第三章函数测试题-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

第三章测试题
一、单选题(每小题5分，共40分)
1．(2021·长沙高一检测)函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．{x|x≥－1} B．{x|x≠－1}
C．{x|x>－1} D．{x|x>－1且x≠0}
2．f(x)是定义在R上的奇函数，f(－3)＝2，则下列各点在函数f(x)图像上的是(　　)
A．(3，－2) B．(3，2)
C．(－3，－2) D．(2，－3)
3．函数f(x)＝则f的值为(　　)
A．　　　B．－　　　C．　　　D．18
4．函数f(x)＝－x3－3x＋5的零点所在的大致区间为(　　)
A．(－2，0) B．(1，2)
C．(0，1) D．(0，0.5)
5．(2021·临川高一检测)已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是(　　)
A．－3≤a<0 B．－3≤a≤－2
C．a≤－2 D．以上答案都不对
6．函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图像可能是(　　)
7．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，若对任意x∈[1，＋∞)，都有f(x＋a)≤f(2x－1)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－2，0] B．(－∞，－8]
C．[2，＋∞) D．(－∞，0]
8．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　)
A．6.5 m B．6.8 m
C．7 m D．7.2 m
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．下列四个函数中，在(－∞，0)上是减函数的为(　　)
A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝1－
C．f(x)＝x2－5x－6 D．f(x)＝3－x
10．对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应关系中，能构成从A到B的函数有(　　)
11．(2021·吴江高一检测)下列选项正确的是(　　)
A．f(x)的定义域为，则f的定义域为
B．函数y＝2x＋的值域为
C．函数f(x)＝x2－2x＋4在的值域为
D．函数y＝的值域为∪
12．设函数f(x)的定义域为A，且满足任意x∈A恒有f(x)＋f(2－x)＝2的函数可以是(　　)
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ D．f(x)＝(x－2)3
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．已知函数f(x)＝，则f(1)＝______，函数y＝f(x)的定义域为______．
14．函数f(x)＝的零点个数是________．
15．(2021·黄石高一检测)已知函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x3＋x2＋1，则当x<0时，f(x)＝________．
16．已知定义在R上的偶函数f(x)满足以下两个条件：①在(－∞，0]上单调递减；②f(1)＝－2.则使不等式f(x＋1)≤－2成立的x的取值范围是________．
四、解答题(共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的定义域．
(2)判断f(x)的奇偶性并证明．
18．(12分)已知函数f(x)＝
(1)求f(－4)，f(5)的值．
(2)画出函数f(x)的图像，并直接写出处于图像上升阶段时x的取值集合．
(3)当x∈[－2，0]时，求函数的值域．
19．(12分)已知函数f(x)＝，且f(2)＝，
f(3)＝.
(1)求f(x)的函数解析式．
(2)求证：f(x)在[3，5]上为增函数．
(3)求函数f(x)在[3，5]上的值域．
20．(12分)定义在R上的偶函数f(x)，当x∈(－∞，0]时，f(x)＝－x2＋4x－1.
(1)求函数f(x)在x∈(0，＋∞)上的解析式．
(2)求函数f(x)在x∈[－2，3]上的最大值和最小值．
21．(12分)(2021·长沙高一检测)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4≤x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．
(1)当0(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．
22．(12分)函数f(x)＝是定义在(－3，3)上的奇函数，且f(1)＝.
(1)求f(x)的解析式．
(2)判断并证明f(x)的单调性．
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
一、单选题(每小题5分，共40分)
1．(2021·长沙高一检测)函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．{x|x≥－1} B．{x|x≠－1}
C．{x|x>－1} D．{x|x>－1且x≠0}
分析选C.函数f(x)＝中，令>0，得x＋1>0，即x>－1，
所以f(x)的定义域是{x|x>－1}．
2．f(x)是定义在R上的奇函数，f(－3)＝2，则下列各点在函数f(x)图像上的是(　　)
A．(3，－2) B．(3，2)
C．(－3，－2) D．(2，－3)
分析选A.因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3).
又f(－3)＝2，所以f(3)＝－2，所以点(3，－2)在函数f(x)的图像上．
3．函数f(x)＝则f的值为(　　)
A．　　　B．－　　　C．　　　D．18
分析选C.由题意得f(3)＝32－3－3＝3，那么＝，
所以f＝f＝1－＝.
4．函数f(x)＝－x3－3x＋5的零点所在的大致区间为(　　)
A．(－2，0) B．(1，2)
C．(0，1) D．(0，0.5)
分析选B.函数f(x)的图像在(0，＋∞)上是一条连续不断的曲线，因为f(0)＝5＞0，f(1)＝1＞0，f(2)＝－9<0，所以f(1)·f(2)<0，所以零点所在的大致区间为(1，2).
5．(2021·临川高一检测)已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是(　　)
A．－3≤a<0 B．－3≤a≤－2
C．a≤－2 D．以上答案都不对
分析选B.因为函数f(x)＝是R上的增函数，
设g(x)＝－x2－ax－5(x≤1)，h(x)＝(x>1)，由分段函数的性质可知，函数g(x)＝－x2－ax－5在上单调递增，函数h(x)＝在(1，＋∞)上单调递增，且g(1)≤h，
所以，所以，解得－3≤a≤－2.
6．函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图像可能是(　　)
分析选A.由于函数y＝f(x)·g(x)的定义域是函数y＝f(x)与y＝g(x)的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以函数图像在x＝0处是断开的，故可以排除C，D；由于当x为很小的正数时，f(x)>0且g(x)<0，故f(x)·g(x)<0，可排除B.
7．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，若对任意x∈[1，＋∞)，都有f(x＋a)≤f(2x－1)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－2，0] B．(－∞，－8]
C．[2，＋∞) D．(－∞，0]
分析选A.因为f(x)为偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在(－∞，0]上是减函数．
对任意x∈[1，＋∞)都有f(x＋a)≤f(2x－1)恒成立等价于|x＋a|≤|2x－1|，
所以－2x＋1≤x＋a≤2x－1
?－3x＋1≤a≤x－1，
所以(－3x＋1)max≤a≤(x－1)min，当x＝1时，取得两个最值，
所以－3＋1≤a≤1－1?－2≤a≤0，故选A.
8．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　)
A．6.5 m B．6.8 m
C．7 m D．7.2 m
分析选C.设直角三角形的两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m).因为要求够用且浪费最少，所以选C.
二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．下列四个函数中，在(－∞，0)上是减函数的为(　　)
A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝1－
C．f(x)＝x2－5x－6 D．f(x)＝3－x
分析选ACD.A，C，D选项中的三个函数在(－∞，0)上都是减函数，只有B不正确．
10．对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应关系中，能构成从A到B的函数有(　　)
分析选ACD.根据函数的定义可知，A，C，D中的图形给出的对应关系能构成从A到B的函数．
11．(2021·吴江高一检测)下列选项正确的是(　　)
A．f(x)的定义域为，则f的定义域为
B．函数y＝2x＋的值域为
C．函数f(x)＝x2－2x＋4在的值域为
D．函数y＝的值域为∪
分析选ABC.对于A选项，由于函数f(x)的定义域为[－2，2]，
对于函数f(2x－1)，－2≤2x－1≤2，
解得－≤x≤，所以，函数f(2x－1)的定义域为，A选项正确；
对于B选项，令t＝≥0，则x＝1－t2，y＝2(1－t)2＋t＝－2＋≤，
所以，函数y＝2x＋的值域为，B选项正确；
对于C选项，当x∈[－2，0]时，f(x)＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3∈[4，12]，
所以，函数f(x)＝x2－2x＋4在[－2，0]的值域为[4，12]，C选项正确；
对于D选项，y＝＝＝－1≠－1，所以，函数y＝的值域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，D选项错误．
12．设函数f(x)的定义域为A，且满足任意x∈A恒有f(x)＋f(2－x)＝2的函数可以是(　　)
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ D．f(x)＝(x－2)3
分析选AC.方法一：A项f(x)＋f(2－x)＝2－x＋[2－(2－x)]＝2为定值，故A项正确；B项f(x)＋f(2－x)＝2(x－1)2不为定值，故B项错误；C项，f(x)＋f(2－x)＝＋＝＝2，符合题意，故C项正确；D项f(x)＋f(2－x)＝(x－2)3－x3不为定值，故D项不正确．
方法二：因为任意x∈A恒有f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数的图像关于点(1，1)中心对称，函数f(x)＝2－x的图像是过点(1，1)的直线，符合题意；函数f(x)＝＝1＋的图像关于点(1，1)中心对称，符合题意；利用B，D中两个函数的图像都不是关于点(1，1)中心对称图形，不符合题意．
三、填空题(每小题5分，共20分)
13．已知函数f(x)＝，则f(1)＝______，函数y＝f(x)的定义域为______．
分析由题意得，f(1)＝＝2，
由解得x≤5且x≠0，
所以函数y＝f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，5].
答案：2　(－∞，0)∪(0，5]
14．函数f(x)＝的零点个数是________．
分析当x<0时，令2x＋3＝0，解得x＝－，
当x≥0时，令x2－4x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，所以函数共有3个零点．
答案：3
15．(2021·黄石高一检测)已知函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x3＋x2＋1，则当x<0时，f(x)＝________．
分析设x<0，则－x>0，故f(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1＝－x3＋x2＋1，
由于函数f(x)在R上为奇函数，
故f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝x3－x2－1.
答案：x3－x2－1
16．已知定义在R上的偶函数f(x)满足以下两个条件：①在(－∞，0]上单调递减；②f(1)＝－2.则使不等式f(x＋1)≤－2成立的x的取值范围是________．
分析因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递减，f(1)＝－2，
则由f(1＋x)≤－2，即f(1＋x)≤f(1)，
可得：|x＋1|≤1，解得：－2≤x≤0.
答案：－2≤x≤0
四、解答题(共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的定义域．
(2)判断f(x)的奇偶性并证明．
分析(1)由1－x2≠0，得x≠±1，
即f(x)的定义域为{x|x≠±1}．
(2)f(x)为偶函数．证明：
由(1)知f(x)的定义域为{x|x≠±1}，
因为?x∈{x|x≠±1}，都有－x∈{x|x≠±1}，
且f(－x)＝＝＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
18．(12分)已知函数f(x)＝
(1)求f(－4)，f(5)的值．
(2)画出函数f(x)的图像，并直接写出处于图像上升阶段时x的取值集合．
(3)当x∈[－2，0]时，求函数的值域．
分析(1)因为－4<0，5>0，
所以f(－4)＝(－4)2＋2×(－4)－3＝5，
f(5)＝－5－3＝－8.
(2)画图如图所示，图像上升时x的取值集合为
{x|－1≤x≤0}．
(3)当x∈[－2，0]时，函数的值域为[－4，－3].
19．(12分)已知函数f(x)＝，且f(2)＝，
f(3)＝.
(1)求f(x)的函数解析式．
(2)求证：f(x)在[3，5]上为增函数．
(3)求函数f(x)在[3，5]上的值域．
分析(1)函数f(x)＝，由f(2)＝得a＋4b＝6，①
由f(3)＝得2a＋5b＝9，②
联立①②解得a＝2，b＝1，则函数解析式为f(x)＝.
(2)任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，所以f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为3≤x1＜x2≤5，所以x1－x2<0，因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，
所以f(x1)＜f(x2)，即f(x)在[3，5]上为增函数．
(3)由(2)知f(x)在[3，5]上为增函数，
则f(x)max＝f(5)＝，f(x)min＝f(3)＝.
所以函数的值域为.
20．(12分)定义在R上的偶函数f(x)，当x∈(－∞，0]时，f(x)＝－x2＋4x－1.
(1)求函数f(x)在x∈(0，＋∞)上的解析式．
(2)求函数f(x)在x∈[－2，3]上的最大值和最小值．
分析(1)根据题意，设x＞0，则－x＜0，
则f(－x)＝－x2－4x－1，又由y＝f(x)为偶函数，
则f(x)＝－x2－4x－1，x∈(0，＋∞).
(2)由(1)的结论：f(x)＝
y＝f(x)在x∈[－2，0]上单调递增，在x∈[0，3]上单调递减，则f(x)max＝f(0)＝－1；f(x)min
＝min{f(－2)，f(3)}＝f(3)＝－22，函数f(x)在[－2，3]上的最大值是－1，最小值是－22.
21．(12分)(2021·长沙高一检测)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4≤x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．
(1)当0(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．
分析(1)由题意：当0当4≤x≤20时，设v(x)＝ax＋b(a≠0)，显然v(x)＝ax＋b(a≠0)在[4，20]上是减函数，
由已知得解得a＝－，b＝，故函数v(x)＝
(2)依题意并由(1)得，
f(x)＝
当0f(x)max＝f(10)＝12.5.所以，当0当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．
22．(12分)函数f(x)＝是定义在(－3，3)上的奇函数，且f(1)＝.
(1)求f(x)的解析式．
(2)判断并证明f(x)的单调性．
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
分析(1)因为函数f(x)＝是定义在(－3，3)上的奇函数，所以f(0)＝0，又f(1)＝，故
解得故f(x)＝.
(2)f(x)＝是定义在(－3，3)上的增函数，证明如下：
任取x1，x2∈(－3，3)，且x1f(x2)＝) －) ＝))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－x))) ，
因为－30，x1－x2<0，9－x>0，9－x>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
所以f(x)＝是定义在(－3，3)上的增函数．
(3)因为f(x)是定义在(－3，3)上的奇函数，所以－f(t)＝f(－t)，
则f(t－1)＋f(t)<0?f(t－1)<－f(t)?f(t－1)又因为f(x)是定义在(－3，3)上的增函数，
所以解得－2