2.2.4.2 均值不等式的应用（习题）-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

均值不等式的应用
1.已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为(　　)
A．8 B．4 C．2 D．0
2．(2021·鞍山高一检测)若实数x，y 满足xy＋6x＝4，则＋的最小值为(　　)
A．4　　　B．8　　　C．16　　　D．32
3．对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于(　　)
A． B． C．25 D．5
4．已知正实数a，b满足a＋＝2，则＋2b的最小值为________.
5．某公司购买抗击新冠肺炎疫情物资200 t用于支援抗疫一线，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．
6．(2021·北京高一检测)围建一个面积为40 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙足够长)，利用的旧墙需维修，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为5元/米，新墙的造价为20元/米，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
能力过关
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．(2021·兰州高一检测)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为(　　)
A．2　　　B．　　　C．4　　　D．
2．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
3．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是(　　)
A． B．　
C． D．
4．已知正实数m，n满足m＋n＝1，且使＋取得最小值．若y＝，x＝是方程y＝xα的解，则α ＝(　　)
A．－1 B． C．2 D．3
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．下列不等式一定成立的是(　　)
A．x2＋>x　　 B．x＋≥2
C．x2＋1≥2|x| D．>1
6．设a＋b＝2(a>0，b>0)，则＋取最小值时下列结论正确的是(　　)
A．a＝ B．ab＝1
C．＋＝ D．＋＝
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．已知一次函数y＝－x＋1的图像分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值是________，取得最值时a的值为________．
8．如图有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8.
(2)≥9.
10．经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v>0).
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？
(2)为保证在该时段内车流量至少为12千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
1.已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为(　　)
A．8 B．4 C．2 D．0
分析选A.由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，
且x>0，y>0.所以x＋2y＝(x＋2y)×＝＋＋4≥4＋4＝8，当且仅当x＝2y时等号成立．
2．(2021·鞍山高一检测)若实数x，y 满足xy＋6x＝4，则＋的最小值为(　　)
A．4　　　B．8　　　C．16　　　D．32
分析选B.因为xy＋6x＝4，故＋＝＋＝y＋6＋，
因为00，故y＋6＋≥8，当且仅当y＝1，x＝时等号成立，故＋的最小值为8.
3．对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期商高就提出了“勾三股四玄五”勾股定理的特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形面积的最大值等于(　　)
A． B． C．25 D．5
分析选A.设直角三角形的斜边为c，直角边分别为a，b，由题意知c＝5，则a2＋b2＝25，
则三角形的面积S＝ab，
因为25＝a2＋b2≥2ab，所以ab≤，
则三角形的面积S＝ab≤×＝，当且仅当a＝b＝时取等号，即这个直角三角形面积的最大值等于.
4．已知正实数a，b满足a＋＝2，则＋2b的最小值为________.
分析由题意，正实数a，b满足a＋＝2，
则＋2b＝×＝×≥×＝4，当且仅当＝2ab，即ab＝1时，取得最小值，其最小值为4.
答案：4
5．某公司购买抗击新冠肺炎疫情物资200 t用于支援抗疫一线，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．
分析设每次购买抗疫物资x t，则需要购买次，则一年的总运费为×2＝，一年的总存储费用为x万元，
所以一年的总运费与总存储费用为＋x≥
2＝40，当且仅当＝x，
即x＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20 t.
答案：20
6．(2021·北京高一检测)围建一个面积为40 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(旧墙足够长)，利用的旧墙需维修，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为5元/米，新墙的造价为20元/米，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)
(1)将y表示为x的函数；
分析设矩形的另一边长为a m，则y＝5x＋20＋20·2a＝25x＋40a－40，
由已知ax＝40，得a＝，所以y＝25x＋－40.
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
分析 因为x>2，
所以25x＋≥2＝400，
所以y＝25x＋－40≥360，
当且仅当25x＝，即x＝8时，等号成立．
即当x＝8 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是360元．
能力过关
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．(2021·兰州高一检测)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为(　　)
A．2　　　B．　　　C．4　　　D．
分析选B.因为a>0，b>0，所以2a＋b≥2，当且仅当2a＝b时等号成立，又2a＋b＝4，所以2≤4即02．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
分析选B.因为a>0，b＞0，a＋b＝ab≤，所以a＋b≥4，当a＝b＝2时取等号，则a＋b的最小值为4.
3．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是(　　)
A． B．　
C． D．
分析选A.因为对任意x>0，≤a恒成立，所以对x∈(0，＋∞)，a≥，
又因为x∈(0，＋∞)，
所以＝≤＝，当且仅当x＝1时等号成立，所以a≥.
4．已知正实数m，n满足m＋n＝1，且使＋取得最小值．若y＝，x＝是方程y＝xα的解，则α ＝(　　)
A．－1 B． C．2 D．3
分析选C.＋＝(m＋n)
＝1＋＋＋16
＝17＋＋≥17＋2＝25.
当且仅当＝又m＋n＝1，
即m＝，n＝时，上式取等号，
即＋取得最小值时， m＝，n＝，
所以y＝25，x＝5, 25＝5α.
得α＝2.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．下列不等式一定成立的是(　　)
A．x2＋>x　　 B．x＋≥2
C．x2＋1≥2|x| D．>1
分析选BC.对于选项A，当x＝时，x2＋＝x，所以A不一定成立；
对于选项B，当x>0时，不等式x＋≥2成立，所以B一定成立；
对于选项C，不等式x2＋1－2|x|＝(|x|－1)2≥0，即x2＋1≥2|x|恒成立，所以C一定成立；
对于选项D，因为 x2＋1≥1，所以 0<≤1，所以D不成立．
6．设a＋b＝2(a>0，b>0)，则＋取最小值时下列结论正确的是(　　)
A．a＝ B．ab＝1
C．＋＝ D．＋＝
分析选AC.因为a＋b＝2，
所以＋＝＋＝＋＝＋＋≥＋2＝＋1＝.
当且仅当＝，即b2＝4a2时等号成立．
又因为a>0，b>0，a＋b＝2，所以解得a＝，b＝，所以＋的最小值为.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．已知一次函数y＝－x＋1的图像分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值是________，取得最值时a的值为________．
分析因为A(2，0)，B(0，1)，所以0≤b≤1，由题意得a＝2－2b，
ab＝(2－2b)b＝2(1－b)·b≤2·＝.当且仅当1－b＝b，即b＝时等号成立，此时a＝1，因此当b＝，a＝1时，ab的最大值为.
答案：　1
8．如图有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.
分析设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.
由题意，得y＝(x＋4)－72＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2).
当且仅当x＝，即x＝12 dm时等号成立．
答案：56
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8.
【证明】因为a＋b＝1，a>0，b>0，
所以＋＋＝2.
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
所以＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立).
(2)≥9.
【证明】方法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，
所以＝
＝5＋2≥5＋4＝9.
所以≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立).
方法二：＝1＋＋＋，
由(1)知，＋＋≥8，
故＝1＋＋＋≥9.
当且仅当a＝b＝时取等号．
10．经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝(v>0).
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？
分析y＝＝，
因为v＋≥2＝20，
所以y＝≤＝.
当且仅当v＝，即v＝10时等号成立．
所以当汽车的平均速度v＝10千米/小时时车流量y最大．
(2)为保证在该时段内车流量至少为12千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
分析令≥12，则可化为v2－70v＋1 000≤0，
即(v－20)(v－50)≤0，解得20≤v≤50.所以汽车的平均速度应控制在20千米/小时到50千米/小时范围内．