3.1.2.2 函数的最大值、最小值（习题）-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

函数的最大值、最小值
1.(2021·南昌高一检测)已知函数f(x)＝在上的最大值为A，最小值为B，则A－B等于(　　)
A．　　　B．－　　　C．1　　　D．－1
2．已知：f(x)＝－，则(　　)
A．f(x)max＝，f(x)无最小值
B．f(x)min＝1，f(x)无最大值
C．f(x)max＝1，f(x)min＝－1
D．f(x)max＝1，f(x)min＝0
3．(2021·昆明高一检测)已知f(x)＝x2－ax＋在[0，1]上的最大值为g(a)，则g(a)的最小值为(　　)
A．0 B． C．1 D．2
4．函数y＝f(x)的定义域为[－4，6]，且在区间[－4，－2]上递减，在区间[－2，6]上递增，且f(－4)＜f(6)，则函数f(x)的最小值是________，最大值是________．
5．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是________.
6．利用函数的平均变化率证明函数y＝在区间[0，5]上是减函数．
能力过关
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．(2021·成都高一检测)已知函数f(x)＝kx2－4x＋8在[5，10]上单调递减，且f(x)在[5，10]上的最小值为－32，则实数k的值为(　　)
A．－　　B．0　　C．0或－　　D．0或
2．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m的值(　　)
A．与a有关，且与b有关
B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关
D．与a无关，但与b有关
3．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
4．(2021·长春高一检测)对任意a∈，函数f＝x2＋x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)
A．13
C．12
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．下列函数中，值域是[0，＋∞)的是(　　)
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝x2 D．y＝－x2＋4
6．设c＜0，f(x)是区间[a，b]上的减函数，下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)在区间[a，b]上有最小值f(a)
B．在[a，b]上有最小值f(a)
C．f(x)－c在[a，b]上有最小值f(b)－c
D．cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．(2021·宁波高一检测)函数y＝2＋的最大值是________，单调递增区间是________．
8．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________．　
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．(2021·芜湖高一检测)已知函数f(x)＝x＋.
(1)试证明函数f(x)在(0，2)上单调递减；
(2)求函数f(x)在上的值域．
10．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域．
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
1.(2021·南昌高一检测)已知函数f(x)＝在上的最大值为A，最小值为B，则A－B等于(　　)
A．　　　B．－　　　C．1　　　D．－1
分析选A.函数f(x)＝在上是减函数，所以x＝1时，f(x)的最大值为1，即A＝1，x＝2时，f(x)的最小值为，即B＝，则A－B＝1－＝.
2．已知：f(x)＝－，则(　　)
A．f(x)max＝，f(x)无最小值
B．f(x)min＝1，f(x)无最大值
C．f(x)max＝1，f(x)min＝－1
D．f(x)max＝1，f(x)min＝0
分析选C.f(x)＝－的定义域为[0，1]，因为f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)max＝1，f(x)min＝－1.
3．(2021·昆明高一检测)已知f(x)＝x2－ax＋在[0，1]上的最大值为g(a)，则g(a)的最小值为(　　)
A．0 B． C．1 D．2
分析选B.因为f(x)＝x2－ax＋图像的开口向上，对称轴为x＝，
①≤即a≤1时，此时函数取得最大值g＝f(1)＝1－，
②当>即a>1时，此时函数取得最大值g＝f＝，故g＝，故当a＝1时，g取得最小值.
4．函数y＝f(x)的定义域为[－4，6]，且在区间[－4，－2]上递减，在区间[－2，6]上递增，且f(－4)＜f(6)，则函数f(x)的最小值是________，最大值是________．
分析因为函数y＝f(x)在区间[－4，－2]上递减，在区间[－2，6]上递增，所以f(x)的最小值是f(－2)，又因为f(－4)＜f(6)，所以f(x)的最大值是f(6).
答案：f(－2)　f(6)
5．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是________.
分析a＜－x2＋2x恒成立，即a小于函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[0，2]的最小值，而f(x)＝－x2＋2x，x∈[0，2]的最小值为0，所以a＜0.
答案：(－∞，0)
6．利用函数的平均变化率证明函数y＝在区间[0，5]上是减函数．
【证明】设0≤x1，x2≤5，且x1≠x2，
则f(x2)－f(x1)＝－
＝，
所以＝，
又由0≤x1，x2≤5，且x1≠x2，
则x1＋2＞0，x2＋2＞0，所以<0，
则函数y＝在[0，5]上是减函数，
则函数f(x)在区间[0，5]上的最小值为f(5)＝，最大值为f(0)＝.
能力过关
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．(2021·成都高一检测)已知函数f(x)＝kx2－4x＋8在[5，10]上单调递减，且f(x)在[5，10]上的最小值为－32，则实数k的值为(　　)
A．－　　B．0　　C．0或－　　D．0或
分析选B.由函数f(x)＝kx2－4x＋8在[5，10]上单调递减可知，当x＝10时，函数有最小值，
即100k－40＋8＝－32，解得k＝0，当k＝0时，f(x)＝－4x＋8，函数单调递减，满足题意．
2．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m的值(　　)
A．与a有关，且与b有关
B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关
D．与a无关，但与b有关
分析选B.因为最值在f(0)＝b，f(1)＝1＋a＋b，f＝b－中取，所以最值之差一定与b无关，与a有关．
3．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
分析选C.设公司在甲地销售m辆，
则在乙地销售(15－m)辆，
设两地销售的利润之和为y万元，则y＝－m2＋21m＋2(15－m)＝－m2＋19m＋30.
由题意知，
所以0≤m≤15，且m∈Z.
当m＝＝9.5时，y值最大，
因为m∈Z，所以取m＝9或10.
当m＝9时，y＝120，当m＝10时，y＝120.
综上可知，公司获得的最大利润为120万元．
4．(2021·长春高一检测)对任意a∈，函数f＝x2＋x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)
A．13
C．12
分析选B.对任意a∈，函数f＝x2＋x＋4－2a的值恒大于零，
设g＝a＋x2－4x＋4，即g>0在a∈上恒成立．
g在a∈上是关于a的一次函数或常数函数，其图像为一条线段．
则只需线段的两个端点在x轴上方，
即，解得x>3或x<1.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．下列函数中，值域是[0，＋∞)的是(　　)
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝x2 D．y＝－x2＋4
分析选AC.y＝|x|的值域是[0，＋∞)；
y＝3－x的值域是R；y＝x2的值域是[0，＋∞)；y＝－x2＋4的值域是(－∞，4]，故选AC.
6．设c＜0，f(x)是区间[a，b]上的减函数，下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)在区间[a，b]上有最小值f(a)
B．在[a，b]上有最小值f(a)
C．f(x)－c在[a，b]上有最小值f(b)－c
D．cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)
分析选CD.A中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，在区间[a，b]上有最小值f(b)，A错误；
B中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，而函数在[a，b]上单调性无法确定，其最小值无法确定，B错误；
C中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，f(x)－c在区间[a，b]上也是减函数，其最小值为f(b)－c，C正确；
D中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，且c＜0，
则cf(x)在区间[a，b]上是增函数，则在[a，b]上有最小值cf(a)，D正确．
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．(2021·宁波高一检测)函数y＝2＋的最大值是________，单调递增区间是________．
分析函数y＝2＋＝2＋，可得x＝2时，函数y取得最大值2＋2＝4；
由4x－x2≥0，可得0≤x≤4，由t＝－x2＋4x在[0，2]上为增函数，y＝2＋在[0，＋∞)上为增函数，
可得函数y＝2＋的单调递增区间为[0，2].
答案：4　[0，2]
8．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________．　
分析当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4＜0可化为m＜－，
又函数f(x)＝－在(1，2)上递增，
则f(x)＞－5，则m≤－5.
答案：(－∞，－5]
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．(2021·芜湖高一检测)已知函数f(x)＝x＋.
(1)试证明函数f(x)在(0，2)上单调递减；
(2)求函数f(x)在上的值域．
分析(1)任取x1，x2∈(0，2)且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)，又0所以x1－x2<0，0所以(x1－x2)>0，
则f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，故函数f(x)＝x＋在x∈(0，2)上单调递减．
(2)任取x1，x2∈[2，＋∞)且x1即f(x)在[2，＋∞)上单调递增，又f(x)在(0，2)上单调递减，
其中f＝，f(2)＝4，f(4)＝5，所以f(x)在区间上的值域为.
10．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域．
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
分析(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3＝－，对称轴为x＝－，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以f≤f(x)≤f(3)，
f(3)＝15，f＝－，所以该函数的值域为.
(2)函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3的对称轴是x＝－a.
当－a＞1时，函数f(x)在[－1，3]上的最大值为f(－1)＝－2a－1＝1，
所以a＝－1；
当－a≤1时，函数f(x)在[－1，3]上的最大值为f(3)＝6a＋3＝1，所以a＝－，
综上所述a＝－或a＝－1.