3.1.3.2函数奇偶性的应用（习题）-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

函数奇偶性的应用
1.(2021·芜湖高一检测)若偶函数f(x)在上为增函数且有最小值0，则它在上(　　)
A．为减函数，有最大值0
B．为增函数，有最大值0
C．为减函数，有最小值0
D．为增函数，有最小值0
2．已知函数y＝f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝x2＋2x－3　　B．f(x)＝x2－2x－3
C．f(x)＝x2＋2x＋3 D．f(x)＝－x2＋2x＋3
3．定义在R上的函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)＜0的解集是(　　)
A．(－3，0)∪(3，＋∞)
B．(－∞，－3)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－3，0)∪(0，3)
4．已知f(x)＝(k－2)x2＋(k－3)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间为________．
5．(2021·长沙高一检测)已知函数f(x)的图像关于y轴对称，当x≥0时，f(x)单调递增，则不等式f(2x)>f(1－x)的解集为________．
6．(2021·马鞍山高一检测)已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝－x2＋4x.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)若函数y＝f(x)在区间(t，t＋1)上是单调函数，求t的取值范围．
能力过关
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．函数y＝|x－1|的图像是(　　)
2．函数f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)A．a>1 B．a<－2
C．a>1或a<－2 D．－13．定义在R上的奇函数f(x)，满足f＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则不等式xf(x)＞0的解为(　　)
A．
B．
C．
D．
4．(2021·兰州高一检测)函数f(x)的定义域为R，对任意的x1，x2∈，有<0，且函数f为偶函数，则(　　)
A．f(1)B．f(3)C．f(－2)D．f(－2)二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1).则下列各式中一定成立的是(　　)
A．f(－3)>f(－1) B．f(0)C．f(－1)f(0)
6．已知狄利克雷函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的值域为[0，1]
B．f(x)的定义域为R
C．f(x＋1)＝f(x)
D．f(x)是奇函数
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2 020，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________．
8．(2021·潍坊高一检测)函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－2)的图像关于点(2，0)对称，则满足f(4x－4)＋f(x2－x)<0的实数x的取值范围为________．
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．设函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋4x.
(1)求f(x)的表达式．
(2)证明f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时f(x)＝－x2－2x.
(1)求函数f(x)的解析式．
(2)若对任意实数m，f(m－1)＋f(m2＋t)＜0恒成立，求实数t的取值范围．
1.(2021·芜湖高一检测)若偶函数f(x)在上为增函数且有最小值0，则它在上(　　)
A．为减函数，有最大值0
B．为增函数，有最大值0
C．为减函数，有最小值0
D．为增函数，有最小值0
分析选C.因为偶函数f(x)在[1，3]上为增函数，且有最小值0，
所以函数f(x)在[－3，－1]上为减函数，且有最小值0.
2．已知函数y＝f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝x2＋2x－3　　B．f(x)＝x2－2x－3
C．f(x)＝x2＋2x＋3 D．f(x)＝－x2＋2x＋3
分析选C.若x<0，则－x>0，
因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，
所以f(－x)＝x2＋2x＋3，
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝f(x)，
所以当x<0时，f(x)＝x2＋2x＋3.
3．定义在R上的函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)＜0的解集是(　　)
A．(－3，0)∪(3，＋∞)
B．(－∞，－3)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－3，0)∪(0，3)
分析选B.因为f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，
所以f(x)在(－∞，0)内是增函数，
因为f(－3)＝－f(3)＝0，
所以f(3)＝0.
当x>0时，由f(x)＜0＝f(3)，
得0当x<0时，由f(x)＜0＝f(－3)，
所以x<－3，
当x＝0时，f(x)＝0不符合题意，
故f(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0，3).
4．已知f(x)＝(k－2)x2＋(k－3)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间为________．
分析由偶函数的定义知k＝3，f(x)＝x2＋3，
其图像开口向上，所以f(x)的递减区间是(－∞，0].
答案：(－∞，0]
5．(2021·长沙高一检测)已知函数f(x)的图像关于y轴对称，当x≥0时，f(x)单调递增，则不等式f(2x)>f(1－x)的解集为________．
分析依题意，f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)单调递增，
要满足f(2x)>f(1－x)，则要求|2x|>|1－x|，两边平方得4x2>1－2x＋x2，
即3x2＋2x－1>0，即(x＋1)(3x－1)>0，
解得x∈(－∞，－1)∪.
答案：(－∞，－1)∪
6．(2021·马鞍山高一检测)已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝－x2＋4x.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)若函数y＝f(x)在区间(t，t＋1)上是单调函数，求t的取值范围．
分析(1)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝－x2＋4x，又因为y＝f(x)为奇函数，
则任取x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，f(x)＝－f(－x)＝x2＋4x，
所以f(x)＝
(2)由(1)知
由图可知，y＝f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减， 在[－2，2]上单调递增，
因为函数y＝f(x)在区间(t，t＋1)上是单调函数，
当t＋1≤－2，即t≤－3时，函数y＝f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减；
当－2≤t且t＋1≤2，即－2≤t≤1时，函数y＝f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增；
当t≥2时，函数y＝f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减．
综上，t≤－3或t≥2时，函数y＝f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减；当－2≤t≤1时，函数y＝f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增．即t的取值范围是t≤－3或t≥2或－2≤t≤1.
能力过关
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．函数y＝|x－1|的图像是(　　)
分析选A.根据函数的定义域为{x|x≠0}可知选项B，选项C不正确；根据函数y＝|x－1|的值恒正，可知选项D不正确．
2．函数f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)A．a>1 B．a<－2
C．a>1或a<－2 D．－1分析选C.因为函数f(x)在实数集R上是偶函数，且f(3)所以f(3)又函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以3<|2a＋1|，解得a>1或a<－2.
3．定义在R上的奇函数f(x)，满足f＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则不等式xf(x)＞0的解为(　　)
A．
B．
C．
D．
分析选C.因为函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f＝0，所以f＝0，且在区间(－∞，0)上单调递减，
因为当－＜x＜0时，f(x)＜0，此时xf(x)＞0，
当0＜x＜时，f(x)＞0，此时xf(x)＞0，
综上，xf(x)＞0的解集为{x|04．(2021·兰州高一检测)函数f(x)的定义域为R，对任意的x1，x2∈，有<0，且函数f为偶函数，则(　　)
A．f(1)B．f(3)C．f(－2)D．f(－2)分析选C.因为对任意的x1，x2∈，有<0，
所以对任意的x1，x2∈，x2－x1与f(x2)－f(x1)均为异号，
所以f(x)在[1，＋∞)上单调递减，又函数f为偶函数，即f(x＋1)＝f(1－x)，
所以f(－2)＝f(4)，
所以f(－2)＝f(4)二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1).则下列各式中一定成立的是(　　)
A．f(－3)>f(－1) B．f(0)C．f(－1)f(0)
分析选AC.因为f(x)为偶函数，
所以f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，
又f(3)>f(1)，
所以f(－3)>f(－1)，f(3)>f(－1)都成立．
6．已知狄利克雷函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的值域为[0，1]
B．f(x)的定义域为R
C．f(x＋1)＝f(x)
D．f(x)是奇函数
分析选BC.对于A，f(x)的值域为{0，1}，故A错误．
对于B，f(x)的定义域为R，故B正确．
对于C，当x是有理数时，x＋1也为有理数；当x是无理数时，x＋1也为无理数，故f(x＋1)＝f(x)成立，故C正确．
对于D, 因为f(0)＝1，故D错误．
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2 020，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________．
分析由于偶函数的图像关于y轴对称，
所以f(x)在对称区间内的最值相等．
又当x∈(0，＋∞)时，f(x)min＝2 020，
故当x∈(－∞，0)时，f(x)min＝2 020.
答案：2 020
8．(2021·潍坊高一检测)函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－2)的图像关于点(2，0)对称，则满足f(4x－4)＋f(x2－x)<0的实数x的取值范围为________．
分析函数y＝f(x－2)的图像关于点(2，0)对称，
则函数y＝f(x)的图像关于点(0，0)对称，即y＝f(x)为奇函数，满足f(－x)＝－f(x).
所以f(4x－4)＋f(x2－x)<0，f(4x－4)<
－f(x2－x)?f(4x－4)又因为y＝f(x)是定义在R上的增函数，所以4x－4<－x2＋x?－4答案：(－4，1)
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．设函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋4x.
(1)求f(x)的表达式．
(2)证明f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
分析(1)当x<0时，－x>0，
所以f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＝x2－4x.
因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2－4x)＝－x2＋4x(x<0)，
所以f(x)＝
(2)设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝(x＋4x2)－(x＋4x1)
＝(x2－x1)(x2＋x1＋4).
因为00，x2＋x1＋4>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，
所以f(x1)10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时f(x)＝－x2－2x.
(1)求函数f(x)的解析式．
(2)若对任意实数m，f(m－1)＋f(m2＋t)＜0恒成立，求实数t的取值范围．
分析(1)当x＜0时，－x＞0，又因为f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x2＋2x)＝x2－2x，
所以f(x)＝；
(2)f(m－1)＋f(m2＋t)＜0，
所以f(m－1)＜－f(m2＋t)，
又f(x)是奇函数，所以f(m－1)＜f(－t－m2)，
又因为f(x)为R上的单调递减函数，
所以m－1＞－t－m2恒成立，
所以t＞－m2－m＋1＝－＋恒成立，
所以t＞，即实数t的范围为.