3.2.2零点的存在性及其近似值的求法（习题）-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

零点的存在性及其近似值的求法
1.函数f(x)＝(x2－1)(x＋1)的零点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
2．(2021·上海高一检测)已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图像是连续不断的，若f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上(　　)
A．至少有一实数根　 B．至多有一实数根
C．没有实数根 D．必有唯一的实数根
3．已知f(x)的一个零点x0∈(2，3)，用二分法求精度为0.01的x0的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为(　　)
A．6　　　B．7　　　C．8　　　D．9
4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.437 5
f(x)的近似值 －2 0.625 －0.984 －0.260 0.162
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精度为0.05)可以是(　　)
A.1.375 B．1.25
C.1.437 5 D．1.406 25
5．求方程x3－3x－1＝0在区间(1，2)内的实根，用“二分法”确定的下一个有根的区间是________．
6．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
能力过关
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．已知函数f(x)＝－x2，在下列区间中，一定包含f(x)零点的区间是(　　)
A.(－2，－1) B．(0，1)
C.(1，2) D．(2，＋∞)
2．函数f＝x2－＋1的零点个数为(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3．(2021·天津高一检测)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则a的取值范围是(　　)
A.a> B．a>或a<－1
C.－14．若方程x2＋ax＋a＝0的一根小于－2，另一根大于－2，则实数a的取值范围是(　　)
A.(4，＋∞) B．(0，4)
C.(－∞，0) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．下列函数图像与x轴均有交点，其中能用二分法求图中函数零点的是(　　)
6．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法错误的是(　　)
A.若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B.若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C.若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
D.若f(a)·f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于__________．
8．一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(如图所示)，线路不通的原因是焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝2x3－x2－3x＋1.
(1)求证：f(x)在区间(1，2)上存在零点．
(2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f(x)＝0的一个近似解(精度0.1).
x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75
f(x)的 近似值 －1 1 －0.406 25 0.183 59 －0.138 18 0.015 81
10．已知函数f(x)＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求实数m的值．
1.函数f(x)＝(x2－1)(x＋1)的零点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
分析选C.函数f(x)＝(x2－1)(x＋1)的零点即为(x2－1)(x＋1)＝0的根，显然方程的根有－1，1，因此函数f(x)有两个零点．
2．(2021·上海高一检测)已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图像是连续不断的，若f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上(　　)
A．至少有一实数根　 B．至多有一实数根
C．没有实数根 D．必有唯一的实数根
分析选D.由题意知，函数f(x)为连续函数，因为f(a)·f(b)＜0，
所以函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点，又因为函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，
所以函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点，
故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．
3．已知f(x)的一个零点x0∈(2，3)，用二分法求精度为0.01的x0的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为(　　)
A．6　　　B．7　　　C．8　　　D．9
分析选A.函数f(x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过6次分割后区间的长度变为<0.02.
4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.437 5
f(x)的近似值 －2 0.625 －0.984 －0.260 0.162
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精度为0.05)可以是(　　)
A.1.375 B．1.25
C.1.437 5 D．1.406 25
分析选D.由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.375，1.437 5)之间；结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精度为0.05)可以是1.406 25.
5．求方程x3－3x－1＝0在区间(1，2)内的实根，用“二分法”确定的下一个有根的区间是________．
分析设函数f(x)＝x3－3x－1，
则因为f(1)＝－3<0，f(2)＝1＞0，f(1.5)＝－<0，所以下一个有根区间是(1.5，2).
答案：(1.5，2)
6．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
分析 (1)由f(0)＝f(4)，得3＝16－4b＋3，
即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，
即x2－4x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1，
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．
需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.故b的取值范围为(4，＋∞).
能力过关
一、单选题(每小题5分，共20分)
1．已知函数f(x)＝－x2，在下列区间中，一定包含f(x)零点的区间是(　　)
A.(－2，－1) B．(0，1)
C.(1，2) D．(2，＋∞)
分析选C.因为f(1)＝6－1＝5>0，f(2)＝－4＝－1<0，所以f(1)·f(2)<0.
2．函数f＝x2－＋1的零点个数为(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
分析选B. 令f(x)＝0得x2－＋1＝0，所以x2＋1＝，再作出函数y＝x2＋1(x≠0)与y＝的图像，由于两个函数的图像只有一个交点，所以零点的个数为1.
3．(2021·天津高一检测)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)上存在一个零点，则a的取值范围是(　　)
A.a> B．a>或a<－1
C.－1分析选B.因为函数单调，根据函数零点的性质知，f(1)与f一正一负，且f(1)＝a＋1，f(－1)＝－5a＋1，所以，
或，解得a>或a<－1.
4．若方程x2＋ax＋a＝0的一根小于－2，另一根大于－2，则实数a的取值范围是(　　)
A.(4，＋∞) B．(0，4)
C.(－∞，0) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
分析选A.令f(x)＝x2＋ax＋a，因为方程x2＋ax＋a＝0的一根小于－2，另一根大于－2，
所以f(－2)＜0，即(－2)2－2a＋a＜0，解得a＞4，即实数a的取值范围是a＞4.
二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
5．下列函数图像与x轴均有交点，其中能用二分法求图中函数零点的是(　　)
分析选ACD.二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号．
6．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法错误的是(　　)
A.若f(a)·f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B.若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C.若f(a)·f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
D.若f(a)·f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
分析选ABD.根据函数零点存在定理可判断，若f(a)·f(b)<0，则?c∈(a，b)，f(c)＝0，但c的个数不确定，故B，D错．若f(a)·f(b)>0，有可能?c∈(a，b)，f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，
f(－2)·f(2)>0，但f(x)＝x2－1在(－2，2)内有两个零点，故A错，C正确．
三、填空题(每小题5分，共10分)
7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于__________．
分析因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(0)＝0，
又因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，
因为f(2)＝－f(－2)＝0，所以在(0，＋∞)，(－∞，0)上都只有一个零点，
综上，f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.
答案：3　0
8．一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(如图所示)，线路不通的原因是焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．
分析第1次取中点把焊接点数减半为＝
32(个)，第2次取中点把焊接点数减半为＝16(个)，
第3次取中点把焊接点数减半为＝8(个)，
第4次取中点把焊接点数减半为＝4(个)，
第5次取中点把焊接点数减半为＝2(个)，
第6次取中点把焊接点数减半为＝1(个)，
所以至多需要检测的次数是6.
答案：6
四、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝2x3－x2－3x＋1.
(1)求证：f(x)在区间(1，2)上存在零点．
(2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f(x)＝0的一个近似解(精度0.1).
x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75
f(x)的 近似值 －1 1 －0.406 25 0.183 59 －0.138 18 0.015 81
分析(1)因为f(x)＝2x3－x2－3x＋1，
所以f(1)＝－1<0，f(2)＝7＞0，
所以f(1)·f(2)＝－7<0，
因此?x0∈(1，2)，f(x0)＝0，
且f(x)＝2x3－x2－3x＋1在(1，2)内连续，
所以f(x)在区间(1，2)上存在零点．
(2)由(1)知，f(x)＝2x3－x2－3x＋1在(1，2)内存在零点，
由表知，f(1)＝－1，f(1.5)＝1，
所以f(1)·f(1.5)<0，
所以f(x)的零点在(1，1.5)上，
因为f(1.25)＝－0.406 25，
所以f(1.25)·f(1.5)<0，
所以f(x)的零点在(1.25，1.5)上，
因为f(1.375)＝0.183 59，
所以f(1.25)·f(1.375)<0，
所以f(x)的零点在(1.25，1.375)上，
因为1.375－1.25＝0.125<0.2，故f(x)＝0的一个近似解为＝1.312 5.
10．已知函数f(x)＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求实数m的值．
分析(1)当m＋6＝0时，函数为f(x)＝－14x－5，显然有零点；
当m＋6≠0时，由 Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)·(m＋1)＝－36m－20≥0，得 m≤－，
所以当m≤－且 m≠－6时，函数f(x)有零点．综上，实数m的取值范围为 .
(2)由题目条件知m＋6≠0，设 x1，x2是函数f(x)的两个零点，
则有 x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为＋＝－4，即 ＝－4，
所以－＝－4，解得m＝－3.
又当m＝－3时， Δ>0，符合题意，所以m＝－3.