3.1.2.1 函数的单调性（习题）-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

函数的单调性
1.(2021·无锡高一检测)下列函数在上是增函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝|x|
C．y＝－x2 D．y＝－2x＋1
2．(2021·大冶高一检测)函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(m＋9)，则实数m的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
3．可推得函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1，2]上为增函数的一个条件是(　　)
A．a＝0 B．
C． D．
4．(2021·北京高一检测)函数f(x)＝x2＋ax－1在上不单调，则实数a的取值范围为________．
5．(2021·苏州高一检测)函数f(x)＝的单调递减区间为________．
6．已知函数f(x)＝ax＋(a，b是常数)，满足f(1)＝3，f(2)＝.
(1)求a，b的值．
(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性，并用定义证明．
能力过关
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则(　　)
A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a)
C．f(a2＋a)＜f(a) D．f(a2＋1)＜f(a)
2．(2021·南宁高一检测)已知函数f(x)＝－x|x|＋2x，则下列结论正确的是(　　)
A．递增区间是(0，＋∞)
B．递减区间是(－∞，－1)
C．递增区间是(－∞，－1)
D．递增区间是(－1，1)
3．定义域在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有(x1－x2)[(f(x1)－f(x2)]＞0，则有(　　)
A．f(－2)＜f(1)＜f(3)
B．f(1)＜f(－2)＜f(3)
C．f(3)＜f(－2)＜f(1)
D．f(3)＜f(1)＜f(－2)
4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－1，0)∪(0，1) B．[－1，0)∪(0，1]
C．(0，1) D．(0，1]
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．下列四个函数中，在(－∞，0]上为减函数的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x B．f(x)＝2x2
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝
6．关于函数y＝的单调区间以下说法正确的为(　　)
A．单调递减区间为(－∞，－3]
B．单调递减区间为(－∞，－1]
C．单调递增区间为[1，＋∞)
D．单调递增区间为(－3，－1]
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．(2021·南昌高一检测)如果二次函数y＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1]上是减函数，那么a的取值范围是________．
8．(2021·郑州高一检测)已知f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________．
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝
(1)在图中画出函数f(x)的大致图像；
(2)写出函数f(x)的单调递减区间．
10．已知函数f(x)＝，且f(1)＝3，f(2)＝.
(1)求a，b的值，写出f(x)的表达式．
(2)判断f(x)在区间[1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明．
1.(2021·无锡高一检测)下列函数在上是增函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝|x|
C．y＝－x2 D．y＝－2x＋1
分析选B.对于A，函数y＝在上单调递减，故A错误；
对于B，函数y＝|x|＝在上单调递增，故B正确；
对于C，函数y＝－x2在上单调递减，故C错误；
对于D，函数y＝－2x＋1在上单调递减，故D错误．
2．(2021·大冶高一检测)函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(m＋9)，则实数m的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
分析选A.因为y＝f(x)在R上为增函数，
且f(2m)>f(m＋9)，所以2m>m＋9，解得m>9.
3．可推得函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1，2]上为增函数的一个条件是(　　)
A．a＝0 B．
C． D．
分析选B.因为函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1，2]上，开口向上，对称轴x＝－＝，
要使f(x)在区间[1，2]上为增函数，则
若a＜0，图像开口向下，要求＞2，显然不可能，
所以函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1，2]上为增函数的一个条件是
4．(2021·北京高一检测)函数f(x)＝x2＋ax－1在上不单调，则实数a的取值范围为________．
分析可得f的对称轴为x＝－，
因为f在上不单调，则2<－<3，
解得－6答案：
5．(2021·苏州高一检测)函数f(x)＝的单调递减区间为________．
分析16＋6x－x2≥0，解得－2≤x≤8，所以函数的定义域为，
令y＝16＋6x－x2＝－x2＋6x＋16＝－(x－3)2＋25，二次函数图像开口向下，对称轴为x＝3，
由y＝为增函数，得函数f(x)＝的单调递减区间为.
答案：
6．已知函数f(x)＝ax＋(a，b是常数)，满足f(1)＝3，f(2)＝.
(1)求a，b的值．
(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性，并用定义证明．
分析(1)因为f(1)＝3，f(2)＝，
所以解得：
故a＝2，b＝1.
(2)由(1)得f(x)＝2x＋，任取x1，x2∈且x1那么f(x1)－f(x2)＝2x1＋－2x2－
＝(x1－x2)，
因为0＜x1＜x2＜，所以x1x2＜，2－＜0，又x1－x2<0，
故f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)>f(x2)，
故f(x)在上递减．
能力过关
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则(　　)
A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a)
C．f(a2＋a)＜f(a) D．f(a2＋1)＜f(a)
分析选D.因为a2＋1－a＝＋＞0，所以a2＋1＞a，又因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f(a2＋1)＜f(a).
2．(2021·南宁高一检测)已知函数f(x)＝－x|x|＋2x，则下列结论正确的是(　　)
A．递增区间是(0，＋∞)
B．递减区间是(－∞，－1)
C．递增区间是(－∞，－1)
D．递增区间是(－1，1)
分析选D.因为函数f(x)＝－x|x|＋2x＝，作出函数f(x)的图像，如图所示，
由图可知，递增区间是(－1，1)，递减区间是(－∞，－1)和.
3．定义域在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有(x1－x2)[(f(x1)－f(x2)]＞0，则有(　　)
A．f(－2)＜f(1)＜f(3)
B．f(1)＜f(－2)＜f(3)
C．f(3)＜f(－2)＜f(1)
D．f(3)＜f(1)＜f(－2)
分析选A.因为对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有(x1－x2)[(f(x1)－f(x2)]＞0，
当x1即f(x1)当x1>x2时，x1－x2>0，则f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2).可得函数f(x)是在R上的增函数，所以f(－2)＜f(1)＜f(3).
4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－1，0)∪(0，1) B．[－1，0)∪(0，1]
C．(0，1) D．(0，1]
分析选D.因为g(x)＝在区间[1，2]上是减函数，所以a>0.因为函数f(x)＝－x2＋2ax的图像开口向下，对称轴为直线x＝a，且函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，所以a≤1.
故满足题意的a的取值范围是(0，1].
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．下列四个函数中，在(－∞，0]上为减函数的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x B．f(x)＝2x2
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝
分析选AB.在A中，f(x)＝x2－2x的减区间为(－∞，1]，故A正确；在B中，f(x)＝2x2的减区间为(－∞，0]，故B正确；在C中，f(x)＝x＋1在R上是增函数，故C错误；在D中，f(x)＝中，x≠0，故D错误．
6．关于函数y＝的单调区间以下说法正确的为(　　)
A．单调递减区间为(－∞，－3]
B．单调递减区间为(－∞，－1]
C．单调递增区间为[1，＋∞)
D．单调递增区间为(－3，－1]
分析选AC.该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数g(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由复合函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．(2021·南昌高一检测)如果二次函数y＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1]上是减函数，那么a的取值范围是________．
分析y＝3x2＋2(a－1)x＋b＝3＋b－在区间(－∞，1]上是减函数，
则－≥1，所以a≤－2.
答案：[－∞，－2]
8．(2021·郑州高一检测)已知f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________．
分析因为f(x)是增函数，
所以解得0≤a≤1.
答案：[0，1]
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝
(1)在图中画出函数f(x)的大致图像；
(2)写出函数f(x)的单调递减区间．
分析(1)函数f(x)的大致图像如图所示．
(2)由函数f(x)的图像得出，函数的单调递减区间为[2，4].
10．已知函数f(x)＝，且f(1)＝3，f(2)＝.
(1)求a，b的值，写出f(x)的表达式．
(2)判断f(x)在区间[1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明．
分析(1)由?
?则f(x)＝.
(2)任设1≤x1＜x2，f(x1)－f(x2)
＝＋1,x1) －＋1,x2) ＝(x1－x2)·，
因为x1＜x2所以x1－x2＜0，
又因为x1≥1，x2>1，
所以x1x2>1，2x1x2>2>1，即2x1x2－1＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
故f(x)在[1，＋∞)上是增函数．