>a B．a>c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
分析选A. c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，
所以c≥b，已知两式作差得2b＝2＋2a2，
即b＝1＋a2，
因为1＋a2－a＝＋>0，
所以1＋a2>a，
所以b＝1＋a2>a，
所以c≥b>a.
2．(2021·大连高一检测)下列不等式中，正确的是(　　)
A．若a－c>b－d且c>d，则a>b
B．若a>0，b>0，a3－b3＝1，则a－b>1
C．若a>b>0，c>d，则ac>bd
D．若a>b，则ac2>bc2
分析选A.若a－c>b－d且c>d，
则a>b，故A正确；
若a>0，b>0，a3－b3＝1，
则a－b<1，故B错误；
令a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－3，
满足a>b>0，c>d，但推不出ac>bd，故C错误；
令c＝0可知D错误．
3．设a>1>b>－1，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A．< B．>
C．a2>2b D．a>b2
分析选D.A错，例如a＝2，b＝－时，＝，＝－2，此时，>；B错，例如a＝2，b＝时，＝，＝2，此时，<；C错，例如a＝，b＝时，a2＝，2b＝，此时a2<2b；由a>1，b2<1得a>b2.
4．已知α∈，β∈，则2α－的取值范围是(　　)
A． B．
C．(0，1) D．
分析选D.因为α∈，β∈，
所以2α∈(0，1)，∈，
则－∈，所以2α－∈.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列说法正确的是(　　)
A．若ab≠0且a
B．若0C．若a>b>0，则>
D．若c分析选BC.A，不成立，比如a＝－2，b＝1，
B，成立，0C，成立，－＝＝>0，所以>，
D，不成立，若b＝0，则有0<0，不成立．
6．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　)
A．若ab<0，bc－ad>0，则－>0
B．若ab>0，－>0，则bc－ad>0
C．若bc－ad>0，－>0，则ab>0
D．若<<0，则<
分析选BCD.对于A，若ab<0，bc－ad>0，
不等式两边同时除以ab得－<0，所以A不正确；
对于B，若ab>0，－>0，
不等式两边同时乘以ab得bc－ad>0，所以B正确；
对于C，若－>0，当两边同时乘以ab时可得bc－ad>0，所以ab>0，所以C正确；
对于D，由<<0，可知b0，所以<成立，所以D正确．
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．(2021·扬州高一检测)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[1，2 020]时，符合条件的a共有________个．
分析由题设a＝3m＋2＝5n＋3，m，n∈N*，则3m＝5n＋1，
当m＝5k，n不存在；
当m＝5k＋1，n不存在；
当m＝5k＋2，n＝3k＋1，满足题意：
当m＝5k＋3，n不存在；
当m＝5k＋4，n不存在；
故1≤a＝15k＋8≤2 020，解得－≤k≤，
则k＝0，1，2，…，134，共135个．
答案：135
8．某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如表：
电子器件种类 每件需要
人员数 每件产值
/(万元/件)
A类
7.5
B类
6
今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发________件，最高产值为________万元．
分析设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件件．
根据题意，得＋≤20，解得x≤20.
由题意，得总产值y＝7.5x＋6×＝300＋1.5x≤330，
当且仅当x＝20时，y取最大值330.
答案：20　330
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．(2021·古田高一检测)(1)设x(2)已知－1分析(1)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)，
因为x0，x－y<0；
所以－2xy(x－y)>0，
所以(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y).
(2)设2a＋3b＝m(a＋b)＋n(a－b)，
则所以m＝，n＝－.
所以2a＋3b＝(a＋b)－(a－b).
因为－1所以－<(a＋b)<，－2<－(a－b)<－1，
所以－<(a＋b)－(a－b)<，
即－<2a＋3b<.
10．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
分析由题意可得甲、乙两车队收费与乘车人数的表达式，要比较哪个车队收费更优惠，可依据作差法模型解决．
设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元．
当n取不同的正整数值时，比较y1与y2的大小．
由题意，y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx.
因为y1－y2＝x＋nx－nx＝
x－nx＝x，
当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1当n<5时，y1>y2.
答：当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．