第二章等式与不等式测试题-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

第二章测试题
一、单选题(每小题5分，共40分)
1．(2021·大同高一检测)下列选项中正确的是(　　)
A．若ac>bc，则a>b
B．若a>b，c>d，则ac>bd
C．若a>b，则<
D．若ac2>bc2，则a>b
2．若关于x的方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)
A．k>－1　　　　　　B．k<－1
C．k≥－1且k≠0 D．k>－1且k≠0
3．已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|x>0}，则A∩B＝(　　)
A．(0，1) B．(－1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
4．(2021·武汉高一检测)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x∣－10的解集为(　　)
A．{x∣－2B．
C．{x∣x>2或x<－1}
D．{x∣x>1或x<－2}
5．(2021·南宁高一检测)已知a，b∈R，“a>|b|”是“a|a|>b|b|”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知正实数a，b满足4a＋b＝30，使得＋取最小值时，实数对(a，b)是(　　)
A．(5，10) B．(6，6)
C．(10，5) D．(7，2)
7．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为(　　)
A．3 B．8 C．4 D．9
8．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．(2021·宜兴高一检测)设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A?[1，3]，则实数a的可能取值是(　　)
A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．2
10．在数轴上，A(x)，B(3)，且AB＝，则(　　)
A．x＝或－
B．x＝－或
C．AB的中点C或
D．AB的中点C或
11．下列四个命题，其中假命题为(　　)
A．?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立
B．?x∈Q，x2＝2
C．?x∈R，x2＋1＝0
D．?x∈R，4x2>2x－1＋3x2.
12．若0A．a2＋b2>2ab B．a<
C．b< D．b>a2＋b2
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．(2021·上海高一检测)不等式x2－5|x|－6<0的解集是________．
14．若关于x的不等式tx2－6x＋t2<0的解集为(－∞，a)∪(1，＋∞)，则a的值为________．
15．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题①若ab>0，bc－ad>0，则－>0；②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.其中正确的命题是________．(填序号)
16．已知关于x的不等式|x＋2|－|x＋3|>m，若不等式有解，则m的取值范围为________，若不等式无解，则m的取值范围为________．
四、解答题(共70分)
17．(10分)已知关于x，y的方程组
的解集中只有一个元素，求实数k的值．
18．(12分)(2021·上海高一检测)已知关于x的不等式>1(a∈R).
(1)当a＝1时，求此不等式的解集；
(2)当a<1时，求此不等式的解集．
19．(12分)设x∈R，比较与1－x的大小．
20．(12分)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，
求证：＋≥.
21．(12分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0).
(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值．
(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．
22．(12分)(2021·齐齐哈尔高一检测)第一机床厂投资A生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元．该厂通过引进先进技术，在A生产线的投资减少了x(x>0)万元，且每万元创造的利润变为原来的(1＋0.005x)倍．现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线，且每万元创造的利润为1.5(a－0.013x)万元，其中a>0.
(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润，求x的取值范围；
(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润，求a的最大值．
一、单选题(每小题5分，共40分)
1．(2021·大同高一检测)下列选项中正确的是(　　)
A．若ac>bc，则a>b
B．若a>b，c>d，则ac>bd
C．若a>b，则<
D．若ac2>bc2，则a>b
分析选D.A.只有当c>0时，才能由ac>bc推出a>b，故本选项不正确；
B．只有当b>0，d>0时，才能由a>b，c>d推出ac>bd，故本选项不正确；
C．当a＝0，b＝－1时，显然a>b成立，但是<显然不成立，因此本选项不正确；
D．因为ac2>bc2，所以c≠0，因此本选项正确．
2．若关于x的方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)
A．k>－1　　　　　　B．k<－1
C．k≥－1且k≠0 D．k>－1且k≠0
分析选D.因为关于x的方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，
所以k≠0且Δ＝4－4k×(－1)>0，解得k>－1，
所以k的取值范围为k>－1且k≠0.
3．已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|x>0}，则A∩B＝(　　)
A．(0，1) B．(－1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
分析选A.因为A＝{x|x2＜1}＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x>0}，所以A∩B＝{x|0＜x＜1}＝(0，1).
4．(2021·武汉高一检测)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x∣－10的解集为(　　)
A．{x∣－2B．
C．{x∣x>2或x<－1}
D．{x∣x>1或x<－2}
分析选D.因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x∣－1所以a<0，－＝1，＝－2，
故b＝－a，c＝－2a，所以bx2－ax－c>0可化为－ax2－ax＋2a>0，即x2＋x－2>0，
分解因式得(x＋2)(x－1)>0，
解得x<－2或x>1，
所以不等式的解集为{x|x>1或x<2}．
5．(2021·南宁高一检测)已知a，b∈R，“a>|b|”是“a|a|>b|b|”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
分析选A.由题意，若a>|b|，则a>|b|≥0，则a>0且a>b，所以a|a|＝a2，则a|a|>b|b|成立．
当a＝1，b＝－2时，满足a|a|>b|b|，但a>|b|不一定成立，所以a>|b|是a|a|>b|b|的充分不必要条件．
6．已知正实数a，b满足4a＋b＝30，使得＋取最小值时，实数对(a，b)是(　　)
A．(5，10) B．(6，6)
C．(10，5) D．(7，2)
分析选A.因为a>0，b>0，
所以＋＝(4a＋b)
＝≥(5＋2)＝，当且仅当时取等号．即a＝5，b＝10.
7．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝6，b＋c＝8，则此三角形面积的最大值为(　　)
A．3 B．8 C．4 D．9
分析选A.由题意p＝7，
S＝＝≤·＝3，当且仅当7－b＝7－c，即b＝c时等号成立，所以此三角形面积的最大值为3.
8．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
分析选B.不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，
则1＋a＋＋≥a＋2＋1≥9，
所以≥2或≤－4(舍去)，
所以正实数a的最小值为4.
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．(2021·宜兴高一检测)设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A?[1，3]，则实数a的可能取值是(　　)
A．－1　　　B．0　　　C．1　　　D．2
分析选CD.因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A?[1，3]，
则解得
则1≤a≤.
10．在数轴上，A(x)，B(3)，且AB＝，则(　　)
A．x＝或－
B．x＝－或
C．AB的中点C或
D．AB的中点C或
分析选AC.由题意AB＝|x－3|＝，
所以x－3＝±，x＝或－，所以AB中点对应的数为＝或＝.
11．下列四个命题，其中假命题为(　　)
A．?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立
B．?x∈Q，x2＝2
C．?x∈R，x2＋1＝0
D．?x∈R，4x2>2x－1＋3x2.
分析选ABCD.因为方程x2－3x＋2＝0，Δ＝(－3)2－4×2>0，所以当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，所以A为假命题．
当且仅当x＝±时，x2＝2，所以不存在x∈Q，使得x2＝2，所以B为假命题．
对?x∈R，x2＋1≠0，所以C为假命题．
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，所以D为假命题．
12．若0A．a2＋b2>2ab B．a<
C．b< D．b>a2＋b2
分析选ABD.由于02ab，
又a＋b＝1，则0又a2＋b2－b＝(a＋b)2－2ab－b
＝1－2ab－b＝a－2ab＝a(1－2b)<0，
则b>a2＋b2.
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．(2021·上海高一检测)不等式x2－5|x|－6<0的解集是________．
分析x2－5|x|－6<0，即(|x|－6)(|x|＋1)<0，即|x|－6<0，|x|<6，故x∈(－6，6).
答案：(－6，6)
14．若关于x的不等式tx2－6x＋t2<0的解集为(－∞，a)∪(1，＋∞)，则a的值为________．
分析不等式tx2－6x＋t2<0的解集为(－∞，a)∪(1，＋∞)，所以原不等式可化为t(x－a)(x－1)<0，即t[x2－(1＋a)x＋a]<0且t<0，
可得
所以a＝2或－3，又因为a<0，所以a＝－3.
答案：－3
15．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题①若ab>0，bc－ad>0，则－>0；②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.其中正确的命题是________．(填序号)
分析对于①，若ab>0，bc－ad>0，
不等式两边同时除以ab得－>0，所以①正确；对于②，若ab>0，－>0，
不等式两边同时乘以ab得bc－ad>0，所以②正确；对于③，若－>0，当两边同时乘以ab时可得bc－ad>0，所以ab>0，所以③正确．
综上，正确的命题是①②③.
答案：①②③
16．已知关于x的不等式|x＋2|－|x＋3|>m，若不等式有解，则m的取值范围为________，若不等式无解，则m的取值范围为________．
分析令y＝|x＋2|－|x＋3|
＝
作出图像如图所示：
由图像知－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，
所以m<1，故m的取值范围是(－∞，1).
若不等式的解集为?，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值，所以m≥1，故m的取值范围是[1，＋∞).
答案：(－∞，1)　[1，＋∞)
四、解答题(共70分)
17．(10分)已知关于x，y的方程组
的解集中只有一个元素，求实数k的值．
分析把y－kx＋1＝0变形为y＝kx－1，
代入y2－2x＝0化简得，
k2x2－2(k＋1)x＋1＝0，
由题意，Δ＝4(k＋1)2－4k2＝0，
所以k＝－.
18．(12分)(2021·上海高一检测)已知关于x的不等式>1(a∈R).
(1)当a＝1时，求此不等式的解集；
(2)当a<1时，求此不等式的解集．
分析(1)根据题意，当a＝1时，不等式即为>1，变形可得>0，解得x>2，
即该不等式的解集为(2，＋∞)；
(2)根据题意，不等式>1
即为>0，
则有[(a－1)x－(a－2)](x－2)>0，
又因为a<1，不等式可以变形为(x－2)<0.
分3种情况讨论：①当a<0时，
不等式的解集为；
②当a＝0时，不等式为0>1，解集为空集；
③当019．(12分)设x∈R，比较与1－x的大小．
分析作差：－(1－x)＝，
①当x＝0时，因为＝0，
所以＝1－x；
②当1＋x<0，即x<－1时，
因为<0，所以<1－x；
③当1＋x>0且x≠0，
即－10时，
因为>0，
所以>1－x.
20．(12分)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，
求证：＋≥.
【证明】因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，
所以[(2a＋1)＋(2b＋1)]
＝1＋4＋＋
≥5＋2＝9，
又(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，
所以＋≥.
21．(12分)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0).
(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值．
(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．
分析(1)因为不等式kx2－2x＋6k<0的解集为{x|x<－3或x>－2}，所以x1＝－3与x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0(k≠0)的两根，
所以－＝＝－3－2，
所以k＝－.
(2)若不等式的解集为R，
即kx2－2x＋6k<0恒成立，
则满足所以k<－，
所以k的取值范围是.
22．(12分)(2021·齐齐哈尔高一检测)第一机床厂投资A生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元．该厂通过引进先进技术，在A生产线的投资减少了x(x>0)万元，且每万元创造的利润变为原来的(1＋0.005x)倍．现将在A生产线少投资的x万元全部投入B生产线，且每万元创造的利润为1.5(a－0.013x)万元，其中a>0.
(1)若技术改进后A生产线的利润不低于原来A生产线的利润，求x的取值范围；
(2)若B生产线的利润始终不高于技术改进后A生产线的利润，求a的最大值．
分析(1)由题意，得1.5(1＋0.005x)(500－x)≥1.5×500，整理得x2－300x≤0，
解得0≤x≤300，又x>0，故0(2)由题意知，B生产线的利润为1.5(a－0.013x)x万元，技术改进后，A生产线的利润为1.5(1＋0.005x)(500－x)万元，
则1.5(a－0.013x)x≤1.5(1＋0.005x)(500－x)恒成立，又x>0，
所以a≤＋＋1.5恒成立，
又＋≥4，当且仅当x＝250时等号成立，
所以0即a的最大值为5.5.